设等比数列{an}的公比为q,对任意正整数n,前n项的和Sn>0 求q的取值范围

设等比数列an的公比为q,前n项和为Sn,a1>0,若S2>2a3,求q的取值范围~

S2=a1+a2=a1+a1*q
S2>2a3
a1+a1*q>2a1*q*q
1+q>2q^2
2q^2-q-1<0
-1/2<q<1且q不等于0

a(n) = aq^(n-1),
a = a(1) = S(1) > 0,

q = 1时，S(n) = na > 0.满足要求。

q不等于1时，
S(n) = a[q^n-1]/(q-1).
q>1时，q^n-1>0,q-1>0, S(n) = a[q^n-1]/(q-1) >0. 满足要求。
-1<q<1时，q^n - 1 < 0, q - 1 < 0, 满足要求。
q = -1时，S(2m) = a[(-1)^(2m) - 1]/(-1-1) = 0,不满足要求。
q < -1时，S(2m) = a[q^(2m) - 1]/(q-1) = a[(q^2)^m - 1]/(q-1),
(q^2)^m - 1 > 0, q - 1 < 0, S(2m) < 0, 不满足要求。

因此，
q的取值范围为q>-1.

b(n) = a(n+2) - 1.5a(n+1) = aq^(n+1) - 1.5aq^n = aq^n[q-1.5].

q = 1时，b(n) = a(-0.5), T(n) = -na/2, S(n) = na > -na/2 = T(n).
q > -1且q不等于1时，T(n) = aq(q-1.5)[q^n-1]/(q-1), S(n) = a[q^n-1]/(q-1).
T(n) - S(n) = a[q^n-1]/(q-1)[q(q-1.5) - 1] = a[q^n-1][2q^2 - 3q - 2]/[2(q-1)] = a[q^n-1][2q+1][q-2]/[2(q-1)]
-1 0,
T(n) > S(n).
q = -1/2时，T(n) - S(n) = a[q^n-1][2q+1][q-2]/[2(q-1)] = 0,
T(n) = S(n).
-1/2 < q < 1时，T(n) - S(n) = a[q^n-1][2q+1][q-2]/[2(q-1)] < 0,
T(n) < S(n).
1 < q < 2时，T(n) - S(n) = a[q^n-1][2q+1][q-2]/[2(q-1)] < 0,
T(n) < S(n).
q = 2时，T(n) - S(n) = a[q^n-1][2q+1][q-2]/[2(q-1)] = 0,
T(n) = S(n).
q > 2时，T(n) - S(n) = a[q^n-1][2q+1][q-2]/[2(q-1)] > 0,
T(n) > S(n).

综合，有
-1 S(n).
q = -1/2时，T(n) = S(n).
-1/2 < q < 2时，T(n) < S(n).
q = 2时，T(n) = S(n).
q > 2时，T(n) > S(n).

q≠0，
一、当q≠1时，
Sn=a1((q^n)-1)/(q-1)＞0
等价于a1((q^n)-1)(q-1)＞0，这是一式
∵设等比数列{an}的公比为q,对任意正整数n,前n项的和Sn>0
∴S1=a1＞0
∴一式等价于((q^n)-1)(q-1)＞0
等价于{ (q^n)-1＞0，q-1＞0 或{(q^n)-1＜0，q-1＜0
其中n为正整数
所以{q>1，q>1 或{-1<q<1，q<1
所以q>1或-1<q<1
结合q≠0，q≠1
q>-1且q≠0，q≠1
二、q=1时，Sn=n*(a1)＞0

综合一二可知q>-1且不等于零

Sn=a1(1-q^n)/(1-q)>0,（q不等于1）
s1=a1>0, 故a1>0,（q不等于1）
所以（1-q^n)/(1-q)>0，只要1-q^n与1-q同时大于零或者同时小于0就可以了，,（q不等于1）
因此可以得出q>1, 且q>1;或者-1<q,1且q<1,综合即得-1<q，（q不等于1）
当q=1时，Sn=a1*n>0,结合题目q≠0，因此q>-1且q≠0

q>-1且不等于零

---

成华区15064576332： 设等比数列{an}的公比为q,对任意正整数n,前n项的和Sn>0 求q的取值范围？
木牵八珍： q≠0, 一、当q≠1时, Sn=a1((q^n)-1)/(q-1)>0 等价于a1((q^n)-1)(q-1)>0,这是一式 ∵设等比数列{an}的公比为q,对任意正整数n,前n项的和Sn&gt;0 ∴S1=a1>0 ∴一式等价于((q^n)-1)(q-1)>0 等价于{ (q^n)-1>0,q-1>0 或{(q^n)-10 综合一二可知q&gt;-1且不等于零

成华区15064576332： 设{an}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0”的___条件.(填“充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件... - ？
木牵八珍：[答案] ∵{an}是首项为正数的等比数列,公比为q, ∴当a1=1,q=- 1 2时,满足q<0,但此时a1+a2=1- 1 2= 1 2>0,则a2n-1+a2n<0不成立,即充分性不成立, 反之若a2n-1+a2n<0,则a1q2n-2+a1q2n-1<0 ∵a1>0,∴q2n-2(1+q)<0,即1+q<0, 则q<-1,即q<0...

成华区15064576332： 设等比数列{An}的公比为q,前n项和为Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,则q的值为() - ？
木牵八珍： 数列{an}为等比数列,首项a1≠0.公比q=1时,Sn=n Sn+1=n+1 Sn+2=n+22Sn=2n Sn+1+Sn+2=2n+32Sn≠Sn+1+Sn+2,不满足题意,因此公比q≠1 Sn+1、Sn、Sn+2成等差数列,则2Sn=Sn+1+Sn+22a1(q^n-1)/(q-1)=a1[q^(n+1)-1]/(q-1)+a1[q^(n+2...

成华区15064576332： 已知各项均为正数的等比数列{an}的公比为q,且0<q<1/2. (2)若q=1,且对任意正整数k,ak - (ak+1+ak+2)仍 - ？
木牵八珍： :(1)假设存在正然数i、k、m,使得ai+ai+m=2ai+k ai>0,an为等比数列, ∴1+q^m=2q^k 0而1+q^m>1>2q>2q^k ∴假设不成立,an中不存在三项成等差数列. (2)假设ak-(ak+1 +ak+2)=ak+m,m为正整数 则1-q-q^2=q^m 当m≥2时,有1-q-q^2=q^m≤q...

成华区15064576332： 设等比数列{an}的公比为q,其前n项的积为Tn,首项a1>1,a2014a2015 - 1>0, - ？
木牵八珍： 根据a[2014]a[2015]-1>0可知,a[2014] a[2015]同号,因此q一定大于0 根据a[2014]-1 / a[2015]-1 <0, 且a1>1判断,如果q≥1,那么a[2015]≥a[2014]≥a[1]>1 a[2015]-1≥a[2014]-1>0 , 那么a[2014]-1 / a[2015]-1不可能小于0 因此可知,0<q<1 a[...

成华区15064576332： 设等比数列{an}的公比为q,若a8 - a4=24,a5 - a1=3,则实数q的值为() - ？
木牵八珍：[选项] A. 3 B. 2 C. 1 2 D. 1 3

成华区15064576332： 设等比数列{an}的公比为q,则q>1是an+1>an的什么条件 - ？
木牵八珍：[答案] 我枫叶的秋 同学! 既不充分也不必要 因为,当q>1时,若a1>0时,an+1>an 若a1 an+1>an,则q可以小于1 希望能够帮到你,祝你学习愉快!

成华区15064576332： 设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,是否存在常数c,使数列{Sn+c}也成等比数列?若存在,求出常数c; - ？
木牵八珍： 设存在常数 C,使数列{Sn+c}成等比数列. ∵(Sn+c)(Sn+2+c)=(Sn+1+c)2,∴Sn?Sn+2?Sn+12=c(2Sn+1?Sn?Sn+2). ①当q=1时,Sn=na1,代入上式得a12n(n+2)?a12(n+1)2=ca1[2(n+1)-n-(n+2)]. 即a12=0. 但a1≠0,于是不存在常数c,使{Sn+c}成等比数列;②当q≠1时,Sn= a1(1?qn) 1?q ,代 入 上 式 得?a12qn (1?q)2 (1?q)2= ca1qn 1?q (1?q)2. ∴c= a1 q?1 . 综上可知,存在常数c= a1 q?1 ,使成等比数列.

成华区15064576332： 已知等比数列{an}的公比为q,前n项和Sn>0(n=1,2,3,…),则q的取值范围是______. - ？
木牵八珍：[答案] 当n=1时,a1=S1>0,首项必为正数. (1)当q=1时,Sn=na1>0, (2)当q≠1时,Sn=a1• 1−qn 1−q ①若q>1,则1-q<0,1-qn<0,Sn>0成立. ②若00,1-qn>0,Sn>0成立. ③若-10,1-qn>0,Sn>0成立. ④若q≤-1,则当n为偶数时...

成华区15064576332： 设等比数列{an}的公比是q,前n项和Sn>0(n=1,2…),求q的取值范围 - ？
木牵八珍：[答案] q>0时显然成立 q0 a1>-a2=-a1q 于是q>-1 a3又必然大于0 而a4=a3q 所以a3+a4>0 由此继续,能满足每一项Sn都大于0 所以q>0或-1