在数列{an}中，a1=1,2a(n+1)=(1+1/n)^2*an,（1）证明数列{an/n^2}是等比数列，并求{an}的通项公式

在数列{an}中,a1=1,2an+1=(1+1/n)^2*an，证明：数列{an/n^2}是等比数列，并求an的通项公式~

1,2a(n+1)=(1+1/n)^2*an 2a(n+1)=[(n+1)/n]^2*an a(n+1)/(n+1)^2=(1/2)(an/n^2)
所以，数列{an/n^2}是首项为1、公比为1/2的等比数列，an/n^2=(1/2)^(n-1)
an=n^2*(1/2)^(n-1)(n1,2,3,……,)
2,bn=(n+1)^2*(1/2)^n-n^2*(1/2)^n=(2n+1)(1/2)^n。设Tn=b1+b2+…+bn，则
Tn=3*(1/2)+5*(1/2)^2+7*(1/2)^3+…+(2n-1)*(1/2)^(n-1)+(2n+1)*(1/2)^n (1)
(1/2)*(1)得：
(1/2)Tn=3*(1/2)^2+5*(1/2)^3+7*(1/2)^4+…+(2n-1)*(1/2)^n+(2n+1)*(1/2)^(n+1) (2)
(1)-(2)得：
(1/2)Tn=1/2+2*(1/2)+2*(1/2)^2+2*(1/2)^3+…+2*(1/2)^n-(2n+1)*(1/2)^(n+1)
=1/2+2*(1/2)*[1-(1/2)^n]/(1-1/2)-(2n+1)*(1/2)^(n+1)
=1/2+2-(1/2)^(n-1)-(2n+1)*(1/2)^(n+1)
=3/2-(1/2)^(n-1)-(2n+1)*(1/2)^(n+1)
Tn=3-(1/2)^(n-2)-(2n+1)*(1/2)^n

由题an=2an-1-2
∴an+n=2(an-1-1)+n+n=2[an-1+(n-1)]
∴（an+n）/[an-1+(n-1)]=2
∴{an+n}是等比数列
∴an+n=（1+1）2^(n-1)=2^n
∴an=2^n -n(n≧2)
∴an=2^n -n(n∈正整数)
sn用分组求和，
sn=（2+2^2+2^3+。。。+2^n)-(1+2+...+n)=2^n-1-(n^2+n)/2

1.

2a(n+1)=(1+ 1/n)²an=[(n+1)²/n²]an
2a(n+1)/(n+1)²=an/n²
[a(n+1)/(n+1)²]/(an/n²)=1/2，为定值。
a1/1²=1/1=1
数列{an/n²}是以1为首项，1/2为公比的等比数列。
an/n²=1×(1/2)^(n-1)=1/2^(n-1)
an=n²/2^(n-1)
n=1时，a1=1²/2^0=1/1=1，同样满足通项公式
综上得数列{an}的通项公式为an=n²/2^(n-1)
2.
bn=a(n+1) -(1/2)an
=(n+1)²/2ⁿ -(1/2)[n²/2^(n-1)]
=(n+1)²/2ⁿ -n²/2ⁿ
=[(n+1)²-n²]/2ⁿ
=(2n+1)/2ⁿ
=n/2^(n-1) +1/2ⁿ
Sn=b1+b2+...+bn=1/1+2/2+3/2²+...+n/2^(n-1) +(1/2+1/2²+...+1/2ⁿ)
令Cn=1/1+2/2+3/2²+...+n/2^(n-1)
则Cn/2=1/2+2/2²+...+(n-1)/2^(n-1)+n/2ⁿ
Cn-Cn/2=Cn/2=1+1/2+1/2²+...+1/2^(n-1) -n/2ⁿ
=1×(1-1/2ⁿ)/(1-1/2) -n/2ⁿ
=2-(n+2)/2ⁿ
Sn=Cn+(1/2+1/2²+...+1/2ⁿ)
=2-(n+2)/2ⁿ +(1/2)(1-1/2ⁿ)/(1-1/2)
=2-(n+2)/2ⁿ+1-1/2ⁿ
=3- (n+3)/2ⁿ
3.
an=n²/2^(n-1)
Tn=a1+a2+...+an=1/1+2²/2+3²/2²+...+n²/2^(n-1)
Tn/2=1/2+2²/2²+...+(n-1)²/2^(n-1)+n²/2ⁿ
Tn-Tn/2=Tn/2=1+(2²-1²)/2+(3²-2²)/2²+...+[n²-(n-1)²]/2^(n-1) -n²/2ⁿ
=[1/2^0+3/2+5/2²+...+(2n-1)/2^(n-1)]-[1/2+1/2²+...+1/2^(n-1)]-n²/2ⁿ
令Dn=1/2^0+3/2+5/2²+...+(2n-1)/2^(n-1)
则Dn/2=1/2+3/2²+...+(2n-3)/2^(n-1)+(2n-1)/2ⁿ
Dn-Dn/2=Dn/2=1+2/2+2/2²+...+2/2^(n-1)-(2n-1)/2ⁿ
=2[1+1/2+1/2²+...+1/2^(n-1)] -1 -(2n-1)/2ⁿ
=2×1×(1-1/2ⁿ)/(1-1/2) -1-(2n-1)/2ⁿ
=3-(2n+3)/2ⁿ
Dn=6-(4n+6)/2ⁿ
Tn/2=Dn -[1/2+1/2²+...+1/2^(n-1)]-n²/2ⁿ
=6-(4n+6)/2ⁿ-(1/2)[1-1/2^(n-1)]/(1-1/2) -n²/2ⁿ
=5- (n²+4n+4)/2ⁿ
Tn=10- 2(n²+4n+4)/2ⁿ=10 -(n+2)²/2^(n-1)

提示：第3问比较麻烦，需要两次运用错位相减法。

(1)2a(n+1)=(1+1/n)^2*an=[(n+1)^2/n^2]a(n) a(n+1)/(n+1)^2=(1/2) a(n)/n^2
a(n)/n^2 为公比为1/2的等比数列
a(n)/n^2=(1/2)^(n-1) a(1)/1^2=1/2^(n-1)
a(n)=n^2/2^(n-1)
(2) b(n)=a(n+1)-(1/2)a(n)=(n+1)^2/2^n-n^2/2^n=(2n+1)/2^n
Sn=3/2+5/2^2+..................+(2n-1)/2^(n-1)+(2n+1)/2^n
2Sn=3+ 5/2+......................+(2n-1)/2^(n-2)+(2n+1)/2^(n-1)
Sn=2Sn-Sn=3+2/2+2/2^2+....................+2/2^(n-1)-(2n+1)/2^n=5-1/2^(n-2)-.(2n+1)/2^n
=5-(2n+5)/2^n
(3) 用求Sn类似的方法可求出Tn=12-2(n²+4n+6)/2^n

1. 将2a(n+1)=(1+1/n)^2*an式子化成2(an+1)/(n+1)²=an/n²,又因为根据2a(n+1)=(1+1/n)^2*an，得出a2=2，所以an/n^2是个首项是1，公比为2的等比数列。

2. 因为an/n^2=2的n次方，所以an=n^2×2∧n
   

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土默特左旗15059215474： 在数列{an}中,a1=1,2an+1=(1+1n)2an(1)求{an}的通项公式;(2)令bn=an+1 - 12an,求数列{bn}的前n项和Sn. - ？
荡真百虑：[答案] (1)由条件得 an+1 (n+1)2= 1 2• an n2, 又n=1时, an n2=1, 故数列{ an n2}构成首项为1,公比为 1 2的等比数列, 从而 an n2= 1 2n−1,即an= n2 2n−1. (2)由bn= (n+1)2 2n− n2 2n= 2n+1 2n, 得Sn= 3 2+ 5 22+…+ 2n+1 2n, ⇒ 1 2Sn= 3 22+ ...

土默特左旗15059215474： 在数列{an}中,a1=1,2a(n+1)=(1+1/n)^2*an,(1)证明数列{an/n^2}是等比数列,并求{an}的通项公式 - ？
荡真百虑： 1.2a(n+1)=(1+ 1/n)²an=[(n+1)²/n²]an2a(n+1)/(n+1)²=an/n² [a(n+1)/(n+1)²]/(an/n²)=1/2,为定值.a1/1²=1/1=1 数列{an/n²}是以1为首项,1/2为公比的等比数列.an/n²=1*(1/2)^(n-1)=1/2^(n-1) an=n²/2^(n-1) n=1时,a1=1²/2^0=1/1=...

土默特左旗15059215474： 在数列{an}中 a1=1 2a(n+1)=(1+1/n)^2乘an - ？
荡真百虑： LS未写出第(3)问 注意:(2)用错位相减法,此处将过程略去.解:(1)2a(n+1)=(1+1/n)^2*an 则:a(n+1)/an=(1/2)*[(n+1)/n]^2 则有:an/a(n-1)=(1/2)*[n/(n-1)]^2 a(n-1)/a(n-2)=(1/2)*[(n-1)/(n-2)]^2...a2/a1=(1/2)*[2/1]^2 将上式累乘,得:...

土默特左旗15059215474： 在数列{an}中,a1=1,a2=2,a(n+1) - 3an+2a(n - 1)=0(n∈N*,n≥2在数列{an}中,a1=1,a2=2,a(n+1) - 3an+2a(n - 1)=0(n∈N*,n≥2).⑴.求证:数列{an - a(n - 1)}是等比数... - ？
荡真百虑：[答案] a(n+1)-3an+2a(n-1)=0 a(n+1)-an=2[an-a(n-1)] [a(n+1)-an]/[an-a(n-1)]=2 {an-a(n-1)}是公比为2的等比数列 an-a(n-1)=(a2-a1)*2^(n-2)=(2-1)*2^(n-2)= 2^(n-2) a(n-1)-a(n-2)=2^(n-3) ... a2-a1=2^(0) 两边相加得: an-a1=2^(n-2)

土默特左旗15059215474： 已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+1=2an+3an - 1(n≥2且n∈N*).(I)证明数列{an+an+1}是等比数列;(II)求a1+a2+…an(n∈N*) - ？
荡真百虑：[答案] (I)证明:因为an+1=2an+3an-1,所以an+1+an=3(an+an-1), 所以 an+1+an an+an−1=3是常数, 所以数列{an+an+1}是以a1+a2=3为首项,等比为3的等比数列; (II)由(Ⅰ)得an+1+an=3n,…①, 又an+1=2an+3an-1(n≥2且n∈N*). 得an+1-3an=-(an-...

土默特左旗15059215474： 在数列{an}中,a1=1,2an+1=(1+1/n)^2*an,证明:数列{an/n^2}是等比数列,并求an的通项公式 - ？
荡真百虑： 1,2a(n+1)=(1+1/n)^2*an 2a(n+1)=[(n+1)/n]^2*an a(n+1)/(n+1)^2=(1/2)(an/n^2) 所以,数列{an/n^2}是首项为1、公比为1/2的等比数列,an/n^2=(1/2)^(n-1) an=n^2*(1/2)^(n-1)(n1,2,3,……,)2,bn=(n+1)^2*(1/2)^n-n^2*(1/2)^n=(2n+1)(1/2)^n.设Tn=b1+...

土默特左旗15059215474： 已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=3an+1 - 2an,求数列{an}的通项公式. - ？
荡真百虑：[答案] 由an+2=3an+1-2an,得 an+2-an+1=2(an+1-an), ∵a1=1,a2=2,∴a2-a1=2-1=1≠0, 则数列{an+1-an}是以1为首项,以2为公比的等比数列, 则an+1-an=1*2n-1=2n-1, ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =2n-2+2n-3+…+1+1= 1*(1-2n-1) 1-2+...

土默特左旗15059215474： 已知数列{An}中,A1=1/2,点(n,2A(n+1) - An)在直线y=x上,其中n∈N*.求证数列{A(n+1) - An - 1}为等比数列? - ？
荡真百虑：[答案] 2An+1-An=n 2An-An-1=n-1(n>=2) 两个式子做差 2An+1-2An=An-An-1+1 在这个等式两边同时减2 得2(An+1-An-1)=An-An-1-1 公比q二分之一,首项A2-A1-1=负四分之三 祝你学业进步.

土默特左旗15059215474： 己知数列{an}中,a1=1/2,且前n项和为sn=n^2an(n∈N),1求a2,a3,a4的值, - ？
荡真百虑： 第一个问题:∵S(n)=n^2a(n),∴S(2)=4a(2),∴a(1)+a(2)=4a(2),∴3a(2)=a(1)=1/2,∴a(2)=1/6.∴a(1)+a(2)+a(3)=9a(3),∴8a(3)=a(1)+a(2)=1/2+1/6=8/12=2/3,∴a(3)=1/12.∴a(1)+a(2)+a(3)+a(4)=16a(4),∴15a(4)=a(1)+a(2)+a(3)=1/2+1/6+1/12=9/12...

土默特左旗15059215474： “斐波那契数列“是数学史上一个著名数列,在斐波那契数列{an}中,a1=1,a2=1,an+2=an+1+an(n∈N*)则a7=___;若a2018=m,则数列{an}的前2016项和... - ？
荡真百虑：[答案] ①∵a1=1,a2=1,an+2=an+1+an(n∈N*),∴a3=1+1=2,同理可得:a4=3,a5=5,a6=8,则a7=13. ②∵a1=1,a2=1,an+an+1=an+2(n∈N*), ∴a1+a2=a3, a2+a3=a4, a3+a4=a5, …, a2015+a2016=a2017 a2016+a2017=a2018. 以上累加得, a1+a2+a2+a3+...