已知数列｛an｝中的a1=2,an+1=an/3,证明这个数列是等比数列,并写出它的通项公式。

已知数列（an）满足a1=1 a2=3 an+2=3an+1-2an 证明数列（an+1-an)是等比数列（2）求数列（an）的通项公式~

an+2=3an+1-2an ，所以a(n+2) - a(n+1) =2·【a(n+1) - a(n)】
所以 （an+1-an)是等比数列，a(n+2) - a(n+1) = 2^n·【a2-a1】= 2^(n+1)
故a(n+1)-a(n)=2^n,an-a(n-1)=2^(n-1),......,a2-a1=2^1,将这些等式相加得：a(n+2)-a1 = 2^1+...+2^(n+1) = 2·{1-2^(n+1)}/(1-2) = 【2^(n+2)】-2
所以a(n+2) = 【2^(n+2)】-1 , 所以通项a(n) = 2^n - 1

1,2a(n+1)=(1+1/n)^2*an 2a(n+1)=[(n+1)/n]^2*an a(n+1)/(n+1)^2=(1/2)(an/n^2)
所以，数列{an/n^2}是首项为1、公比为1/2的等比数列，an/n^2=(1/2)^(n-1)
an=n^2*(1/2)^(n-1)(n1,2,3,……,)
2,bn=(n+1)^2*(1/2)^n-n^2*(1/2)^n=(2n+1)(1/2)^n。设Tn=b1+b2+…+bn，则
Tn=3*(1/2)+5*(1/2)^2+7*(1/2)^3+…+(2n-1)*(1/2)^(n-1)+(2n+1)*(1/2)^n (1)
(1/2)*(1)得：
(1/2)Tn=3*(1/2)^2+5*(1/2)^3+7*(1/2)^4+…+(2n-1)*(1/2)^n+(2n+1)*(1/2)^(n+1) (2)
(1)-(2)得：
(1/2)Tn=1/2+2*(1/2)+2*(1/2)^2+2*(1/2)^3+…+2*(1/2)^n-(2n+1)*(1/2)^(n+1)
=1/2+2*(1/2)*[1-(1/2)^n]/(1-1/2)-(2n+1)*(1/2)^(n+1)
=1/2+2-(1/2)^(n-1)-(2n+1)*(1/2)^(n+1)
=3/2-(1/2)^(n-1)-(2n+1)*(1/2)^(n+1)
Tn=3-(1/2)^(n-2)-(2n+1)*(1/2)^n

因为an+1=an/3,且a1=2>1,所以an>0

所以 an+1/an=1/3

所以是等比数列，公比为1/3

所以通项公式为 an =2(1/3)^(n-1)

因为an+1=an/3，
所以an+1/an=1/3，
所以数列｛an｝是以2为首项，1/3为公比的等比数列
an=a1q的n-1次=2乘1/3的n-1次

“待定系数法”都可以使用代换的方法来做。例如本题，可以令bn=an-n，那么an=bn+n，a(n+1）=b（n+1）+（n+1），代入到已知条件中即可

an+1/an=1/3
an>0
等比数列，公比为1/3

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石嘴山市17538866278： 已知数列an中,a1=2,an=an - 1+1/n(n+1) (n>=2)求an - ？
缪裕美威： 已知:数列an中,a1=2,an=a(n-1)+(1/n(n+1)),(n≥2);求an.解:由意意可知:an-a(n-1)=(1/n)-(1/(n+1)),则 a2-a1=(1/2)-(1/3) a3-a2=(1/3)-(1/4) a4-a3=(1/4)-(1/5) ··· a(n-1)-a(n-2)=(1/(n-1))-(1/n) an-a(n-1)=(1/n)-(1/(n+1)) 左右相加,得:an-a1=(1/2)-(1/(n+1)) 将a1=2代入上式,化简得:an=(5n+3)/(2n+2)

石嘴山市17538866278： 已知数列an中 a1=2 an=a(n - 1)+2n(n>1)求其通项公式an - ？
缪裕美威： 解:an-a(n-1)=2n 所以 a2-a1=4 a3-a2=6 a4-a3=8...an-a(n-1)=2n 叠加得 an-a1=4+6+8+...+2n=(n-1)(4+2n)/2=(n-1)(n+2)=n²+n-2 所以an=n²+n-2+a1=n²+n-2+2=n²+n

石嘴山市17538866278： 已知数列{An}中,A1=2,An加A(n减1)=3^n(n大于等于2),求An. - ？
缪裕美威：[答案] 符号 内表示 下脚标 A1 = 2 A2 + A1 = 3^2 = 9 A2 = 7 A + A = 3^n A + A = 3^(n+1) 两式做差 A - A = 3^(n+1) - 3^n = 2 * 3^n 对于 奇数位置 项 A1 = 2 A3 - A1 = 2 * 3^2 A5 - A3 = 2 * 3^4 …… A - A = 2 * 3^(2k) 以上各等式相加,左端可消去 A1 A3 …… A,...

石嘴山市17538866278： 已知数列{an}中,a1=2,anan+1+an+1=2an已知数列{an}中,a1=2,an*(an+1)+(an+1)=2an 求{an}的通项公式 - ？
缪裕美威：[答案] 解: an*a(n+1)+a(n+1)=2an 两边同时除以an*(an+1) 得: 1+1/an=2/a(n+1) 设:bn=1/an 则:2b(n+1)=bn+1 2[b(n+1)-1]=bn-1 [b(n+1)-1]/[bn-1]=1/2 则:{bn-1}为公比为1/2的等比数列 则:bn-1=(b1-1)*(1/2)^(n-1) =(1/a1-1)*(1/2)^(n-1) =-(1/2)^n 则;bn=...

石嘴山市17538866278： 已知数列 {an}中,a1=2,an+1(n+1是a的下标)=(√2 - 1)(an+2),n∈N*,求数列{an}的通项公式已知数列 {an}中,a1=2,an+1(n+1是a的下标)=(√2 - 1)... - ？
缪裕美威：[答案] a(n+1)=(√2-1)[a(n)+2]; a(n+1)-√2=(√2-1)[a(n)+2]-√2=(√2-1)a(n)+2(√2-1)-√2=(√2-1)a(n)+√2-2=(√2-1)a(n)-√2(√2-1)=(√2-1)[a(n)-√2]; 所以[a(n+1)-√2]/[a(n)-√2]=√2-1;即{a(n)-√2}为等比数...

石嘴山市17538866278： 已知数列{an}中,a1=2,an+1=2an/(an+1),则数列的通项公式an= - ？
缪裕美威：[答案] a(n+1)=2an/(an+2) 1/a(n+1)=(an+2)/(2an)=1/an+1/2 1/a(n+1)-1/an=1/2,为定值. 1/a1=1/1=1 数列{1/an}是以1为首项,1/2为公差的等差数列. 1/an=1/a1+(n-1)(1/2)=1+(n-1)/2=(n+1)/2 an=2/(n+1) n=1时,a1=2/(1+1)=1,同样满足. 数列{an}的通项公式为...

石嘴山市17538866278： 已知数列{an}中,a1=2,an+1=3an+2求数列{nan}的前n项和sn - ？
缪裕美威：[答案] a(n+1)=3an+2 设a(n+1)+k=3(an+k) 解得k=1 即a(n+1)+1=3(an+1) ∴数列{an+1}是首项为a1+1=3,公比为3的等比数列 ∴an+1=3*3^(n-1)=3^n an=3^n-1 ∴Sn=3-1+3^2-1+3^3-1+……+3^n-1 =(3+3^2+3^3+……+3^n)-n =[3^(n+1)-3]/2-n

石嘴山市17538866278： 已知数列{an}中,a1=2,an+1=(根号2 - ？
缪裕美威：[答案] 已知数列{an}中,a1=2,an+1=(根号2-1)(an +2),n=1,2,3,4……,求通项公式不是这个题目请追问an+1=(根号2-1)an +2根号2-2an+1 - 根号2 =(根号2-1)an +根号2-2an+1 - 根号2 =(根号2-1)an -根号2(根号2-1)an+1 - 根号2...

石嘴山市17538866278： 已知数列{an}中,a1=2,满足an+1=an+2n,求数列{an}的通项公式. - ？
缪裕美威：[答案] a(n+1)=an+2n 那么a(n+1)-an=2n 所以 a2-a1=2*1 a3-a2=2*2 ... an-a(n-1)=2(n-1) 叠加得an-a1=2[1+2+...+(n-1)]=n(n-1)=n^2-n 所以an=n^2-n+a1=n^2-n+2 如果不懂,请追问,祝学习愉快!

石嘴山市17538866278： 已知数列{an}中a1=2,an+1=2an/(1+an).求an的通项 为什么我求出来答案是1 - ？
缪裕美威： a(n+1)=2an/(1+an)1/a(n+1)=(1+an)/(2an)=(1/2)(1/an) +1/21/a(n+1) -1=(1/2)(1/an) -1/2=(1/2)(1/an -1)1/a1-1=1/2-1=-1/2 数列{1/an -1}是以-1/2为首项,1/2为公比的等比数列1/an -1=(-1/2)(1/2)^(n-1)=-1/2ⁿ1/an=1- 1/2ⁿ=(2ⁿ -1)/2ⁿ an=2ⁿ/(2ⁿ-1) n=1时,a1=2/(2-1)=2,同样满足通项公式 数列{an}的通项公式为an=2ⁿ/(2ⁿ-1)