如何理解矩阵转置和求逆的可交换性？
深入探索矩阵转置与逆的神秘互动：几何视角下的可交换性解析
矩阵的世界，虽然看似抽象，但它在几何学中的奥秘却揭示了数学之美。理解矩阵转置和求逆的可交换性并非易事，但它在数学的脉络中却占据着关键地位。让我们一起揭开这个谜团，从几何的角度逐步解析。
首先，想象矩阵如同一个空间中的子空间，代表一个平面。矩阵的求逆和转置，就好比空间上的变换，它们的组合是自然且直观的。在复数域上，矩阵的对偶（转置）被推广为转置后取复共轭，而在实数域中，对偶与转置的概念合二为一。
要深入理解，我们需要引入Krein空间的概念，它是一种抽象的数学工具。一个线性映射的矩阵，实质上可以被视为一个从自身映射的闭子空间或“图”，我们可以用这个视角来思考。例如，一个矩阵对应的是它在空间中的图像——一个独特的平面，而其逆矩阵则对应着这个子空间的对等映射。
进一步，我们可以引入向量的逆运算，定义为只有当对于某个向量，其逆满足特定条件时才成立。这个逆运算与矩阵的逆紧密相关，它们在数学结构上相互映射。对于Krein空间，我们引入一种特殊的内积，它将矩阵的对偶定义为在这个内积下的正交空间。
这个几何上的洞察，揭示了矩阵对偶和逆之间的内在联系。当你明白矩阵的这种几何含义，你会发现它们的可交换性变得清晰而直观。这种将算子视为空间的观点，是泛函分析中的核心思想，它不仅简洁，而且普遍适用。
尽管这段旅程可能会让你陷入几何的迷宫，但当你从另一端走出来，你会发现矩阵转置与逆的可交换性不再是神秘的谜团，而是一种数学艺术的体现。这就是我们今天探索的起点，也是数学探索的无穷乐趣所在。
矩阵的转置怎么求?
AA^T| = |A| |A^T| = |A||A| = |A|^2即矩阵A乘以A的转置等于A的行列式的平方。矩阵转置的主要性质：1、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的（网易笔试题曾考过）。2、实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。3、n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的...
矩阵的转置
在解决实际问题时，矩阵的转置常用于简化计算或求解特定问题。此外，某些线性代数定理和性质在矩阵转置后仍然成立，例如结合律、分配律等。这些性质在解决复杂问题时提供了极大的便利。总之，矩阵的转置是线性代数中一项重要的操作，有助于我们更深入地理解和应用矩阵这一数学工具。以上就是对矩阵的转置的详细...
矩阵的转置的意义是什么?
矩阵转置的深度洞察：揭示线性映射的秘密矩阵转置，这个看似简单的操作，其实蕴含着丰富的线性代数内涵。当我们探讨 A 与 A' 之间的关系时，它揭示了两个截然不同的线性映射世界。我将通过两种独特视角，带你深入理解矩阵转置的本质。首先，让我们明确一些基础概念。矩阵 A，一个 m×n 的结构，象征着一...
如何求一个矩阵的转置?
如果有n阶矩阵A，其矩阵的元素都为实数，且矩阵A的转置等于其本身（aij=aji）(i,j为元素的脚标)，而且该矩阵对应的特征值全部为实数，则称A为实对称矩阵。主要性质：1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。2.实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。3.n阶实对称矩阵A必...
矩阵的转置怎么求
5 6>> a'ans = 1 4 2 5 3 6 问题七：C语言 ，求转置矩阵 已通过测试，望采纳。不懂追问哈 include include void fun(int array[3][3]){ int array1[3][3];int i,j,t;for (i=0;i 问题八：转置伴随矩阵怎么求的啊谢谢了 以矩阵各项的代数余子式为项的矩阵再转置一下。
线性代数中转置问题
转置，和求逆的时候，相乘的矩阵是要颠倒一下位置的。
如何理解矩阵逆和转置之间的关系?
而转置矩阵是以对角线为轴翻转一个矩阵的元素，得到的矩阵。在一般情况下，矩阵的逆和转置是不相同的，因为两者的定义和运算规则不同。一个矩阵的逆矩阵只有在矩阵可逆的情况下才存在，并且只有在行列式不为零的条件下，才有可能求出矩阵的逆矩阵。而转置矩阵的求法则比较简单，只需要将矩阵的行和列...
求矩阵的转置与乘法,要用向量类实现
A的第一行元素跟B的第二列元素对应相乘后相加得到乘积矩阵的首行第二个元素，依次得到乘积矩阵的首行元素；讲A的第一行元素改为第二行元素，依照以上方法即可得到乘积矩阵的第二行元素；依此得到乘积矩阵。矩阵的转置和乘法不就是只有一种吗？何为向量类实现的 ...
伴随矩阵和转置矩阵的区别是什么?
二、性质不同：转置矩阵的行列式不变、转置矩阵后的加减与加减后矩阵再转置不变结果。即(A逆)转置 = (A转置)逆。A逆 = A*\/|A|。三、矩阵求法不同：1、当矩阵是大于等于二阶时，主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式，非主对角元素是原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求...
线性代数A矩阵乘以A的转置的含义或者几何意义
对于任意矩阵A（甚至是非方的），A(T)A（这个时候就变成方阵了，可以算特征值了）的特征值就称为A的奇异值。奇异值有个特性，就是A(T)A和AA(T)特征值相同。证明如下：假定A(T)A做了一个特征分解，为：A(T)A = QΣQ(T)对上式取转置，有AA(T) = QΣ(T)Q(T)显然，Σ是个对角阵，...
漫和协良： 这是两个完全不同的概念. 转置是行变成列列变成行,没有本质的变换 逆矩阵是和这个矩阵相乘以后成为单位矩阵的矩阵 这个是一个本质的变换,逆矩阵除了一些显然的性质以外还有一些很特殊的性质,例如无论左乘还是右乘原矩阵,都是单位矩阵.
瓮安县15547892373： 老师你好!我发现对于任意一个实方阵(不必对称),“求逆”、“转置”和“求伴随”这三种变换可以任意交换 - ？
漫和协良： 是的,三种运算可任意交换次序 前提是有逆
瓮安县15547892373： A的转置与A的可逆是什么关系? - ？
漫和协良： 当a为正定矩阵时,a逆=a转置.一般情况下,没什么必要联系,a逆的行列式值=a转置的行列式值的倒数
瓮安县15547892373： 为什么要做矩阵的转置 - ？
漫和协良： 转置是矩阵的一种常规运算. 例如对于正交矩阵 A,其逆矩阵等于转置矩阵,即 A^(-1) = A^T.求逆矩阵很繁,但求转置矩阵较容易.
瓮安县15547892373： 线性代数中 正交转置和可逆阵的区别,详细点 - ？
漫和协良： 矩阵的转置就是行列互换,把行写成列,列写成行; 可逆与正交都是对方阵而言的 可逆:对于方阵A,若存在B,使AB=BA=E,则B为A的逆矩阵,此时A可逆(当然B也是可逆的).这个有点象数字里面的倒数,在数字中我们知道0...
瓮安县15547892373： 线性代数 两个矩阵可交换的条件是什么? - ？
漫和协良： 下面是线性代数两个矩阵可交换矩阵的充分条件: (1) 设A , B 至少有一个为零矩阵,则A , B 可交换; (2) 设A , B 至少有一个为单位矩阵, 则A , B可交换; (3) 设A , B 至少有一个为数量矩阵, 则A , B可交换; (4) 设A , B 均为对角矩...
瓮安县15547892373： 线性代数矩阵可交换性,图中最下面的问号,两者为什么可交换?如何判断,谢谢. - ？
漫和协良： 因为(E+A)(E-A)=(E-A)(E+A),都等于E-A^2,然后在(E+A)(E-A)=(E-A)(E+A)两边,左乘以E+A的逆矩阵,右乘以E-A的逆矩阵,即为图中所说两矩阵可交换.
瓮安县15547892373： 矩阵求导的逆和逆的求导相等吗 - ？
漫和协良： 要看你怎么定义矩阵的求导运算.但是不管怎么说,一般来讲比较合理的导数定义都不会满足和求逆的可交换性,这一点只要看1阶的情形就够了:1/x' != (1/x)'
瓮安县15547892373： 为什么实对称矩阵要施密特正交化才能求出那个可逆矩阵来,从而相似对角化 - ？
漫和协良： 因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量一定正交.而我们只需要把相同特征值对应的几个特征向量正交化即可. 而斯密特正交化还有一特点,不仅正交化,还单位化,即每个向量的模都是1. 最后我们得到一组相互正交,而且模都是1的向量组.这个向量组有个特点,任意一个向量与自己做内积,结果都等于1,而其它向量的内积都等于0.于是这样的向量组构成的矩阵,转置即为它的逆.即变换矩阵P的逆,只要转置一下即可得到.
瓮安县15547892373： 这个转置矩阵和可逆什么的究竟有什么关系 - ？
漫和协良： 转置与可逆无直接关系.
