已知数列{an}的前N项和为Sn,a1=1.nan+1=(n+2)Sn

已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,当n≧2时,Sn-1+1,an,Sn+1成等差数列~

1.
n≥2时，S(n-1)+1，an，Sn+1成等差数列，则
2an=S(n-1)+1+Sn+1
2[Sn-S(n-1)]=S(n-1)+Sn+2
Sn=3S(n-1)+2
Sn+1=3S(n-1)+3=3[S(n-1)+1]
(Sn+1)/[S(n-1)+1]=3，为定值。
S1+1=2+1=3
数列{Sn+1}是以3为首项，3为公比的等比数列。
2.
Sn+1=3×3^(n-1)=3^n
Sn=3^n -1
n≥2时，an=Sn-S(n-1)=3^n-1-3^(n-1)+1=2×3^(n-1)
n=1时，a1=2×3^0=2×1=2，同样满足通项公式。
数列{an}的通项公式为an=2×3^(n-1)
nan=2n×3^(n-1)
Tn=a1+2a2+...+nan=2×[1×1+2×3+3×3^2+...+n×3^(n-1)]
令Cn=1×1+2×3+3×3^2+...+n×3^(n-1)
则3Cn=1×3+2×3^2+...+(n-1)×3^(n-1)+n×3^n
Cn-3Cn=-2Cn=1+3+3^2+...+3^(n-1)-n×3^n=1×(3^n-1)/(3-1)-n×3^n=[(1-2n)/2]×3^n -1/2
Tn=2Cn=[(2n-1)/2]×3^n +1/2

这题刚才有人出过了。

（1）证明：将an+1=Sn+1-Sn代入已知nan+1=（n+2）Sn；整理得sn+1n+1＝2?snn （n∈N?）．又由已知s11=1，所以数列{snn}是首项为1，公比为2的等比数列．（2）由（1）的结论可得snn=2n-1，∴Sn=n?2n-1当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n?2n-1-（n-1）?2n-2=（n+1）?2n-2由已知，a1=1，又当n=1时，（n+1）?2n-2=1，∴an=（n+1）?2n-1（n∈N*）．（3）由bn+1n+1=bn+snn（n∈N*）．得bn+1n+1=bnn+2n-1，由此式可得bnn＝bn?1n?1+2n?2，bn?1n?1＝bn?2n?2+2n?3，…b33＝b22+21，b22＝b11+20把以上各等式相加得，bnn＝b1+2+22+…+2n?2=2n?1?12

将An+1=Sn+1-Sn代入nAn+1=(n+2)Sn可得
n（Sn+1-Sn）=(n+2)Sn
即nSn+1=(2n+2)Sn
即Sn+1/n+1=2*Sn/n
则Sn/n是以S1/1=A1/1=1为首项，2为公比的等比数列
则Sn/n=2^(n-1),Sn=n*2^(n-1);
当n>=2时,An=Sn-Sn-1=n*2^(n-1)-(n-1)*2^(n-2)=(n+1)*2^(n-2)
A1=1也满足上式，则An=(n+1)*2^(n-2)，（n=1，2，3，。。。）
上面已求出Sn=n*2^(n-1)

nan+1=(n+2)Sn，则
(n-1)an=(n+1)S(n-1)
相减，
nan+1/(n+2)-(n-1)an/(n+1)=an
即
nan+1/(n+2)=2nan/(n+1)
则，
an+1/an=2(n+2)/(n+1)
则，
(Sn/n)/(Sn/(n-1))=(an+1/(n+2))/(an/(n+1))
=(n+1)/(n+2)*2(n+2)/(n+1)
=2
则{Sn/n}为等比数列

Sn/n=(1-2^n)/(1-2)=2^n-1
则，Sn=n(2^n-1)
则S(n-1)=(n-1)(2^(n-1)-1)
相减，
an=n(2^n-1)-（n-1)(2^(n-1)-1)
得
an=(n+1)*2^(n-1)+1

na(n+1)=(n+2)Sn
n(Sn+1-Sn)=(n+2)Sn
nSn+1=2(n+1)Sn
Sn+1/(n+1)=2Sn/n
所以{Sn/n}是2为公比的等比数列
即通向为s1*2^n-1=2^n-1

an+1=(n+2)*sn/n
所以an=(n+1)2^(n-2)

因为sn/n的通向为2^n-1
所以sn=n*2^n-1

2楼答案正确 一楼错了

---

米脂县19161117130： 已知数列前an的前n项和为Sn - ？
潭巧莫比： (1)∵a1=4,(n+1)an+1=(n+3)an ∴an/a(n-1)=(n+2)/n a(n-1)/a(n-2)=(n+1)/(n-1) ..... a2/a1=4/2 ∴an/a1=(n+2)/n*(1/3*2)=(n+2)(n+1)/6 ∴an=(2/3)(n+2)(n+1) ∴bn=an/(n+1)=(2/3)(n+2) ∴b(n-1)=(2/3)(n+1) ∴bn-b(n-1)=2/3 ∴{bn}是公比为2/3的等比数列 ...

米脂县19161117130： 已知数列{an}的前n项和为sn - ？
潭巧莫比： (1) an=(sn+2)/2a1=(s1+2)/2s1=a1得 a1=2a2=(s2+2)/2s2=a1+a2得 a2=4 (2) 2an=sn+22a(n-1)=s(n-1)+22an-2a(n-1)=sn-s(n-1)=anan=2a(n-1)an=a1q^(n-1)=2*2^(n-1)=2^nP(bn,b(n-1))在直线x-y+2=0上,则bn-b(n-1)=-2bn=b1+(n-...

米脂县19161117130： 已知数列an 的前n项和为Sn...数学题! - ？
潭巧莫比： s1=a1=2 1*a(2)=s(1)+1*2=2+2=4 a(2)=4 s(2)=a(1)+a(2)=6 2*a(3)=s(2)+2*3=6+6=12 a(3)=6猜想a(n)=2n因为a(n+1)=2(n+1) s(n)=2(1+2+3+...+n)=n(n+1) na(n+1)-sn-n(n+1)=2n(n+1)-n(n+1)-n(n+1)=0 即 na(n+1)=sn+n(n+1) 又a(1)=2*1=2 猜想得证

米脂县19161117130： 已知数列an的前n项和为sn,根据sn求数列的通项公式an,sn=2n^2 - 3n - 2 - ？
潭巧莫比： 解决这类问题主要利用前n项和与项的关系 1) 当n=1时,a1=-3, 2) 当n>1时,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2-2(n-1)2+3(n-1)+2=4n-5 所以所求通项为:an= -3,n=1 an=4n-5,n>1

米脂县19161117130： 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=3+2an,求an - ？
潭巧莫比： 解:由题意可得:Sn=3+2an 所以Sn-1=3+2an-1 所以Sn-Sn-1=an=2an-2an-1 所以an=2an-1 所以an/an-1=2 又S1=a1=3+2a1,解得a1=-3 所以数列{an}是以a1=-3为首项,公比为2的等比数列 所以an=-3*2^(n-1) (n≥1)

米脂县19161117130： 已知数列an的前n项和为Sn - ？
潭巧莫比：[答案] (1)由sn+s(n-1)=kan^2+2 (1)得s(n+1)+sn=ka(n+1)^2+2 (2)(2)-(1) 得a(n+1)+an=k[a(n+1)+an][a(n+1)-an]因为an>0,k>0 故a(n+1)-an=1/k{an}是等差数列,则an=1+(n-1)/k(2) 1/[an*a(n+1)]=k^2/[(n+k-1)(n+k)]=k^...

米脂县19161117130： 已知等差数列{an}的前n项和为Sn... - ？
潭巧莫比： a(m)=a(m-1)+d a(m)=a(m+1)-d 第一个条件等价于 2a(m)-a(m)^2=0推出 a(m)=0or2 a(1)=a(m)-(m-1)d a(2m-1)=a(m)+(m-1)d 以此类推,s(2m-1)=(2m-1)*a(m)=38 故,显然a(m)不为0,a(m)=2 故2m-1=19,m=10

米脂县19161117130： 已知数列an的前n项之和为sn,且 - ？
潭巧莫比： 1)Sn=a(an-1) S(n-1)=a(a(n-1)-1) 两式相减,得 an=a(an-a(n-1)) 即an=a/(a-1)*a(n-1) 即{an}时等比数列,公比为a/(a-1) 又a1=S1=a(a1-1),得a1=a/(a-1) 所以an=[a/(a-1)]^n 2)由题意可得,a/(a-1)=2+b [a/(a-1)]^2>4+b=a/(a-1)+2 令a/(a-1)=t,即t^2-t-2>0 解得t<-1或t>2 即1+1/(a-1)<-1或1+1/(a-1)>2 得1/2<a<1或1<a<2

米脂县19161117130： 已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2an - 2n(n∈N+),(1)求证数列{an+2}为等比数列;(2)若数列{bn} - ？
潭巧莫比： (1)令n=1,由Sn=2an-2n可得a1=2. 再由Sn=2an-2n(n∈N+),可得 sn+1=2an+1-2(n+1), ∴sn+1-Sn =2an+1-2an-2,即 an+1=2an +2,故有 an+1+2=2(an +2 ), 故数列{an+2}是以4为首项,以2为公比的等比数列. (2)由(1)知,an +2=4*2n-1...

米脂县19161117130： 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an - 1,求数列{an}的通项公式. - ？
潭巧莫比： 已知数列{a‹n›}的前n项和为S‹n›,且S‹n›=2a‹n›-1 求数列{a‹n›}的通项公式. 解:S₁=a₁=2a₁-1;∴a₁=1. S₂=a₁+a₂=2a₂-1;∴a₂=a₁+1=2; S₃=S₂+a₃=1+2+a₃=2a₃-1;∴a₃=4; S₄=S₃+a₄=1+2+4+a₄=2a₄-1;∴a₄...