已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1, a²n+1=Sn+1+Sn 求｛an｝的通项公式
1、s2=a1+a2，s1=a1
所以令n=1
a2=2（√a1）+1=3
2、a（n+1）-1=2√Sn
所以Sn=1/4(a（n+1）-1）²
Sn-1=1/4(an-1）²
两式相减
an=1/4【(a（n+1）-1）²-(an-1）²】
4an+(an-1）²=a（n+1）-1）²
（a（n+1）-1）²=(an+1）²
均为正数
所以a（n+1）-1=an+1
a（n+1）=an+2
等差数列，所以an=2n-1
n≥2时，
an²+2an=4Sn+3
a(n-1)²+2a(n-1)=4S(n-1)+3
an²+2an-a(n-1)²-2a(n-1)=4[Sn-S(n-1)]=4an
an²-a(n-1)²-2an-2a(n-1)=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)]-2[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-2]=0
an>0，an+a(n-1)恒>0，因此只有an-a(n-1)-2=0
an-a(n-1)=2，为定值
数列{an}是以2为公差的等差数列。
扩展资料：
等差数列其他推论：
① 和=（首项+末项）×项数÷2；
②项数=（末项-首项）÷公差+1；
③首项=2x和÷项数-末项或末项-公差×（项数-1）；
④末项=2x和÷项数-首项；
⑤末项=首项+（项数-1）×公差；
⑥2(前2n项和-前n项和)=前n项和+前3n项和-前2n项和。
解：
(1)
a2²=S2+S1=a1+a2+a1=2a1+a2=2×1+a2=a2+2
a2²-a2-2=0
(a2+1)(a2-2)=0
a2=-1(舍去)或a2=2
a(n+1)²=S(n+1)+Sn
a(n+2)²=S(n+2)+S(n+1)
a(n+2)²-a(n+1)²=S(n+2)-Sn=a(n+2)+a(n+1)
[a(n+2)+a(n+1)][a(n+2)-a(n+1)]-[a(n+2)+a(n+1)]=0
[a(n+2)+a(n+1)][a(n+2)-a(n+1)-1]=0
数列是正项数列，a(n+2)+a(n+1)恒>0，因此只有a(n+2)-a(n+1)-1=0
a(n+2)-a(n+1)=1，为定值，又a2-a1=2-1=1，数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列。
an=1+1×(n-1)=n
n=1时，a1=1，同样满足表达式
数列{an}的通项公式为an=n
(2)
bn=a(2n-1)·2^(an)=(2n-1)·2ⁿ
Tn=1·2+3·2²+5·2³+...+(2n-1)·2ⁿ
2Tn=1·2²+3·2³+...+(2n-3)·2ⁿ+(2n-1)·2ⁿ⁺¹
Tn-2Tn=-Tn=2+2·2²+2·2³+...+2·2ⁿ-(2n-1)·2ⁿ⁺¹
=2·(2+2²+...+2ⁿ)-(2n-1)·2ⁿ⁺¹ -2
=2·2·(2ⁿ-1)/(2-1) -(2n-1)·2ⁿ⁺¹ -2
=(3-2n)·2ⁿ⁺¹+6
Tn=(2n-3)·2ⁿ⁺¹+6
已知数列{an}各项均为正数,其前n项和为Sn,且(an+1)^2=4Sn,数列{bn}满...
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-2]=0 因为是正项数列，所以an+a(n-1)>0。即an-a(n-1)-2=0、an-a(n-1)=2。所以，{an}是首项为1、公差为2的等差数列，an=2n-1，n为正整数。b(n+1)=a(bn)=2bn-1、b(n+1)-1=2(bn-1)。所以数列{bn-1}是首项为b1-1=2、公比为2的...
为什么正项数列{An}单调减少可以推出它有界呢
首先他是正项数列，所以肯定是大于0，所以他有下界。正项数列单调递减，说明了在n->无穷时，an是为o的。也可以这么理解，你加的数越来越小，接近于0。就会在某一个值的时候，很接近。所以说，这就推出他有上界。有上界又有下界，则这个数列有界。
已知在正整数列{an}中,前n项和Sn满足:4Sn=(an+1)²
(1)由4Sn=(an+1)^2 得4S(n+1)=(a(n+1)+1)^2 两式相减 4a(n+1)=[a(n+1)+an+2]*[a(n+1)-an]化简2(a(n+1)+an)=(a(n+1)+an)(a(n+1)-an)因为{an}是 正项数列 所以a(n+1)-an=2 ,即数列是等差数列,公差是d=2.在4Sn=(an+1)^2 中，令n=1 得到a1=1...
数列{an}是正项数列,且∑an收敛,求证lim(n →∞)(n*an)=0
证明：设lim(n*an)=a ≠0，因为{an}是正项数列，有a>0 于是：lim(n*an)=liman\/(1\/n)=a>0 因为∑1\/n发散，所以级数∑an发散，矛盾。所以：lim(n*an)=0
已知正整数数列{an},(n∈N*)中,前n项和为Sn,且2Sn=an+1\/an,用数学归纳...
证明：由题意知当n=1，2S1=2a1=a1 +1\/a1，则a1=1\/a1，又a1>0,易得a1=1 此时a1=（根号下1）- 根号下(1-1)=1-0=1，成立；假设当n=k，k∈N*时，都有：ak=（根号下k）- 根号下(k-1) 成立 则当n=k+1时，2S(k+1)=a(k+1) +1\/a(k+1)，而2Sk=ak+1\/ak,则2a(k+1...
已知各项均为正数的数列{an}
令n=1 则2a1+2=a1^2+a1 a1^2-a1-2=0 由于a1>0,所以a1=2 2Sn+2=an^2+an 2S(n+1)+2=a(n+1)^2+a(n+1)两式相减 2a(n+1)=a(n+1)^2-an^2+a(n+1)-an 化简得 [a(n+1)-an-1][a(n+1)+an]=0 由于各项为正,所以[a(n+1)+an]项不可能为0 所以a(n+1)=...
求数列an的通项公式有哪些方法?
③累乘法：用于递推公式为an+1\/an=f（n） 且f(n)可求积。④构造法：将非等差数列、等比数列，转换成相关的等差等比数列。⑤错位相减法：用于形如数列由等差×等比构成：如an=n·2^n。按一定次序排列的一列数称为数列，而将数列{an} 的第n项用一个具体式子（含有参数n）表示出来，称作该数列...
已知正数列{an}的前n项和为sn,且an,sn,1\/an成等差数列,求an的通项...
当n=1时，2S1=a1+1\/a1，得a1=1 当n=2时，2S2=2(1+a2)=a2+1\/a2，得a2=√2-1 当n=3时，2S3=2(√2+a3)=a3+1\/a3，得a3=√3-√2 猜想an=√n-√(n-1) (n∈N*)证明：当n=1时显然成立；假设n=k时成立，那么有ak=√k-√(k-1)，2Sk=ak+1\/ak=2√k 那么当n=k+...
已知正实数列{an},满足sn=1\/2(an+1\/an)
==>2Sn(Sn-S)=(Sn-S)²+1 ==>2S²n-2Sn*S=S²n-2Sn*S+S²+1 ==>2S²n=S²n+S²+1 ==>S²n-S²=1 所列数列{Sn}是一个以S²1=1为首项 1为公差的等差数列 所以S²n=1+(n-1)*1=n ==>Sn=√n 所以An=...
已知数列{an}是正项等比数列,且a1+a2=3,a3+a4=12(1)求数列{an}的通项...
首先设 an=a1q^(n-1)然后把a1+a2=3,a3+a4=12代入通项公式 a3+a4=a1q^2+a1q^3=12 a1+a2=a1+a1q=3 q^2=4,q=2(-2舍去),a1+2a1=3,a1=1,得到通项公式：an=2^(n-1)bn-an=1+3(n-1)bn=an+3n-2=2^(n-1)+3n-2 Tn=2^n-1+(3\/2)n(n+1)-2n =2^n+(3n^2-...
嬴柄美卓：[答案] 当n=1时,s1=a1=2 当n》2时,4S(n-1)=A(n-1)*An; Sn-S(n-1)=An,4Sn-4S(n-1)=An*A(n+1)-A(n-1)*An 即4an=an(an+1-an-1) ∵an≠0 ∴an+1-an-1=4 ∵a1=2得a2=5 奇数项成以4为公差的等差数列;偶数项成以4为公差的等差数列 an=5n-3
兰溪市15023647048： 已知正项数列 an 的前n项和为sn,a1=1,且an=√sn十√sn一1 - ？
嬴柄美卓： 数列是正项数列,数列前n项和Sn>0 S(n+1)-Sn=a(n+1)>0 S(n+1)>Sn,数列前n项和随n增大单调递增.n≥2时,an=Sn-S(n-1)=√Sn+√S(n-1) [√Sn+√S(n-1)][√Sn-√S(n-1)]-[√Sn+√S(n-1)]=0 [√Sn+√S(n-1)][√Sn-√S(n-1)-1]=0 Sn...
兰溪市15023647048： 已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn,2Sn=3an - 9(1)求{an}的通项公式(2)若bn=log3 an,Tn为数列{1/ - ？
嬴柄美卓： (1) 2a1=3a1-9, a1=92Sn=3an -9 ① 2S(n-1)=3a(n-1)-9 (n≥2) ② ①-② 2an=3an -3a(n-1) an=3a(n-1) n≥2 {an}是等比数列,首项为9,公比为3 an=9*3^(n-1)=3^(n+1)(2) bn=n+11/bn*b(n+1)=1/[(n+1)(n+2)]=1/(n+1)-1/(n+2) Tn=1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+,,,,,,+1/(n+1)-1/(n+2) =1/2- 1/(n+2) 所以 Tn<1/2
兰溪市15023647048： 已知正项数列{an}的前n项和为Sn,满足a1=1,Sn^2 - Sn - 1^2=an^3 - ？
嬴柄美卓： 证:n≥2时,Sn²-S(n-1)²=an³ Sn²-(Sn-an)²=an³ Sn²-Sn²+2anSn-an²=an³2anSn=an³+an² 数列为正项数列,an>0 an≠0,等式两边同除以2an Sn=an²/2 +an/2 n≥2时,an=Sn-S(n-1)=an²/2 +an/2 -a(n-1)²/2 -a(n-1)/2 an²-a(n-...
兰溪市15023647048： 设正项数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项积为Tn,且Sn+Tn=1.(1)求a1,S2;(2)求证:数列{1Tn}是等差数列;(3)试求数列{1an}中最接近2012的项. - ？
嬴柄美卓：[答案] (1)当n=1时,a1+a1=2a1=1,解得a1= 1 2,此时S1= 1 2,T1= 1 2. 当n=2时,S2+T2=1,即 1 2+a2+ 1 2•( 1 2+a2)=1, 解... n+1的通项公式,利用等差数列的定义即可证明数列{ 1 Tn}是等差数列; (3)求出数列{ 1 an}的通项公式,即可得到结论.本...
兰溪市15023647048： 已知正数数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n满足4Sn=(an+1)^2,且数列b1,b2 - b1,b3 - b2,...bn - bn - 1是首项为1,公比为1/2的等比数列.求证数列{an}为... - ？
嬴柄美卓：[答案] 由4Sn=(an+1)^2 得4S(n+1)=(a(n+1)+1)^2 两式相减 4a(n+1)=[a(n+1)+an+2]*[a(n+1)-an] 化简2(a(n+1)+an)=(a(n+1)+an)(a(n+1)-an) 因为{an}是 正项数列 所以a(n+1)-an=2 ,即数列是等差数列,公差是d=2. 在4Sn=(an+1)^2 中,令n=1 得到a1=1 所以...
兰溪市15023647048： 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn,an,1/2成等差数列 - ？
嬴柄美卓： 由题意2an=Sn+1/2 Sn=2an-1/2 n=1时,S1=a1 a1=2a1-1/2 a1=1/2 S(n+1)-Sn=a(n+1)2a(n+1)-1/2-[2an-1/2]=a(n+1) a(n+1)=2an 因此{an}是等比数列,首项1/2,公比2 an=(1/2)*2^(n-1)=2^(n-2) Sn,an,1/2成等差数列2an=1/2+Sn 2an-1=1/2+Sn-1 ...
兰溪市15023647048： 已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且满足4Sn - 1=an2+2an,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=1an(an+2),数列{bn}的前n项和为Tn,证明:13≤Tn... - ？
嬴柄美卓：[答案] (1) 当n=1时,4a1=4S1=a12+2a1+1, 解得a1=1. 当n≥2时,4Sn=an2+2an+1,4Sn-1=an-12+2an-1+1, 相减得4an=an2+2an-... (2n-1)(2n+1)= 1 2( 1 2n-1- 1 2n+1), ∴数列{bn}的前n项和: Tn= 1 2(1- 1 3+ 1 3- 1 5+…+ 1 2n-1- 1 2n+1) = 1 2(1- 1 2n+1)< 1 ...
兰溪市15023647048： 已知数列{an}各项均为正数,其前n项和为Sn,点(an,Sn)在曲线(x+1)2=4y上.求{an}的通项公式 - ？
嬴柄美卓：[答案] 点(an,Sn)在曲线(x+1)2=4y上 4Sn=(an+1)^2 4S[n-1]=(a[n-1]+1)^2 相减 4an=an^2-a[n-1]^2+2an-2a[n-1] 2{an-a[n-1]}=(an+a[n-1])(an-a[n-1]) 正数 an-a[n-1]=2 等差数列 d=2 a1=1 an=2n-1
兰溪市15023647048： 已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且Sn、an、1成等差数列.(1)证明数列{an}是等比数列;(2)若bn=log2an+2,求数列{1bnbn+1}的前n项和为Tn. - ？
嬴柄美卓：[答案] (1)证明:由题意Sn、an、1成等差数列, ∴2an=Sn+1, 当n=1时,2a1=S1+1, ∴a1=1, 当n≥2时,Sn=2an-1,Sn-1=2an-1-1, 两式相减得an=2an-2an-1, ∴an=2an-1,n≥2, ∵an≠0 ∴ an an-1=2 因此数列{an}是以1为首项,以2为公比的等比数列, ...
