如图，AB是圆O直径，AC是弦，OD垂直AC于E，交圆O于F，连接BF、CF，角D等于角BFC。
（1）证明略（2） （1）证明：∵ OD⊥AC于点E，∴ ∠OEA=90°，∠1+∠2=90°．∵ ∠D=∠BFC，∠BFC=∠1，∴ ∠D +∠2=90°，∠OAD =90°．∴ OA⊥AD于点A．………………………1分∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线． ……………………2分（2）解：∵OD⊥AC于点E，AC是⊙O的弦，AC=8，∴ ．………………………………………………………3分∵∠B=∠C，tanB = ，∴ 在Rt△CEF中，∠CEF=90°，tanC = ．∴ ．设⊙O的半径为r，则 ．在Rt△OAE中，由勾股定理得 ，即 ．解得 r =5．……………………………………………………………………4分∴ 在Rt△OAE中， ．∴ 在Rt△OAD中， ． ………………………5分
∠BDF=∠C+∠CBD=2∠C
∴∠C=∠CBD
直径AB垂直平分CN
∴∠C=∠N
∴∠C=∠N=∠CBE
∴弧EC=弧BC
（2）
提示
弦EC=BC
OC垂直平分BE
∠ACB=90°
∠AEB=90°
AC平分∠EAB
（1）证明：
∵∠D=∠BFC
∠BAC=∠BFC（同弧所对的圆周角相等）
∴∠D=∠BAC
∵OD⊥AC
∴∠AED=90°
∴∠D+∠DAE=90°
∴∠BAC+∠DAE=90°
即∠BAD=90°
∵AB是⊙O的直径
∴AD是⊙O的切线
（2）
连接AF
∵OD⊥AC
∴AE=CE=½AC=4（垂径定理）
∵∠B=∠C（同弧所对的圆周角相等）
∴tan∠B=tan∠C=EF/CE=1/2
∴EF=½CE=2
∵OA=OF
∴∠OAF=∠OFA
∵∠OAF=∠BAC+∠EAF
∠OFA=∠D+∠DAF
∠BAC=∠D
∴∠EAF=∠DAF
∴AE/AD=EF/DF
∴AD=AE×DF/EF =2DF
设AD=x，DF=x/2
AD²=AE²+DE²
x²=4²+(2+x/2)²
3/4x²-2x-20=0
x=20/3
即AD=20/3
如图,AB是⊙O的直径,AB=2,点C在⊙O上,∠CAB=30°,D为BC的中点,P是直径...
解：见下图，根据三角形两边之和>第三边，作DE⊥AB，分别交AB于F，交圆O于E；联结EC，交AB于P'，根据垂径定理，则有DF=FE，P’D=P'E；当P移动到P'时，P'C+P'E=P'C+P'D<PC+PE(三角形两边之和>第三边）；取得最小值。因为圆O直径AB=2，∠CAB=30°，D是弧BC的中点，∠EAB=...
如图,AB是圆O的直径,C是圆O上的一点,CD垂直AB于点D,CE平分角DCO,交圆...
证明：∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACB=90° ∴∠A+∠B=90° ∵CD⊥AB ∴∠A+∠ACD=90° ∴∠B=∠ACD ∵OB=OC ∴∠B=∠OCB ∴∠ACD=∠OCB ∵CE平分∠DCO ∴∠DCE=∠OCE ∴∠DCE+∠ACD=∠OCE+∠OCB 即∠ACE=∠BCE ∴弧AE=弧BE（等角对等弧）【当点C在上半圆上移动时，点E是下半圆...
如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上于AB不重合的一个动点,CD平分角ACB
【D在圆O上】⊿ABD是等腰直角三角形 证明：∵AB是直径 ∴∠ADB=90º，即⊿ABD是直角三角形 ∵CD平分∠ACB ∴∠ACD=∠BCD ∴AD=BD【同圆内相等圆周角所对的弦相等】∴⊿ABD是等腰直角三角形 【或】∵AB是直径 ∴∠ACB=90º∵CD平分∠ACB ∴∠ACD=∠BCD=45º∵∠BAD=∠BCD...
如图,AB是圆O的直径,点E为BC的中点,AB=4,角BED=120度,则图中阴影部分的...
解：连接AE，OD、OE．∵AB是直径，∴∠AEB=90°，又∵∠BED=120°，∴∠AED=30°，∴∠AOD=2∠AED=60°．∵OA=OD ∴△AOD是等边三角形，∴∠OAD=60°，∵点E为BC的中点，∠AEB=90°，∴AB=AC，∴△ABC是等边三角形，边长是4．△EDC是等边三角形，边长是2．∴∠BOE=∠EOD=60°，∴...
如图,AB是圆O的直径,D是圆O上的一点,E为弧BD的中点,圆O的弦AD与BE的...
连接AE,DB E为弧BD中点,△ABC是等腰三角形 AC=AB=18,BE=1\/2BC=6 AE^2=AB^2-BE^2=18^2-6^2,AE=12√2 1\/2AC*DB=1\/2AE*BC, 18DB=12√2*12, DB=8√2 在RT△ABD中,AD=√(AB^2-DB^2)=√(18^2-8^2*2)=14 ...
如图,已知:AB是圆O的直径,BC与圆O相切于点B,圆O的弦AD平行于OC,若OA...
即CD的长．解答：解：连接BD，则∠ADB=90°；∵AD∥OC，∴OC⊥BD；根据垂径定理，得OC是BD的垂直平分线，即CD=BC；延长AD交BC的延长线于E；∵O是AB的中点，且AD∥OC；∴OC是△ABE的中位线；设OC=x，则AD=6-x，AE=2x，DE=3x-6；Rt△ABE中，根据勾股定理，得：BE²=4x²...
如图,AB是圆O的直径,
连接BC 因为CD垂直AB于D 所以角CDE=90度 因为AB是圆O的直径 所以角BCA=90度，角AFB=90度 所以角CDE=角AFB=90度 所以;D,G,F,B.四点共圆 所以：AD*AB=AG*AB 因为在直角三角形ACB中 角ACB=90度 CD垂直AB 所以：由射影定理得：AC^2=AD*AB 所以：AC^2=AG*AF 因为AC=6 AG=4 所以...
已知:如图,AB为圆O的直径,点E是OA上任意一点,过点E作弦CD⊥AB,点F是B...
已知:如图,AB为圆O的直径,点E是OA上任意一点,过点E作弦CD⊥AB,点F是BC弧上一点，连接AF交CE与点H，联结AC ，CF，BF；1）。.若AE比BE=1比4，求CD的长。2）。.在(1)的条件下，求AH×AF的值 解：1).设圆的直径为d，因为AB是直径，故AB=d,，AE\/BE=1\/4，故AE=d\/5，BE=4d\/5...
如图ab是圆o的直径ac是圆o的切线,bc与圆o相交于点d,点e在圆o上且de=...
证明 因为：AC且圆O于点A，AB为圆O的直径 所以：∠CAD=∠E 又DE=DA ∴ ∠E=∠DAE ∴ ∠CAD=∠DAE ∵ AB为圆O的直径 ∴ AD⊥BD 即∠CDA=∠ADF=90º∵ AD=AD ∴⊿CAD≌⊿FAD ∴ FD=CD
如图,ab是园o的直径,od垂直玄ac于点d,od的延长线交圆o于点e,与过点c...
解：（1）∵OD⊥AC，AO=OD+ED=5，∴AD= OA2-OD2 = 52-32 =4，∴AC=2AD=2×4=8；（2）∵FC为⊙O的切线，∴OC⊥FC，∴△ODC∽△OCF，∴OD DC =OC CF ，∴CF=20 3 ；（3）过点D作DH⊥AB，垂足为点H，∴△ODH∽△OAD，∴DH=12 5 ，OH=9 5 ，∴tan∠ABD=DH BH =6 ...
刘蒲博尔：[答案] ∵AB为圆O的直径, ∴O点为AB的中点, ∵OD∥BC, ∴D点为AC的中点, ∴OD为△ABC的中位线, ∵OD=2cm, ∴BC=2OD=4cm.
余姚市18424806128： 如图.已知ab是圆o的直径,ac是弦 - ？
刘蒲博尔：[答案] (1)连接OC,∠OCA=∠OAC=∠CAD,此外∠CAD+∠ACD=90°,所以∠OCA+∠ACD=90°,故OC⊥EF,根据定义得EF即为圆O的切线; (2)提示:阴影部分面积=梯形OCDA面积 - 扇形OCA面积
余姚市18424806128： 如图,AB是圆O的直径,AC是圆O的弦,过点C作圆O切线与AB延长线交于点D,诺角CAB=30度,AB=30,求BD长 - ？
刘蒲博尔：[答案] ∵∠CAB=30°,CD与圆O相切 ∴∠COB=∠CBO=60°, ∴∠BCD=∠BDC=30° ∴BD=1/2AB=15
余姚市18424806128： 如图所示,已知AB是圆O直径,AC是弦,点D是AC中点,若AC=8,cosA=4/5,求OD长 - ？
刘蒲博尔：[答案] 因为点D是AC中点,若AC=8,故AD=4,又因为AB是圆O直径,故OD垂直于AC,三角形AOD为直角三角形 cosA=4/5=AD/OA,故OA=5,OD=3
余姚市18424806128： 如图,AB是圆O的直径,AC是圆O的弦,D是弧AC的中点,DE垂直AB于点E,交AC于F,DB交AC于G,求证AF等于FG - ？
刘蒲博尔： 连接BC和AD.在直角△BDE和直角△BGC中 ∵∠ABD=∠CBD ∠BED=∠ACB=90° ∴∠BDE=∠BGC=∠AGD ∵△DFG是等腰三角形 ∴FD=FG 在直角△ADG中 ∵∠DAG+∠DGA=90° ∠ADF+∠GDF=90° ∴∠DAG=∠ADF ∵△AFD是等腰三角形 ∴AF=FD 即:AF=FG
余姚市18424806128： ab是圆o的直径ac为弦d是弧bc的中点一座ef垂直ac的延长线于点e交ab的延长线于点e交ab的延长线于f求证ef是圆o的切线 - ？
刘蒲博尔：[答案] AB是圆O的直径,AC为弦,D是弧BC的中点,过D作EF⊥AC交AC延长线于点E,交AB的延长线于点F, 求证EF是圆O的切线 证明:连BC ∵∠AEF=∠ACB=90º ∴BC∥EF 连OD ∵弧CD=弧DB ∴OD⊥BC(且平分) ∴OD⊥EF ∴EF是⊙O的切...
余姚市18424806128： 9.如图所示,已知AB是圆O的直径,AC是弦,点D是AC的中点,若AC=8,COSA=4/5,求OD的长 - ？
刘蒲博尔：[答案] 根据垂径定理 连接OD后,OD垂直AC AC=8 那么AD=1/2AC=4 OA=AD/cosA=4/(4/5)=5 根据勾股定理 OA²=AD²+OD² OD²=5²-4²=9 OD=3
余姚市18424806128： 如图,已知AB为圆O的直径,AC为弦,D为AC的中点,BC=6cm,求OD的长. - ？
刘蒲博尔：[答案] 因为AB是圆的直径 所以2AO=AB 又D为AC的中点 所以2AD=AC 又角DAO=角CAB 所以三角形DAO相似于三角形CAB 所以2OD=BC=8cm
余姚市18424806128： 如图,AB是圆O的直径,AC是弦,角BAC的平分线AD交圆O于点D,DE垂直于AC,交AC的延长线于点E.(1)若AC=3,AB=5,求AE的长. - ？
刘蒲博尔：[答案] 连接OD,BC相交于点F ∵AD是角平分线 ∴D是弧BC的中点 ∴OD⊥BC ∵AB是直径 ∴∠ACB=90° ∴四边形CEDF是矩形 OF是△ABC的中位线 ∴OF=1.5 ∴DF=2.5-1.5=1 ∴CE=1 ∴AE=3+1=4
