已知:如图,AB为圆O的直径,点E是OA上任意一点,过点E作弦CD⊥AB,点F是BC弧上一点，链接AF交CE与点H，联结AC
（1）证明：∵直径AB⊥CD，∴弧AC=弧AD，∴∠F=∠ACD，而∠CAH=∠FAC，∴△ACH∽△AFC；（2）解：AH?AF=AE?AB．理由如下：连BF，如图．∵AB为直径，∴∠AFB=90°，∴∠AFB=∠AEH=90°，而∠EAH=∠FAB，∴Rt△AEH∽Rt△AFB，∴AE：AF=AH：AB，即AH?AF=AE?AB；（3）解：当AE=18AB时，S△AEC：S△BOD=1：4．理由如下：∵S△ACE=12AE?CE，S△BOD=12DE?OB，S△AEC：S△BOD=1：4，∴12DE?OB=4×12AE?CE，即DE?OB=4CE?AE，∵直径AB⊥CD，∴CE=DE，∴OB=4AE，∴AB=8AE，即AE=18AB．故答案为18．
根据三角形定理得：
（1）如图，连接AP，则S△ABC=S△ABP+S△ACP，
所以，
1/2 AC•BD=1/2 AB•PF+1/2AC•PE，
∵AB=AC，
∴BD=PE+PF；
（2）连接AP，则S△ABC=S△ABP-S△ACP，
所以，1/ 2 AB•CD=1/ 2 AB•PF-1/2 AC•PE，
∵AB=AC，
∴CD=PF-PE．
扩展资料：
性质
1 、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。
2 、在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)。
3、 在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。
推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4、 一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。
5、 在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。
6 、三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
7、 在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。
8、直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
*勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c² ，那么这个三角形是直角三角形。
9、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
10、三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点。
11、三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。
12、 等底同高的三角形面积相等。
1、3 底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。
14、三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。
15、等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高、底边上的中线在一条直线上（三线合一）。
16、 在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边。
在三角形中 ,其中角α,β,γ分别对着边a,b,c。
17、 在斜△ABC中恒满足： 。
18、△ABC中恒有 。
19、三角形具有稳定性。
参考资料：百度百科——三角形
解：1).设圆的直径为d，因为AB是直径，故AB=d,，AE/BE=1/4，故AE=d/5，BE=4d/5；
∠ACB是直径上的圆周角，故∠ACB=90°，CD⊥AB，故CE是RT△ABC斜边上的高，
AC²=AE×AB=(d/5)×d=d²/5，故AC=d/√5=(√5/5)d.
CE²=AC²-AE²=d²/5-d²/25=4d²/25，∴CE=2d/5，于是得CD=2CE=4d/5.
2).RT△AEH～RT△AFB，AH/AB=AE/AF，∴AH×AF=AB×AE=d×(d/5)=d²/5
（1）证明：∵直径AB⊥CD，
∴弧AC=弧AD，
∴∠F=∠ACD，
而∠CAH=∠FAC，
∴△ACH∽△AFC；
（2）解：AH•AF=AE•AB．理由如下：
连BF，如图．
∵AB为直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠AFB=∠AEH=90°，
而∠EAH=∠FAB，
∴Rt△AEH∽Rt△AFB，
∴AE：AF=AH：AB，
即AH•AF=AE•AB；
已知:如图,AB为圆O的直径,C,D是圆上两点,且BC=OB,BC平行OD.求证:AD=D...
连接OC，∵BC=OB=OC ∴⊿OBC是等边三角形 ∴∠CBO=∠BCO=∠BOC=60º∵BC\/\/OD【没图，不知D点在C的同侧还是另一侧】∴∠BCO=∠COD=60º【同侧】【若在异侧，则∠CBO=∠BOD，道理一样，我用同侧】∴∠DOA=180º-∠COD-∠BOC=60º∴∠AOD=∠COD 根据同圆或等圆...
已知:如图,AB是圆O的直径,CD是O的弦,且AB垂直于CD,垂足为E,连接OC,O...
解：连接OC 则OC=5，CE=DE，∵CD=8 ∴CE=4 ∴OE=3 当E在OA上时，BE=5+3=8 当E在OB上时，BE=5-3=2 （2）S扇形AOB=π*5²*150\/360=25π\/12
已知:如图,AB为圆O的直径,点E是OA上任意一点,过点E作弦CD⊥AB,点F是B...
已知:如图,AB为圆O的直径,点E是OA上任意一点,过点E作弦CD⊥AB,点F是BC弧上一点，连接AF交CE与点H，联结AC ，CF，BF；1）。.若AE比BE=1比4，求CD的长。2）。.在(1)的条件下，求AH×AF的值 解：1).设圆的直径为d，因为AB是直径，故AB=d,，AE\/BE=1\/4，故AE=d\/5，BE=4d\/5...
如图,AB为圆O的直径,C为圆O上的一点,AP垂直于平面 ABC,AE垂直BP于点...
因为AB是直径,所以BC⊥AC；又AP⊥面ABC,所以BC⊥AP,于是知BC⊥面ACP,可知BC⊥AF.又AF⊥CP,且AF⊥BC,所以AF⊥面BCP,即知AF⊥BP.又BP⊥AE,所以BP⊥平面AEF,6,如图,AB为圆O的直径,C为圆O上的一点,AP垂直于平面 ABC,AE垂直BP于点E ,AF垂 直于CP于点F,求证：BP垂直于平面AEF 图：hi.b...
已知,如图,AB是圆O的直径,CD是弦,AE⊥CD,BF⊥CD,垂足分别为E,F 若AE=...
图中G是BF与圆的交点，连接AG 因为AB是直径，所以角AGB=90度。所以 AEFG是矩形，AG=EF=b, AE=GF=a 易证 EC=DF,设 EC=DF=d 连接AC,AD,BD 则 tan角EAC=EC\/AE=d\/a tan角EAD=ED\/AE=(b-d)\/a 又因为 角ADB=90度 所以 角ADE+角BDF=90度 所以 角BDF=角EAD 而 tan角BDF=BF\/DF...
如图,已知AB为圆O的直径,CD是弦,AB垂直CD于E,OF垂直AC于F,BE=OF?
（2）证明：∵AB⊥CD ∴ BC = BD ∴∠CAB=∠BCD 又∵∠AFO=∠CEB=90°，OF=BE，∴△AFO≌△CEB （3）连接DO．∵AB⊥CD ∴CE=1 2 CD=5 3 cm．在直角△OCE中，...,0,如图,已知AB为圆O的直径,CD是弦,AB垂直CD于E,OF垂直AC于F,BE=OF 如图,已知AB为圆O的直径,CD是弦,AB垂直...
已知如图,AB是圆O上一点,MN过C点,AD垂直MN于D,AC平分角DAB。求证:MN为...
连接OC 因为OC=OA=半径 所以△OAC是等腰三角形，所以∠OCA= ∠OAC.有因为 AC平分∠DAO，所以∠DAC=∠OAC=∠OCA 所以 AD\/\/OC 有因为AD⊥MN 所以OC⊥MN 所以MN为圆O的切线。
26题,已知:如图,AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,PD切⊙O于点C,BD⊥...
分析：（1）连接OC，由PD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于PD，由BD垂直于PD，得到OC与BD平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，再由OC=OB，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换即可得证；（2）连接AC，由AB为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到△ABC为直角三角形，根据一对...
已知:如图,AB是圆O的直径,CD为弦,且AB⊥CD于E,F为CD延长线上一点,连接...
证明：连接MB ∵M为圆上一点，∴∠AMB=∠FMB=90° ∴∠AMD+∠DMB=∠FMC+∠CMB 又∵B为弧CD的中点 ∴∠DMB=∠CMB ∴∠AMD=∠FMC
如图,已知AB为圆O的直径C、D为圆O上的两点,且点D是弧AC的中点,过点D作...
证明：延长DE，交圆O于点G ∵AB是直径，AB⊥CD ∴弧AD=弧AG，DE=1\/2DG ∵D是弧AC的中点 ∴弧AD=弧CD ∴弧DG=弧AC ∴AC=DG ∴DE=1\/2AC
单仁润丹： 已知:如图,AB为圆O的直径,点E是OA上任意一点,过点E作弦CD⊥AB,点F是BC弧上一点,连接AF交CE与点H,联结AC ,CF,BF;1)..若AE比BE=1比4,求CD的长.2)..在(1)的条件下,求AH*AF的值 解:1).设圆的直径为d,因为...
温江区15664164746： 已知:如图,AB为圆O的直径,点E是OA上任意一点,过点E作弦CD⊥AB,点F是BC弧上一点,链接AF交CE与点H,联结AC CF BD OD (1)求证△ACH相... - ？
单仁润丹：[答案] (1) ∵OA过圆心且CD⊥AB ∴弧AC=弧AD ∴∠F=∠ACD 又∵∠CAF=∠CAF ∴△ACH∽△AFC (2) 连接BC ∵AD为直径 ∴∠ACB=90° 又∵CE⊥AB ∴AE*AB=AC² ∵△ACH∽△AFC ∴AC/AH=AF/AC ∴AC²=AH*AF ∴AH*AF=AE*AB (3) S△...
温江区15664164746： 已知:如图,AB为圆O的直径,点E是OA上任意一点,过点E作弦CD⊥AB,点F是BC弧上一点,链接AF交CE与点H,联结ACCF,BF2.若AE比BE=1比4,求... - ？
单仁润丹：[答案] 已知:如图,AB为圆O的直径,点E是OA上任意一点,过点E作弦CD⊥AB,点F是BC弧上一点,连接AF交CE与点H,联结AC ,CF,BF;1)..若AE比BE=1比4,求CD的长.2)..在(1)的条件下,求AH*AF的值 1).设圆的直径为d,因为AB是直径,...
温江区15664164746： 如图 已知ab为圆o的直径,E是AB延长线上一点,点C是⊙O上的一点,连接EC、BC、AC,且∠BCE=∠BAC(1)求证 EC是⊙O切线 - ？
单仁润丹：[答案] (1)证明:连结OC,如图, ∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACB=90°,即∠1+∠2=90°, ∵OC=OA, ∴∠1=∠A, 又∵∠A=∠BCE, ∴∠BCE=∠1, ∴∠BCE+∠2=90°, ∴OC⊥EC, ∴EC是⊙O的切线;
温江区15664164746： 已知:如图,AB为圆O的直径,E为弦BC中点,连接EO并延长,交圆O与点D,连接AD,AC - ？
单仁润丹： 解:∵AB为圆O的直径 ∴∠ACB=90,AO=BO ∵E为BC的中点 ∴EO为△ABC的中位线 ∴ED∥AC ∴∠OEB=90 ∴∠BOE=90-∠B=90-38=52 ∴∠AOD=∠BOE=52 ∵AO=DO ∴∠D=(180-∠AOD)/2=(180-52)/2=64°
温江区15664164746： 如图 已知ab是圆o的直径,点e为圆o上任意一点,ac平分∠bae,交圆o于点c,过点c作cd垂直于ae于d,且dc与bc的延长线交于p(1)求证:pc是圆o的切线(2... - ？
单仁润丹：[答案] (1)证明:连OC,BC,如图,∵∠1=∠2,∵OA=OC,∴∠1=∠OCA,∴∠2=∠OCA.∴AD∥OC.又∵CD⊥AE,∴OC⊥CD.∴PC是⊙O的切线.(2)【解析】若∠BAE=60°,则∠1=30°,∠P=30°.∵AB为⊙O的直径,∴∠BCA=90°.∴∠3=60...
温江区15664164746： 如图 已知ab为圆o的直径,E是AB延长线上一点, - ？
单仁润丹： (1)证明:连结OC,∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACB=90°,即∠1+∠2=90°,∵OC=OA,∴∠1=∠A,又∵∠A=∠BCE,∴∠BCE=∠1,∴∠BCE+∠2=90°,∴OC⊥EC,∴EC是⊙O的切线;
温江区15664164746： 已知如图AB是圆O的直径,E是AB延长线上的一点,D是圆O上的一点,且AD平分∠FAE,ED⊥AF交AF的移测显微镜于点C - ？
单仁润丹： ∵AB是⊙O的直径, ∴∠AFB=90°. ∵∠C=90°, ∴∠AFB=∠C. ∴BF∥EC. ∴AF:AC=AB:AE. ∵AF:FC=5:3,AE=16, ∴5:8=AB:16. ∴AB=10.
温江区15664164746： 如图所示,AB为圆O的直径,点E、F在圆O上,AB∥EF,矩形ABCD所在平面和圆O所在的平面互相垂直.已知AB=2,EF=1(1)求证:平面DAF⊥平面CBF;(2)... - ？
单仁润丹：[答案] 解:(1)证明:∵平面ABCD⊥平面ABEF,CB⊥AB, 平面ABCD∩平面ABEF=AB, ∴CB⊥平面ABEF. ∵AF⊂平面ABEF,∴AF⊥CB, 又∵AB为圆O的直径,∴AF⊥BF, ∴AF⊥平面CBF. ∵AF⊂平面DAF,∴平面DAF⊥平面CBF. (2)根据(1)的证明...
温江区15664164746： 如图,已知AB为圆O的直径,AB=AC,BC交圆O于点D,AC交圆O于点E,角BAC=45°.给出以下五个结论:1、角EBC=22.5°;2、BD=DC;3、AE=2EC;4、劣弧... - ？
单仁润丹：[答案] 连接BE △ABE是等腰直角三角形 设AE=BE=a,AB=√2a AC=√2a AE=a,CE=AC-AE=√2a-a=(√2-1)a AE:CE=a:(√2-1)a =1:(√2-1)
