三角形三边成等比数列 公比为q求q的范围

在△ABC中，若三边a、b、c成等比数列，求公比的取值范围？？~

解：

三边a、b、c成等比数列，即

ac=b²

公比q=b/a=c/b

首先q＞0

(1)当q=1时，三角形为等边三角形，

(2)当q＞1时，c＞b＞a，需要满足a+b＞c,即(a/c)+(b/c)＞1

1/q²+1/q＞1

1+q＞q²

q²-q-1＜0

∴1＜q＜(1+√5)/2

(3)当0＜q＜1，a＞b＞c，需要满足b+c＞a，即(b/a)+(c/a)＞1

q+q²＞1

q²+q-1＞0

∴(-1+√5)/2＜q＜1

综上所述，

公比q的取值范围是((-1+√5)/2,(1+√5)/2)

谢谢

设3条边分别为a,aq,aq^2(q>0) ,所以a+aq>aq^2 a+aq^2>aq aq+aq^2>a 对3个不等式变形：q^2-q-10(2) q^2+q-1>0(3) 解(1)得：(1-√5)/2

三边a/q,a,aq
则a不是最大，也不是最小
两边之和大于第三边
a/q+a>aq,a>0
所以1/q+1>q
显然q>0
所以q^2-q-1<0
(1-√5)/2<q<(1+√5)/2
所以0<q<(1+√5)/2

a+aq>1/q
q^2+q-1>0
q<(-1-√5)/2,q>(-1+√5)/2
所以q>(-1+√5)/2

同时成立
所以(-1+√5)/2<q<(1+√5)/2

不妨设最短边为1，则次短边为q,最大边为q^2,(q>=1)
1+q>q^2
q^2-q-1<0
(1-√5)/2<q<(1+√5)/2
又q>=1
所以公比为q的范围为
1<=q<(1+√5)/2

三边a/q,a,aq
则a不是最大，也不是最小
两边之和大于第三边
a/q+a>aq,a>0
所以1/q+1>q
显然q>0
所以q^2-q-1<0
(1-√5)/2<q<(1+√5)/2
所以0<q<(1+√5)/2
a+aq>1/q
q^2+q-1>0
q<(-1-√5)/2,q>(-1+√5)/2
所以q>(-1+√5)/2
同时成立
所以(-1+√5)/2<q<(1+√5)/2

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新龙县15785654637： 三角形三边成等比数列 公比为q求q的范围 - ？
伯牙吾台眨酚磺：[答案] 三边a/q,a,aq 则a不是最大,也不是最小 两边之和大于第三边 a/q+a>aq,a>0 所以1/q+1>q 显然q>0 所以q^2-q-1(1-√5)/2所以0a+aq>1/q q^2+q-1>0 q(-1+√5)/2 所以q>(-1+√5)/2 同时成立 所以(-1+√5)/2解析看不懂?免费查看同类题视频解析查...

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伯牙吾台眨酚磺： 设三边为a/q,a,aq,a>0,q>0 若q>1,则aq为三边最大 a/q+a>aq a>0 1/q+1>q q>0,两边同时乘以q得 q^2-q-1<0 解得(1-sqrt5)/2<q<(1+sqrt5)/2 q>1 所以1<q<(1+sqrt5)/2 q=1,是成立 0<q<1时,a/q为三边最大 a+aq>a/q a>0,q>0 q^2+q-1>0 解得q>(-1+sqrt5/2)或q<(-1-sqrt5)/2 0<q<1, 所以(-1+sqrt5/2)<q<1 综上,(-1+sqrt5/2)<q<(1+sqrt5)/2

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伯牙吾台眨酚磺： 解:设3条边分别为a,aq,aq^2(q>0) ,所以 a+aq>aq^2 a+aq^2>aq aq+aq^2>a 对3个不等式变形: q^2-q-1<0(1) q^2-q+1>0(2) q^2+q-1>0(3) 解(1)得: (1-√5)/2<q<(1+√5)/2 解(2)得: q∈R 解(3)得: q<(-1-√5)/2或q>(-1+√5)/2 所以q的取值范围是 (-1+√5)/2<q<(1+√5)/2

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