如何证明：阶的素数的群一定是循环群啊？？
证明：设G是一个群，|G|为素数p。首先，因为p是素数，所以p大于1（1不是素数），即G不是只由单位元构成的1阶群，G中存在异于单位元e的元素。设a∈G，a≠e，则o(a)≠1。由Lagrange定理知a的阶o(a)必定是p的因子，由于p是素数，p的因子只有1和p两个，因此只能o(a)=p。由于o(a)=|G|，所以G是循环群。证毕。
设群（G,*）的阶是素数p,a不是G的单位元,若a的阶是m,则m>1,H={ar | r属于Z}是关于*的一个m阶循环子群,又m是p的因数,但素数p只有p 和1,m又不等于1,故m=p,所以（G, *）是一个循环群
设p为素数，|G|=p，由于G的所有元素的阶都可以被p整除，故任取a∈G，a的阶要么是1要么是p，若a≠1，则a的阶=p，如此a^p=1且a、a^2、a^3…a^(p-1)∈G，又因为|G|=p,故G={1，a，a^2…a^(p-1)}，这就证明了G是循环群。
扩展资料：
若—个群G的每—个元都是G的某—个固定元a的乘方，则称G为循环群，记作G=(a)={am |m∈Z}，a称为G的—个生成元。
特别地，如果G的代数运算采用加号表示时，则有 (a)={ma | m∈Z}。
由于群之间的同构关系具有反身性、对称性和传递性，故这个定理告诉我们，凡无限循环群都彼此同构，凡有限同阶循环群都彼此同构，而不同阶的群，由于不能建立双射，当然不能同构。这样抽象地看，即在同构意义下，循环群只有两种，即整数加群和模n的剩余类加群。
设p为素数，|G|=p，由于G的所有元素的阶都可以被p整除，故任取a∈G，a的阶要么是1要么是p，若a≠1，则a的阶=p，如此a^p=1且a、a^2、a^3…a^(p-1)∈G，又因为|G|=p，故G={1,a,a^2…a^(p-1)}，这就证明了G是循环群。
“孪生素数猜想”中国数学家张益唐的突破性成果
两千多年前的欧基里德，已经证明了素数有无穷多。人们最近发现的已知最大素数是2^74207281-1(即2的74207281次方再减去一，如果写成十进数字，有2230多万位）。 人们之所以重视研究素数，是因为任何自然数（正整数） 都可表示成素数或若干个其它素数的乘积，即素数是构成自然数的基石。例如，100=2X2X5X5...
已知2的n次方是素数,证明n是素数.如何证明?
如果n＞1则它有因子2不是素数，因此n只能为1，谈何素数？题目有误
什么和什么是素数
素数是这样的整数，它除了能表示为它自己和1的乘积以外，不能表示为任 何其它两个整数的乘积。例如，15＝3＊5，所以15不是素数；又如，12 ＝6＊2＝4＊3，所以12也不是素数。另一方面，13除了等于13＊1以 外，不能表示为其它任何两个整数的乘积，所以13是一个素数。有的数，如果单凭印象去捉摸...
质数为何数?质数的定义是什么?
质数(又称为素数）1.只有1和它本身这两个因数的自然数叫做质数。还可以说成质数只有1和它本身两个约数。2.素数是这样的整数，它除了能表示为它自己和1的乘积以外，不能表示为任 何其它两个整数的乘积。例如，15＝3×5，所以15不是素数；又如，12 ＝6×2＝4×3，所以12也不是素数。另一方面，...
质数是什么?
回答：质数就是在所有比1大的整数中,除了1和它本身以外,不再有别的约数,这种整数叫做质数,质数又叫做素数。这终规只是文字上的解释而已。能不能有一个代数式,规定用字母表示的那个数为规定的任何值时,所代入的代数式的值都是质数呢? 质数的分布是没有规律的,往往让人莫名其妙。如:101、401、601、...
关于质数
在这里要强调一点,高斯和乐强何的近似都是由经验归纳而来的,不是由逻辑证明得到的。甚至黎曼函数也是如此,虽然他的R(x)有理论的解释,他从未证明出质数定理。Hadamard以及de la Vall'eePoussin根据黎曼的工作,继续研究,终於在1896年首度完成证明。孪生质数关於质数的规律性,我们再来看一些数值的例子。前面说过,在x...
质数是什么意思?
质数又称为素数，是一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数。
终极素数定理的证明比前数学家证明的素数定理证明有何先进之处?能解决...
终极素数定理的证明并不能解决什么现实问题，没有任何先进之处，只不过是为了混饭吃，为了证明自己的存在感，所以就必须编造一些没有任何意义的定理，既不能解决航空航天问题，也不能解决国防和军事问题，更不能解决老百姓的吃饭问题，还不能解决老百姓的疾病问题，说白了，这些搞学术的人渣就是骗子，不能...
素数在数论中有何重要性?
此外，中国的数学家还在其他与素数相关的问题上做出了重要贡献，如费马大定理的证明等。总之，素数在数论中具有重要的地位和作用。它们不仅是构成整数的基本元素，还在密码学、数学问题和定理等方面发挥着重要作用。在未来，随着科学技术的发展，素数研究将继续为人类社会带来更多的价值和启示。
哪两个素数加一起等于20
17+3=20 13+7=20
谈卢可维： 设p为素数,|G|=p,由于G的所有元素的阶都可以被p整除,故任取a∈G,a的阶要么是1要么是p,若a≠1,则a的阶=p,如此a^p=1且a、a^2、a^3…a^(p-1)∈G,又因为|G|=p,故G={1,a,a^2…a^(p-1)},这就证明了G是循环群. 扩展资料: 若—...
湘阴县15736286023： 证明阶为素数的群必是循环群 - ？
谈卢可维： 原发布者:想想12345时代1.证明:阶是素数的群是循环群.分析:证明一个群是循环群的思路有三种:(1)利用循环群的定义证明群中每一个元都能表示为群中同一个元的方幂;(2)利用同构的思想,先构造一个恰当的循环群,再证明它和...
湘阴县15736286023： 证明阶为素数的群必是循环群 - ？
谈卢可维：[答案] 设群(G,*)的阶是素数p,a不是G的单位元,若a的阶是m,则m>1,H={ar | r属于Z}是关于*的一个m阶循环子群,又m是p的因数,但素数p只有p 和1,m又不等于1,故m=p,所以(G, *)是一个循环群
湘阴县15736286023： 如何证明素数阶群一定是循环群?求高手!!!!! - ？
谈卢可维： 群的阶能被子群的阶整除,所以,考虑任何元素生成的循环群,个数要么是1,要么等于该素数,所以...
湘阴县15736286023： 证明素数阶群一定是循环群,并且这样的群除{e}以外没有真子群. - ？
谈卢可维： 哎...在讲解群的一个等价划分的时候,也就是群的指数的时候,有一个只要学群就一定要明白的事实,有限群中,群的阶可以整除元素的阶.那么素数p阶群中元素的阶只能是1和p阶是1还只有单位元,故有p阶元素,那么该p阶元素生成的群即为G本身.后一个结论显然.
湘阴县15736286023： 为什么“素数阶的群必是循环群”? - ？
谈卢可维： 设群G是素数阶群,阶为p 任取a≠e,a的阶一定是p的因数,显然|a|≠1,所以|a|=p 由a生成的G的子群的阶就是p 所以G=<a>
湘阴县15736286023： “除平凡子群外无其他子群的群是素数阶循环群”怎样证明? - ？
谈卢可维： 沙发 证明:设群G无非平凡子群,a是G中的非单位元,则H=(a)是G的子群且H≠{e},所以G=H=(a),所以G是循环群. 如果G是无限群,因为G≌Z,但Z有无穷多个非平凡子群nZ,矛盾,G必是有限群. 不妨设G为n阶群,则G≌ Zn,考虑Zn中任一循环子群(a),a∈Zn且非单位元,因为Zn无非平凡子群,所以Zn=(a),故a和n互素,即(a,n)=1这对一切1显然,群G无非平凡子群是G是素数阶循环群成立的充分必要条件.
湘阴县15736286023： 证明15阶交换群必为循环群 - ？
谈卢可维：[答案] 基本上所有的抽象代数的书上都会有这条定理:如果群G是交换的,并且阶为p*q(p,q为素数),那么G一定是循环群. 证明一般用的是柯西定理或者希洛定理.以下证明用到柯西定理. 柯西定理:若G是一个有限群且p是一个可整除G的阶(G的元素数目)...
湘阴县15736286023： 证明:有限交换单群一定是素数阶循环群 - ？
谈卢可维：[答案] 交换的单群的所有子群都正规,所以它必须没有非平凡子群.然后直接用Abel的直和分解,如果它有不止一个因子的话,头一个因子所对应的就是一个非平凡子群.
