素数阶的群都是交换群
如何证明三阶群是阿贝尔群?
群中元素的阶必是群的阶的因子.而3是一个质数,因此3阶群中除单位元外,其余元素均是3阶元,所以3阶群只有一种类型,就是循环群,当然是可交换群（阿贝尔群）.
群g是一2n阶交换群,n为奇数则g中只有一个二阶元,为什么?
n 为奇数。 2 与 n 互质， 由此2n阶阿贝尔群同构 Z2 + Zn = C2 X Cn 。 C2 = <x> , Cn = <y> . 仅有一个二阶元(x,1)。 对于其他情形 考虑到y^2m 不为单位元就行了。
Klein四元数群具体是什么???
Klein四元数群从字面上可以看出这个群du有4个元，K4={e,a,b,ab}，Klein四元数群中除单位元外其余元都为2阶元，它是交换群，也是最小的非循环群。所有四阶群要么与4阶循环群同构，要么与Klein四元数群同构。如果是循环群，显然是Z4。（或C4） 如果不是循环，那么所有非单位元的元素阶为2或...
非幺元的阶都为2的有限群的结构
非幺元的阶都为2的有限群，对我来说非常吸引人。一方面，Klein四元群是其中的特例；另一方面，我们可以证明这类群都是交换群。这类群的结构简单且不平凡，激发了我对其结构的思考。经过几天的探索，我完全搞清楚了这类群的结构，关键一步的证明由我的同学王德钰作出。整个证明思路简单、清晰且流畅，分...
一个群的阶数为某素数平方,求证其一定为ABEL群
只有一个元素的轨道并在一起就是中心Z(G)。|G|=p^2，所以|Z(G)|=1或者p或者p^2。如果一个轨道有不止一个元素（比如有k个元素，k>1），那么这个轨道的稳定子群的元素个数就是|G|\/k。所以p整除k。这样p整除|Z(G)|。如果|Z(G)|=p，那么G\/Z(G)和Z(G)都是交换群（因为是p阶群...
二面体群是交换群吗
二面体群是一种特殊的交换群。所有满足交换律的群都可以同构于2n阶的二面体群。例如，考虑三角形，将其旋转一周，然后进行一次翻折，再旋转两周（因为旋转两周等于执行一次正旋转），得到的仍然是翻折本身，即翻折的逆元。翻折的逆元就是翻折本身，因为无论翻转多少次，最终都会回到初始状态，即...
证明15阶交换群必为循环群
基本上所有的抽象代数的书上都会有这条定理：如果群G是交换的,并且阶为p*q（p,q为素数）,那么G一定是循环群.证明一般用的是柯西定理或者希洛定理.以下证明用到柯西定理.柯西定理：若G是一个有限群且p是一个可整除G的阶（G的元素数目）的质数,则G会有一个p阶的元素.在本题中15=3*5,所以群...
小记:有限单群分类
素数群是简单的，有限交换单群分类，就只有素数群，它们构成了交换群的基础，任意一个有限交换群总可以分解为几个素数群的直积。这一结果不难理解，就像素数在整数乘法中起到的基础作用一样，群按照阶来看的话，和整数理论没什么区别，因为阶总是整数，而子群的阶总能整除群的阶，可以视为群的阶的...
离散数学 :一、二、三、五阶群有一个,四、六阶有两个,七阶群有几个...
有几个？这个就是这门科的目的啊。。怎么可能有捷径 阶数大的，一般可以用8阶以内的积来考虑，比如9阶用C3xC3就找到了一个。任何群先考虑交换的，也就是用循环群的积来生成会很简单。接下来考虑非循环的有点难度，但最终只是排列组合的问题。排列组合学得好的话个数慢慢算吧 ...
有限交换群的性质
有限交换群的性质包括存在各阶子群和单一性。对于一个有限交换群G，其阶数为n。根据这个性质，无论n的因子是什么，都存在一个阶数为m的G的子群。在有限交换群中，可以找到各种不同阶数大小的子集合，也满足了组成一个有效并封闭操作结构所需遵循规则。有限交换群还具备单一性特点，在没有非平凡正规子群...
小店区高喜回答：[答案] 素数阶群都是单群,从而都是循环群,也就是abel群. 只需要考虑非素数阶的群就行了. 也就是只要考虑四阶群就行了. 假设这个四阶群不是循环群,(是循环群必然是abel群了)那它有非平凡子群,子群必为2阶. 取群中两个非单位元a,b. 他们分别构成...
住实18567042908问： 抽象代数证明:一个有限非交换群所包含的元素个数至少是6个 - ？
小店区高喜回答： 首先,阶数为素数的群肯定是交换群,所以个数不可能为1,2, 3, 5; 下面只要考虑阶数是4的群是否交换,假设这个群是 G= {1, a, a^(-1), b } 由群运算的封闭性 , ab,ba 都属于 G, 并且都不等于 1,a, a^(-1);那么由于群的阶数是4,只能有 ab=ba,所以G是交换的.综上所述,非交换群的阶数最少是6.
住实18567042908问： 为什么说阶不大于5的群必是交换群呢? - ？
小店区高喜回答： 首先,由Lagrange定理,我们知道:有限群G的任意一个元的阶数整除G的阶数. 由此,可得阶为素数的群必为循环群(元的阶数只能为1或群的阶数). 而循环群都是交换的,至此,我们说明了,阶为2、3、5的群都是交换的.(1阶显然) 下面需要证明4阶群是交换群.我们知道,其元素阶数只能为:1、2、4三种. 若存在4阶元,为循环群,故交换;若不存在4阶元,则为Klein四元群,其是交换的. 综上,阶不大于5的群都是交换群. 事实上,存在阶为6的非交换群,置换群S3.
住实18567042908问： 离散数学,证明:除单位元以外的元素阶都是2的群是可交换群 - ？
小店区高喜回答： a,b为任意两个元素,e为单位元,则ab必须在群里(群的封闭),因此ab的阶为2(题目说的) 由二阶可得(ab)(ba)=a(bb)a=e, 又ab必须在此群里,因此ab的阶也为2可得(ab)(ab)=e.因此abba=abab, 两边消去左边的ab得到ab=ba
住实18567042908问： 证明阶为素数的群必是循环群 - ？
小店区高喜回答： 原发布者:想想12345时代1.证明:阶是素数的群是循环群.分析:证明一个群是循环群的思路有三种:(1)利用循环群的定义证明群中每一个元都能表示为群中同一个元的方幂;(2)利用同构的思想,先构造一个恰当的循环群,再证明它和...
住实18567042908问： 设G为有限群,阶为N,N=p*q,p,q均为素数,证明G为循环群. - ？
小店区高喜回答：[答案] 这个结论不成立.最简单的例子, 三元置换群S3的阶数为6 = 2·3,2, 3均为素数, 但S3不是循环群, 连交换群都不是.即便p, q都是奇素数也不成立, 例如有21阶非交换群.如果将前提改为G是有限交换群, 且p ≠ q, 那么结论是...
住实18567042908问： 若把同构的群看作是一样的,一共只存在两个阶是4的群,它们都是交换群. - ？
小店区高喜回答： 非交换群最小的是6阶群S3Z4,K4,是两个4阶群,但他们不同构,Z4是循环群,K4是除单位元外均为2阶的元素构成的.如果你要证明这个很简单. 首先元素的阶可以整除群的阶,那么只能有1,2,4阶元素. 如果有4阶,那么是Z4 如果无4阶,那么是K4
住实18567042908问： 一个群的阶数为某素数平方,求证其一定为ABEL群 - ？
小店区高喜回答： 大概说一下好了.把这个群G划分成轨道,每个轨道是共轭类.只有一个元素的轨道并在一起就是中心Z(G).|G|=p^2,所以|Z(G)|=1或者p或者p^2.如果一个轨道有不止一个元素(比如有k个元素,k>1),那么这个轨道的稳定子群的元素个数就是|G|/k.所以p整除k.这样p整除|Z(G)|.如果|Z(G)|=p,那么G/Z(G)和Z(G)都是交换群(因为是p阶群,所以是循环群),然后再推出G是交换群.
住实18567042908问： 证明素数阶群一定是循环群,并且这样的群除{e}以外没有真子群. - ？
小店区高喜回答： 哎...在讲解群的一个等价划分的时候,也就是群的指数的时候,有一个只要学群就一定要明白的事实,有限群中,群的阶可以整除元素的阶.那么素数p阶群中元素的阶只能是1和p阶是1还只有单位元,故有p阶元素,那么该p阶元素生成的群即为G本身.后一个结论显然.
住实18567042908问： 证明:有限交换单群一定是素数阶循环群 - ？
小店区高喜回答：[答案] 交换的单群的所有子群都正规,所以它必须没有非平凡子群.然后直接用Abel的直和分解,如果它有不止一个因子的话,头一个因子所对应的就是一个非平凡子群.
