关于质数
质数又称为素数,是一个大于1的自然数,除了1和它自身外,不能被其他自然数整除的数叫做质数;否则称为合数。
质数又称为素数,是一个大于1的自然数,除了1和它自身外,不能被其他自然数整除的数叫做质数;否则称为合数。
什么是质数?就是在所有比1大的整数中,除了1和它本身以外,不再有别的约数,这种整数叫做质数,质数又叫做素数。这终规只是文字上的解释而已。能不能有一个代数式,规定用字母表示的那个数为规定的任何值时,所代入的代数式的值都是质数呢?
质数的分布是没有规律的,往往让人莫明其妙。如:101、401、601、701都是质数,但上下面的301和901却是合数。
有人做过这样的验算:1^2+1+41=43,2^2+2+41=47,3^2+3+41=53……于是就可以有这样一个公式:设一正数为n,则n^2+n+41的值一定是一个质数。这个式子一直到n=39时,都是成立的。但n=40时,其式子就不成立了,因为40^2+40+41=1681=41*41。
被称为“17世纪最伟大的法国数学家”费尔马,也研究过质数的性质。他发现,设Fn=2^(2^n),则当n分别等于0、1、2、3、4时,Fn分别给出3、5、17、257、65537,都是质数,由于F5太大(F5=14292967297),他没有再往下检测就直接猜测:对于一切自然数,Fn都是质数。但是,就是在F5上出了问题!费尔马死后67年,25岁的瑞士数学家欧拉证明:F5=14292967297=641*6700417,并非质数,而是合数。
更加有趣的是,以后的Fn值,数学家再也没有找到哪个Fn值是质数,全部都是合数。目前由于平方开得较大,因而能够证明的也很少。现在数学家们取得Fn的最大值为:n=1495。这可是个超级天文数字,其位数多达10^10584位,当然它尽管非常之大,但也不是个质数。质数和费尔马开了个大玩笑!
17世纪还有位法国数学家叫梅森,他曾经做过一个猜想:2^p-1代数式,当p是质数时,2^p-1是质数。他验算出了:当p=2、3、5、7、17、19时,所得代数式的值都是质数,后来,欧拉证明p=31时,2^p-1是质数。
还剩下p=67、127、257三个梅森数,由于太大,长期没有人去验证。梅森去世250年后,美国数学家科勒证明,2^67-1=193707721*761838257287,是一个合数。这是第九个梅森数。20世纪,人们先后证明:第10个梅森数是质数,第11个梅森数是合数。质数排列得这样杂乱无章,也给人们寻找质数规律造成了困难。
现在,数学家找到的最大的梅森数是一个有378632位的数:2^1257787-1。数学虽然可以找到很大的质数,但质数的规律还是无法循通。
头五千万个质数
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【摘要】不按牌理出牌 数学家也拿他没办法
质数怎样分布?古今中外,不论是专业的数学家或业余的嗜好者,都曾被这问题所深深吸引。
质数是个比1大的自然数,除了自身和1以外,没有其他自然数可以除尽他。质数的分布有两个互相矛盾的特点。下面我会列举一些事实,使你永远相信这两个特点。
第一点,尽管质数的定义极为简单,又是自然数的建构砖石(任何自然数都可表为质因数的幂次的连乘积,且表法唯一),它却是数学家研究的对象中最不驯的一种;质数在自然数中,像杂草似地乱长,似乎除了机会律以外,不遵守其他的规律,没人敢说下一个会从那里冒出来。
第二点更令人惊讶,因?T篕P第一点相反,质数表现出惊人的规律性。也就是说,确有规律限制质数的行为,他们像军人一样绝对服从这些规律。
为了支持第一点,我把100以下的质数和合数写出来(除了2以外,不列偶数):
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再把1千万加减一百以内的质数列出:在9,999,900与10,000,000之间的质数
9,999,901
9,999,907
9,999,929
9,999,931
9,999,937
9,999,943
9,999,971
9,999,973
9,999,991
在10,000,000与10,000,100之间的质数
10,000,019
10,000,079
你看!没有什麼理由可以说这个数是质数,那个数不是质数。当你看到这些数字时,是否联想到宇宙的奥秘,像天边那闪烁的星星一样神秘不可测?甚至数学家都无法揭开此一奥秘,如果他们能够,他们就不会劳神苦思去计算下一个更大的质数是多少了。(没有人会想去找比前一个平方数更大的平方数,或2的幂次数——通常一个好学生只记到210=1024)。
1876年,Lucas证明2127-1为质数,这纪录维持了75年。这也难怪,因为
2127-1
=1701411834604469231731687303715884105727
直到1951年,电子计算机的新纪元,更大的质数陆续发现(见下表历次记录)。目前的记录是6002位的219937-1,不信的话,你可以去查Guiness世界记录。(编者注:根据合众国际社1978年11月15日报导,这记录已被两个18岁的加州大学学生打破。)
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质数的规律
更有趣的,还是关於质数的规律。前面已提到过100以下的质数,现在用图表示,其中π(x)表示所有不大於x的质数的个数。
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就这麼简单的一个图,我们已经可以看出,除了一些小的扰动以外,π(x)大致上增加得很有规律。
若把x值从一百增到五万,则此规律性变得更为明显。见下图:
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当某种规律自然出现时,科学家就得设法去解释它,质数分布的规律性也不例外。关於质数分布,我们不难找到一个良好的经验规律。请看下表:(这表看来平凡无奇,却代表上千小时的艰苦计算。)
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注意:x每增10倍,x与π(x)的比就增加约2.3。机警的数学家立刻联想到10取自然对数的近似值是2.3。所以x/π(x)~logx,亦即π(x)~x/logx(用log x表示x的自然对数,~表示当x接近无穷大时,π(x)与x/logx的比趋近於1;如果用≈,则表示接近的程度更好。)
质数定理
这个关系叫做质数定理,是高斯1791年发现的,但直到1896年才得到证明。高斯(1777~1855年,关於高斯与质数定理,请参阅凡异出版社,伟大数学家的一生——高斯)14岁那年收到一本对数的书;次年,研究书上所附的质数表,发现了这个定理。终其一生,高斯一直很注意质数分布,并且花了很多功夫去计算。高斯写信给他学生安克(Encke)说他「时常花费零星的片刻计算1000个连续整数(如18001到19000)中有多少质数」,最后他竟能列出三百万以下的所有质数,并且拿来和他的推测公式比较。
质数定理说π(x)是渐近地,即相对误差趋近於0,等於x/logx。但是如果拿x/logx与π(x)的图形加以比较,则可看出,虽然x/logx反映了π(x)行为的本质,却还不足以说明π(x)的平滑性。
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所以,我们希望找到更佳的近似函数。如果我们再仔细看看前面那个表,会发现x/π(x)差不多恰为logx-1。经过更小心地计算,并和π(x)的更精密数据相较,乐强何(Legendre)在1808年找到特佳的近似。即
π(x)≈x/(log-1.08366)
另有一种π(x)的近似函数也不错,是高斯与质数定理同时提出的。从经验得知,当x很大时,在x附近出现质数的或然率差不多恰为1/logx。因此,π(x)差不多应为
对数和:Ls(x)=1/log2+1/log3+…+1/logx或实值上相同的
对数积分:【浏览原件】
现在再比较Li(x)与π(x)的图形,把座标轴的尺度取到这麼大时,两者完全重合。
没有必要再把乐强何的近似图形列出来给大家看,因为在0到5万之间,他的近似比Li(x)更加接近π(x)。
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质数的幂次
再提一个π(x)的近似函数。从黎曼(Riemann)研究质数的结果显示,如果我们在计算质数以外,还计算质数的幂次(质数的平方算半个质数,质数的立方算1/3个质数,依此类推),则一个很大的数x为质数的或然率将更接近1/logx。从此导出
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或
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第二式右边的函数定名为R(x)以纪念黎曼。从下表可以看出它与π(x)有惊人的吻合。
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R(x)可以表为
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在这里要强调一点,高斯和乐强何的近似都是由经验归纳而来的,不是由逻辑证明得到的。甚至黎曼函数也是如此,虽然他的R(x)有理论的解释,他从未证明出质数定理。Hadamard以及de la Vall'eePoussin根据黎曼的工作,继续研究,终於在1896年首度完成证明。
孪生质数
关於质数的规律性,我们再来看一些数值的例子。前面说过,在x附近的一个数其为质数的或然率为1/logx。换句话说,假使取一以x为中心,长度为a的区间,这区间长得足以使统计成为有意义,而与x相较,又足够小时,其中质数的个数,应该约为a/logx。例如,在壹亿至壹亿零壹拾伍万之间,预计有8142个质数,因为
150,000/log(100,000,000)=150,000/18.427… ≈8142
根据同样的想法,在x附近的任意两数同时为质数的或然率应约为1/(logx)2。所以如果有人问在x到x+a之间有多少孪生质数(连续两个奇数都是质数,如11,13或59,61),则我们可以预计有a/(logx)2个。事实上,我们可以预计多些,因为n已是质数,使n+2为质数的可能性稍稍加大。(例如n+2必为奇数)。用一个容易的直观的论点,可以得到在〔x,x+a〕中,孪生质数的对数为C.a/(logx)2,此处C=1.3203236316…。
所以在壹亿至壹亿零壹拾伍万之间应有(1.32…).150,000/(18.427)2≈584对孪生质数。下表列出一些同长区间中质数及孪生质数的预测值及真值。由下表可以看出,理论和实际有极佳的吻合。对於孪生质数而言,这种吻合更令人惊讶。因为孪生质数是否为无穷,这问题直到现在尚无定论,遑论他的分布定律了。
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质数的距离
关於质数分布的规律性,最后一个例子就是相邻两质数的距离。若有人去查质数表,会注意到有时距离相当大。例如113和127之间无其他质数。令g(x)表x以下,所有相邻质数的最大距离。则g(200)=127-113=14。当然,g(x)增加得极不规则。但是用一个直觉的论点可以得到下列渐近公式,g(x)~(logx)2。从下图可以看出,像g(x)这样极不规则的函数,其行为和预测能符合的程度。
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到现在为止,质数的规律性说得较多,不规律性说得很少。而本文标题「头五千万个质数」,我也只提到前几千个而已。所以现在先列一表,比较π(x),乐强何,高斯,黎曼四函数在x小於一千万范围内的差异。因为这四种函数在图上分辨不出差异,如前面所列π(x)与Li的比较图,所以现在这图只表示这三种函数与π(x)的差。我想从这图足以看出,一个有志研究数论的人可能遇到的麻烦有多大。当x很小时(小於一百万),x/logx-1.08366比Li(x)近似π(x),但是五百万以后,Li(x)变得较近似,而且可以证明当x更增加时,Li(x)总是较近似π(x)。
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就算我们讨论到一千万,其中也只有60万多个质数。要达到应许的五千万个质数,x必须为十亿。下图表示十亿以内R(x)-π(x)的图形。R(x)-π(x)的振动变得愈来愈大,但即使到十亿这麼大,振动仍在几百以内。
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顺便提另一个π(x)的趣事。从图上可以看出,在一千万以内,Li(x)总是大於π(x),10亿以内仍然如此。见下图(此图以对数尺寸绘出)。
【 浏览原件】
上图给我们一个印象,当x继续增加时,Li(x)-π(x)会稳定地无限增加。但是上述推测错了!事实上,立特伍(Littlewood)可以证明有某x值,而π(x)会大於Li(x)。但到目前为止,并未真正找到一个确数,使此事成立,而且恐怕永远不会找到。但是立特伍的证明不可能有误,而且Skewes更证明在【浏览原件】以内就有一个这样的数。英国名数学家Hardy有一次说,这可能是数学上有确定目的的数字中最大的了。总而言之,此例说明了,在质数理论里,仅仅依赖数据就想要导出结论的作法是多麼不智啊!
〔本文节译自“The First 50 million Prime Numbers”,原文刊登在The New Mathematical Intelligencer, Vol. 0, Aug. 1977,为原作者Don Zagier就任德国波昂大学教授的就任演说稿。〕
质数又称为素数,是一个大于1的自然数,除了1和它自身外,不能被其他自然数整除的数叫做质数;否则称为合数。
上小学的时候,我们就知道所有的自然数可以分为质数(素数)和合数两类,当然还特别规定了“1既不是质数,也不是合数”。100以内的质数,从小到大依次是:2、3、5、7、11、13、17、19、……、83、89、97。不用说了,你一定会背下来。那么质数的个数是不是有限多的呢?
在解决这个问题之前,我们先来看看另一个问题:怎样判断一个已知自然数是不是质数。比如,143是不是质数?
你一定会按照下面这个步骤去判断: 先用最小的质数2去除143,不能整除;再用3去试试,还是不行;再依次用5、7试试,还是不行;11呢?行!143=11×13,所以143不是质数,而是合数。所以,判断一个数是不是质数,只需用比这个数小的所有质数,依次去除它即可,如果都不能整除的话,这个数就一定是质数;相反,只要这个数能够被某一个质数整除,这个数就一定是合数。这种方法所依据的原理是:每一个合数都可以表示成若干个质数的乘积。不用说,这叫做“分解质因数”,也是小学数学的知识。
我们先假设质数的个数是有限多的,那么必然存在一个“最大的质数”,设这个“最大的质数”为N。下面我们找出从1到N之间的所有质数,把它们连乘起来,就是:
2×3×5×7×11×13×……×N
把这个连乘积再加上1,得到一个相当大的数M:
M=2×3×5×7×11×13×……×N+1
那么这个M是质数还是合数呢? 乍一想,不难判断,既然N是最大的质数,而且M>N,那么M就应该是合数。既然M是合数,就可以对M分解质因数。可是试一下就会发现,我们用从1到N之间的任何一个质数去除M,总是余1!这个现实,又表明M一定是质数。
这个自相矛盾的结果,无非说明: 最大的质数是不存在的!如果有一个足够大的质数N,一定可以像上面那样,找到一个比N更大的质数M。既然不存在最大的质数,就可以推知自然数中的质数应该有无限多个。
质数又称为素数,是一个大于1的自然数,除了1和它自身外,不能被其他自然数整除的数叫做质数;否则称为合数。
质数在自然数里的排列是没有规律的.
——此处的规律是说对于无穷序列的不可预知。
数学家在努力的寻找质数公式.
——数学家是在无穷的未知中寻找有限的真理。
难道数学公式不是对规律的阐述吗?
——是的,但是有限的相对真理,不是对于无穷的绝对真理。
什么是质数
质数又称素数。指在一个大于1的自然数中,除了1和此整数自身外,不能被其他自然数整除的数。因为合数是由若干个质数相乘而得来的,所以,没有质数就没有合数,由此可见素数在数论中有着很重要的地位。比1大但不是素数的数称为合数。1和0既非素数也非合数。质数是与合数相对立的两个概念,二者构成...
什么是质数 举例说明
质数又称素数。一个大于1的自然数,除了1和它自身外,不能被其他自然数整除的数叫做质数。最小的质数是2,它也是唯一的偶数质数。最前面的质数依次排列为:2,3,5,7,11等。比1大但不是质数的数称为合数。 扩展资料 1、质数的性质 (1)质数P的约数只有两个:1和P。(2)初等数学的...
什么是质数什么是合数?
质数和合数分别指的是:质数:质数又称素数。一个大于1的自然数,除了1和它自身外,不能被其他自然数整除的数叫做质数;否则称为合数(规定1既不是质数也不是合数)。合数:合数是指在大于1的整数中除了能被1和本身整除外,还能被其他数(0除外)整除的数。与之相对的是质数,而1既不属于质数也不...
什么叫做质数
质数是指在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。一、质数在数学中有着重要的地位和应用。它们是构成自然数的基本单元,可以用来表示其他数。任何一个整数都可以被质数唯一分解,这就是著名的质因数分解定理。根据这个定理,任何一个大于1的整数都可以表示为几个质数的乘积,而且...
质数是什么意思啊
质数的价值 1、质数在数论中扮演着核心的角色。质数是自然数的基础组成部分,它们与其他数字之间存在着独特的性质和关系。对质数的研究有助于我们更好地理解整数的基础性质以及它们之间的相互关系。2、质数在密码学中的应用价值巨大。密码学是保障信息安全的关键,而质数在密码学中被用作素数模运算的基础...
质数是什么意思?
质数又称为素数,是一个大于1的自然数,除了1和它自身外,不能被其他自然数整除的数叫做质数;否则称为合数。
什么叫质数举例子
质数的用途:1、数论和数学应用 质数在数论中具有核心地位,它们是许多数学问题的关键。例如,质数分布问题、质数定理等都是数论中的重要问题。此外,质数在密码学中有重要应用,因为许多加密算法都依赖于质数的性质。2、密码学 质数在密码学中有重要应用,因为它们的性质可以用于构建强大的加密算法。例如,...
质数有哪些
质数的重要性在于其在数论中的基础地位。特别值得注意的是,最小的质数就是2,然而,最大的质数并不存在于有限的范围内。这个结论来自于古希腊数学家欧几里得的《几何原本》中的一个经典证明,它运用了反证法。欧几里得假设质数总数为有限的n个,形成序列p1, p2, ..., p_n,然后构造一个数N,即...
关于质数的解释
质数(prime number)又称素数,有无限个。质数定义为在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数。定义 质数又称素数。一个大于1的自然数,除了1和它自身外,不能被其他自然数整除的数叫做质数;否则称为合数。性质 质数具有许多独特的性质:(1)质数p的约数只有两个:1和p。(2)初等...
质数和合数是什么
质数(prime number)又称素数,有无限个。质数定义为在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数。合数指自然数中除了能被1和本身整除外,还能被其他数(0除外)整除的数。与之相对的是质数,而1既不属于质数也不属于合数。最小的合数是4。其中,完全数与相亲数是以它为基础的。
衅施锐迈:[答案] 质数又称素数.指在一个大于1的自然数中,除了1和此整数自身外,没法被其他自然数整除的数.换句话说,只有两个正因数(1和自己)的自然数即为素数.比1大但不是素数的数称为合数.1和0既非素数也非合数.合数是由若干个质数...
本溪满族自治县18888292610: 质数是什么东西(质数是什么) ?
衅施锐迈: 质数(又称为素数、纯数) 只有1和它本身这两个因数的自然数叫做质数.还可以说成质数只有1和它本身两个约数.素数是这样的整数,它除了能表示为它自己和1的乘积以外,不能表示为任何其它两个正整数的乘积.例如,15=3*5,所以15不是素数; 又如,12 =6*2=4*3,所以12也不是素数.另一方面,13除了等于13*1以 外,不能表示为其它任何两个正整数的乘积,所以13是一个素数. [编辑本段]质数的公式 一个数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做质数,又称素数.例如(10以内) 2,3,5,7 是质数,而 4,6,8,9 则不是,后者称为合成数或合数.
本溪满族自治县18888292610: 质数是什么?质数又称素数,指在大于1的自然数中,除了1和此整数自身外,无法被其他自然数整除的数.可是3是质数吧,3就可以被9整除,也可以被30整除... - ?
衅施锐迈:[答案] 你理解错了:3就可以被9整除,也可以被30整除 是9和30可以被3整除,只能大的除以小的
本溪满族自治县18888292610: 数学中的质数什么分别 - ?
衅施锐迈:[答案] 正整数中:除了能被1和它本身整除以外不能被其他整数整除的数是质数,例如:2,3,5,7,…除了能被1和它本身整除以外还能被其他整数整除的数是合数,例如:4,6,8,9,…1既不是质数也不是合数.
本溪满族自治县18888292610: 什么是质数,合数,质因数 - ?
衅施锐迈:[答案] 质数=素数 也就是只能够被1和自身整除的数,比如:2,3,5,7,之类的; 合数就是除了1和自身以外还可以被其他数整除的数,这就更多了,比如4,6,8,10,之类的,偶数除了2之外都是合数,奇数当然也可以是合数 每一个合数都可以被写成几个质数...
本溪满族自治县18888292610: 在数学中什么是质数 - ?
衅施锐迈: 质数又称素数.指在一个大于1的自然数中,除了1和此整数自身外,不能被其他自然数整除的数.素数在数论中有着很重要的地位.比1大但不是素数的数称为合数.1和0既非素数也非合数.质数是与合数相对立的两个概念
本溪满族自治县18888292610: 什么是质数??
衅施锐迈: 质数(又称素数),是指在大于1的自然数中,除了1和它本身外,不能被其他自然数整除(除0以外)的数称之为素数(质数).比1大但不是素数的数称为合数,1和0既非素数也非合数.根据算术基本定理,每一个比1大的整数,要么本身是一...
本溪满族自治县18888292610: 1至2022之间有多少个质数 ?
衅施锐迈: 1、质数的个数是无穷的.100以内的质数有: 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97. 一共有25个.2、质数又称素数.指整数在一个大于1的自然数中,除了1和此整数自身外,没法被其他自然数整除的数.换句话说,只有两个正因数(1和自己)的自然数即为素数.比1大但不是素数的数称为合数.1和0既非素数也非合数.素数在数论中有着很重要的作用.
本溪满族自治县18888292610: 质数合数质因数倍数奇数偶数互质数最大公因数和最小公倍数的所有概念 - ?
衅施锐迈:[答案] 质数:除了1或它本身以外不能被其它数整除的数 合数:不是质数的数 质因数:是质数且能整除某个数的数,如2是12 的质因数因为2是质数且2可以整除12 倍数:某数几倍的数,如3 的倍数有3 6 9 12.. 奇数:除以2会余1 的数 1 3 5 7.. 偶数:不是奇...
本溪满族自治县18888292610: 什么是质数?我想知道关于质数的知识. - ?
衅施锐迈: 质数的概念 所谓质数或称素数,就是一个正整数,除了本身和 1 以外并没有任何其他因子.例如 2,3,5,7 是质数,而 4,6,8,9 则不是,后者称为合成数.从这个观点可将整数分为两种,一种叫质数,一种叫合成数.(有人认为数目字 1 不该称为...