高等代数题
课程论文选题参考
1.《高等代数》课程学习感悟
2.《高等代数》中的。。。。思想
3.《高等代数》中的。。。。方法
4.高等代数与解析几何的关联性
5.高等代数有关理论的等价命题
6.高等代数有关理论的几何描述
7.高等代数有关理论的应用实例
8.高等代数知识在有关课程学习中的应用
9.数学软件在高等代数学习中的应用
10.应用高等代数知识的数学建模案例
11.高等代数理论在金融中的应用
12.反例在高等代数中的应用
13.行列式理论的应用性研究
14.一些特殊行列式的应用
15.行列式计算方法综述
16.范德蒙行列式的一些应用
17.线性方程组的应用；
18.线性方程组的推广——从向量到矩阵
19.关于向量组的极大无关组
20.向量组线性相关与线性无关的判别方法
21.线性方程组求解方法综述
22.求解线性方程组的直接法与迭代法
23.向量的应用
24.矩阵多项式的性质及应用
25.矩阵可逆的若干判别方法
26.矩阵秩的不等式的讨论(应用)
27.关于矩阵的伴随矩阵
28.矩阵运算在经济中的应用
29.关于分块矩阵
30.分块矩阵的初等变换及应用
31.矩阵初等变换及应用
32.矩阵变换的几何特征
33.二次型正定性及应用
34.二次型的化简及应用
35.化二次型为标准型的方法
36.矩阵对角化的应用
37.矩阵标准形的思想及应用
38.矩阵在各种变换下的不变量及其应用
39.线性变换的应用
40.特征值与特征向量的应用
41.关于线性变换的若干问题
42.关于欧氏空间的若干问题
43.矩阵等价、合同、相似的关联性及应用
44.线性变换的命题与矩阵命题的相互转换问题
45.线性空间与欧氏空间
46.初等行变换在向量空间Pn中的应用
47.哈密顿-凯莱定理及其应用
48.施密特正交化方法的几何意义及其应用
49.不变子空间与若当标准型之间的关系
50.多项式不可约的判别方法及应用
51.二次型的矩阵性质与应用
52.分块矩阵及其应用
53.欧氏空间中的正交变换及其几何应用
54.对称矩阵的性质与应用
55.求两个子空间的交与和的维数和一个基的方法
56.关于n维欧氏空间子空间的正交补
57.求若当标准形的几种方法
58.相似矩阵的若干应用
59.矩阵相似的若干判定方法
60.正交矩阵的若干性质
61.实对称矩阵正定性的若干等价条件
62.欧氏空间中正交问题的探讨
63.矩阵特征根及其在解题中的应用
64.矩阵的特征值与特征向量的应用
65.行列式在代数与几何中的简单应用
66.欧氏空间内积不等式的应用
67.求标准正交基的若干方法研究
68.高等代数理论在经济学中的应用
69.矩阵中的最小二乘法
70.常见线性空间与欧式空间的基与标准正交基的求法
α1，α2显然线性无关，是W的一组基。
因此W正交补空间的一组基，只需找出两个正交单位向量，都与α1，α2正交即可：
设β1=ε1-ε3+ε2-ε4
β2=ε2+ε4
显然β1，β2线性无关，且相互正交（验证内积为0即可得知），以及也都与α1，α2正交（验证内积为0即可得知）
下面对β1，β2分别单位化，即可得到所求的一组标准正交基：
（ε1-ε3+ε2-ε4）/2
(ε2+ε4)/√2
【引理：若A与B均为数域F上的m×n矩阵，且A与B的秩相等（即r(A)=r(B)），
则存在可逆矩阵P，使B=PA。】它的证明如下：
证：因为r(A)=r，所以A可经过满秩的初等行变换化为矩阵C：
Er 0
0 0
其中Er为r阶单位阵。
由于每次初等行变换相当于对A左乘一个出等矩阵Pi，假设经历了s步变换，则Ps...P2P1A=C；
同理B可经满秩的初等列变换化为C，每次列变换相当于左乘初等矩阵Qj，假设经历了t步变换，则Qt...Q2Q1B=C。
即Qt...Q2Q1B=C=Ps...P2P1A。
由于出等矩阵均为可逆矩阵，因此对上式左右两端同时左乘Q1^(-1)Q2^(-1)...Qt^(-1)得：
B=Q1^(-1)Q2^(-1)...Qt^(-1)Ps...P2P1A=PA，其中，P=Q1^(-1)Q2^(-1)...Qt^(-1)Ps...P2P1。
引理得证。
应用这个引理，我们来证你给出的问题。
证明：
（i）必要性：
若AX=0与BX=0同解，即AX=0的解均为BX=0的解，BX=0的解也全是AX=0的解。
不妨设r(A)=r，r(B)=s；则齐次方程组AX=0的基础解系中有n-r个解向量，其次方程组BX=0的基础解系中有n-s个解向量。
由于AX=0的解均为BX=0的解，故后者基础解系中的解向量不少于前者，即n-s≥n-r，即s≤r。
同理，r≤s也成立，故r=s。
故由引理，存在可逆矩阵P，使B=PA。必要性得证。
（ii）充分性：
若存在可逆矩阵P，使得B=PA，
则对任意BX=0的解X，有PAX=0,。
因为P可逆，故PAX=0等式两端同时左乘P的逆得AX=0.
故BX=0的解都是AX=0的解；
又对任意AX=0的解X，将AX=0等式两端左乘P得到：PAX=BX=0，
所以AX=0的解也都是BX=0的解。
故AX=0与BX=0同解，充分性得证。
原命题证毕！
望采纳，不懂可以追问，以后有难题就问我，我爱数学！
求解一道高等代数题
由已知 a(ε1,...,εn)=(ε1,...,εn)A (η1,...,ηn)=(ε1,...,εn)B 所以 a(η1,...,ηn)=a(ε1,...,εn)B=(ε1,...,εn)AB=(η1,...,ηn)B^-1AB 填 B^-1AB
高等代数题
【引理：若A与B均为数域F上的m×n矩阵，且A与B的秩相等（即r(A)=r(B)），则存在可逆矩阵P，使B=PA。】它的证明如下：证：因为r(A)=r，所以A可经过满秩的初等行变换化为矩阵C：Er 0 0 0 其中Er为r阶单位阵。由于每次初等行变换相当于对A左乘一个出等矩阵Pi，假设经历了s步变...
高等代数习题第二题,求大神解答,过程最好写纸上
复数域上对称矩阵A与对角阵d合同（对角线上非零元素个数是r（A））而d与diag(Ir,0)可以使用合同变换，相互转换，因此根据合同关系的传递性，复数域上对称矩阵A与diag(Ir,0)合同
高等代数题:矩阵A的秩r(A)=1,求证:A可相似对角化《=》tr(A)不等与0.
由r(A) = 1, 线性方程组AX = 0的解空间维数为n-r(A) = n-1,也即属于0的特征子空间维数为n-1, 于是0作为A的特征值的重数至少是n-1.可设A的特征值为0, 0, ..., 0, a, 可知tr(A) = a.若A可相似对角化, 则0的重数恰为n-1...
请高人帮忙,谢谢,有急用!高等代数题
第一题：因为符号关系，记alpha=a，bet=b 证明：反证，假设s>r，则有 bi=xi1*a1+xi2*a2+……+xir*ar (i=1,2,...s)下证b1,b2,...bs线性相关以推出矛盾。即证存在不全为零的数k1,k2,...kr，使得 k1*b1+k2*b2+...+kr*br=0 为此，作线性组合 y1*b1+y2*b2+...+ys*bs...
大一高等代数题求解
可以用数学归纳法证明 答案如图所示，有任何疑惑，欢迎追问
问一道高等代数题
用球面坐标解该问题，范围是0《西塔《2π，0《r《1，0《FAI《π\/2。积分函数r^3sin（FAI），这样转化成了三次积分，就可以做出了。最后答案应该是π\/2
求解两道高等代数题
显然当A=E\/2时，其中E是单位矩阵方程组恒成立，因此有无穷多组解，即必然有非零解。
代数题求答案
先观察式子，左右两边均有根号2，我们可以把这个联系起来，左右两边对应相等，然后解答。
2道高等代数题
1. 事实上这四个条件都是等价的 (a) Imσ = Imσ^2 (b) dim Imσ = dim Imσ^2 (c) V = Kerσ + Imσ (d) V = Kerσ (+) Imσ 由于 Imσ 包含 Imσ^2, 显然 (a) <=> (b)(d) => (c) 也是显然的, (c) => (d) 只需利用 dim Imσ + dim Kerσ = n =...
宋鸿坤泰：[答案] 将(a1T,a2T,b1T,b2T)初等行变换为 1 0 0 1 0 1 0 -1 0 0 1 2 0 0 0 0 所以a1,a2,a3是一个极大线性无关组,故W1+W2=L(a1,a2,b1)=k1a1+k2a2+k3b1, dim(W1+W2)=3 dim(W1∩W2)=dimW1+dimW2-dim(W1+W2)=2+2-3=1 只需求方程x1a1+x2a2+x3b...
景洪市17533195268： 求解一道关于高等代数的题第一题:设A,B都是实数域上的n阶方阵,求证:(1)若存在复数u,使得det(A+uB)不等于0,则一定存在实数v,使得det(A+vB)... - ？
宋鸿坤泰：[答案] (1) f(x)=det(A+xB)是关于x的实系数多项式,如果至少在一个复数点x=u处取值非零则说明f(x)不是零多项式,最多只有有限个实根 (2) 令P=X+iY, X,Y是实矩阵,那么AP=PB可以写成AX=XB, AY=YB. 取实数v使得Q=X+vY非奇异(在(1)当中取u=i即...
景洪市17533195268： 高等代数习题求解~关于矩阵与多项式理论已知A为n阶方阵 A^3+4A=E求证 A^2 - 2011A 可逆 - ？
宋鸿坤泰：[答案] (A-2011E)(A^2+2001A+(2011^2+4)E)=A^3+4A-2011*(2011^2+4)E=[1-2011*(2011^2+4)]E,故A-2011E可逆.A(A^2+4E)=E,故A可逆,A^(-1)=A^2+4E,因此A^2-2011A=A(A-2011E)可逆,(A^2-2011A)^(-1)=A^(-1)(A-2011E)^(-1)...
景洪市17533195268： 十万火急!两道高等代数题1.A,B为4级方阵,A与B相似,B的特征值为1,2,3,4.求A^ - 1+E的行列式.2.设n阶矩阵A有n个互异的特征根,且AB=BA,证明B可对... - ？
宋鸿坤泰：[答案] 1) 因A与B相似,故A和B有完全相同特征值.A^-1+E特征值为1+1,1/2+1,1/3+1,1/4+1,A^-1+E的行列式就是这四个数的乘积(1+1)(1/2+1)(1/3+1)(1/4+1). 2)因A的特征值互异,所以A可对角化,存在可逆P,使得P^-1AP=D是对角阵,且对...
景洪市17533195268： 一道简单的高等代数题计算下列排序的反序数 2k 1 2k - 1 2 ·····k+1 k - ？
宋鸿坤泰：[答案] t = (2k-1) + 0 + (2k-3) + 0 + .+ 1 = 2k * k / 2 = k^2
景洪市17533195268： 高等代数问题 北大第三版习题 第一张 我是自学的f(x)=x4 - 2x+5 g(x)=x2 - x+2,f(x)= g(x)q(x) +r(x) 求q(x) r(x) q(x)= x2+x - 1 r(x)= - 5x+7 我怎么就不知道是怎么除过来的 - ？
宋鸿坤泰：[答案] 跟普通的代数除法一样,手功除法运算的本质就是逐次逼近慢慢分解.同理,多项式除法也可以从最高阶逐次解开原多项式.如果正常上课的话老师会给你详细讲解的. 下面给你简单演示一下. X4-2x+5,除之前可以按阶填满,便于后续计算. X4 +0X3 +0...
景洪市17533195268： 高等代数题求解 设A ,B为n级半正定矩阵,证明AB的特征值全是非负实数. - ？
宋鸿坤泰：[答案] 首先,如果A正定,那么AB相似于A^{-1/2}ABA^{1/2}=A^{1/2}BA^{1/2},由惯性定理后者半正定,特征值非负. 如果A半正定,那么t>0时A+tI正定,(A+tI)B的特征值非负,再令t->0+,由特征值的连续性即得结论.
景洪市17533195268： 高等代数题:矩阵A的秩r(A)=1,求证:A可相似对角化《=》tr(A)不等与0. - ？
宋鸿坤泰：[答案] 由r(A) = 1, 线性方程组AX = 0的解空间维数为n-r(A) = n-1,也即属于0的特征子空间维数为n-1, 于是0作为A的特征值的重数至少是n-1.可设A的特征值为0, 0, ..., 0, a, 可知tr(A) = a.若A可相似对角化, 则0的重数恰为n-1...
景洪市17533195268： 麻烦做几个高等代数的题目,1.y'sinx - ycosx=0满足初始条件y|x=2的特解是多少2.y=∫上角标x下角标0(0到x的积分)sint的平方dt1,求dy - ？
宋鸿坤泰：[答案] y'sinx-ycosx=0 dy/y=cosxdx/sinx dy/y=-dsinx/sinx 两边积分 In|y|=-In|sinx|+c ye^csinx=1 你那个特解不清楚 没法算 dy=d∫上角标x下角标0(0到x的积分)sint的平方dt=sinx^2dx
景洪市17533195268： 高等代数的一道题目,涉及多项式互素和矩阵运算,矩阵的秩.设数域F上的多项式h(x)和g(x)互素,即(h(x),g(x))=1,又f(x)=h(x)g(x),若存在n阶实矩阵... - ？
宋鸿坤泰：[答案] 由于秩不依赖于域的选取, 可以在复数域上处理.先把A化到Jordan标准型, 然后对于每个Jordan块J_i而言g(J_i)和h(J_i)至少有一个非奇异(因为g和h没有重根), 而g(J_i)h(J_i)=0, 所以这两个因子恰有一个为零, 另一个满秩....
