2道高等代数题

高等代数题2道谢谢~

7.考查等式k1β+l1（β+α1）+。。。++lt（β+αt）=0
则有（k1+l1+。。。+lt）β+l1α1+。。。+ltαt=0
因为β不是解。所以β不能用α1，。。。，αt 线性表示，所以有β系数为0
而α1，α2，。。。，αt线性无关，所以l1=l2=...=lt=0
所以他们线性无关
8.Aη1=β，Aη2=β，。。。，Aηt=β
设组合k1η1+k2η2+。。。+ktηt 是解，则有
A（k1η1+k2η2+。。。+ktηt）=β
即k1β+k2β+。。。+ktβ=β
所以有k1+k2+...+kt=1

证明对于加法，乘法和除法封闭即可

1. 事实上这四个条件都是等价的
(a) Imσ = Imσ^2
(b) dim Imσ = dim Imσ^2
(c) V = Kerσ + Imσ
(d) V = Kerσ (+) Imσ
由于 Imσ 包含 Imσ^2, 显然 (a) <=> (b)
(d) => (c) 也是显然的, (c) => (d) 只需利用 dim Imσ + dim Kerσ = n = dim(Imσ + Kerσ) 即可
所以需要小心证明的只是 (a,b) 和 (c,d) 之间的等价性
先证 (a) => (c), 任取 x∈V, σ(x)∈Imσ = Imσ^2, 所以存在 y∈V 使得 σ(x)=σ^2(y), 然后 x = [x-σ(y)] + σ(y), 容易验证 x-σ(y)∈Kerσ
再证 (c) => (a), 任取 x∈Imσ, 存在 y∈V 使得 x=σ(y), 而 y 又可以表示成 y=u+v 的形式, 其中 u∈Kerσ, v=σ(z)∈Imσ, 所以 x = σ[u+σ(z)] = σ^2(z) ∈ Imσ^2.

2. 假定你考虑的是复多项式.
显然 f(x)=0 仅有的常数解
如果 f(x) 不是常数, 那么有唯一的因子分解 f(x) = k(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n), 不妨要求Re a_1 <= Re a_2 <= ... <= Re a_n
对条件的两边同时做标准因子分解, 利用唯一性可得 a_1, a_2, ..., a_n 是公差为 1 的等差数列, 且 a_1=-1, a_n=1, 所以 f(x) = k(x+1)x(x-1), k是非零复数
上述两种情况恰好可以合并成 f(x) = k(x+1)x(x-1), k∈C

1. 见http://gdjpkc.xmu.edu.cn/FlashShow.aspx?cID=43&dID=425&lID=1287 第9题

2. 由(x-1)f(x+1)=(x+2)f(x)，所以f(1)=0，f(-2+1)=0，故f(x)=(x-1)(x+1)g(x)。代入(x-1)f(x+1)=(x+2)f(x)得，(x-1)x(x+2)g(x+1)=(x+2)(x-1)(x+1)g(x)，所以xg(x+1)=(x+1)g(x)，得g(0)=0，g(x)=xh(x)，进而f(x)=x(x-1)(x+1)h(x)，代入(x-1)f(x+1)=(x+2)f(x)，得h(x+1)=h(x)。若deg(h(x))>0，则0，-1，-2，...，-n，... 是h(x)的根，与h(x)是多项式矛盾。故h(x)=c(非零常数)。从而f(x)=cx(x-1)(x+1)。

---

民权县15935278763： 十万火急!两道高等代数题1.A,B为4级方阵,A与B相似,B的特征值为1,2,3,4.求A^ - 1+E的行列式.2.设n阶矩阵A有n个互异的特征根,且AB=BA,证明B可对... - ？
柯叔滑膜：[答案] 1) 因A与B相似,故A和B有完全相同特征值.A^-1+E特征值为1+1,1/2+1,1/3+1,1/4+1,A^-1+E的行列式就是这四个数的乘积(1+1)(1/2+1)(1/3+1)(1/4+1). 2)因A的特征值互异,所以A可对角化,存在可逆P,使得P^-1AP=D是对角阵,且对...

民权县15935278763： 高等代数问题:求商空间的维数和基在K4内给定两个向量,A1={1, - 1,1,1},B={2, - 2,0,1},令M=L(A,B),求商空间K4/M的维数和一组基 - ？
柯叔滑膜：[答案] 将这2个向量扩充为K4的基,另外增加的2个就是商空间的基,维数当然是2

民权县15935278763： 高等代数题(多项式)证明:设 f(x)是整系数多项式,且 f(1)=f(2)=f(3)=p,,则不存在整数m,使 f(m)=2p. - ？
柯叔滑膜：[答案] 证明:假设存在整数m,使f(m)=2p,令F(x)= f(x)-p,显然F(X)是整系数多项式,则F(1)=F(2)=F(3)=p-p=0.故1,2,3是F(X)的根.可令 F(X)=(x-1)(x-2)(x-3)g(x),则g(x)也是整系数多项式,所以F(m)=(m-1)(m-2)(m-3)g(x)= f(m)-p=2p-p=p,根据已知,f(1)=f(2)=...

民权县15935278763： 高等代数题:已知α1=(1,1,0,0),α2=(1,0,1,1),β1=(0,0,1,1),β2=(0,1,1,1)已知α1=(1,1,0,0),α2=(1,0,1,1),β1=(0,0,1,1),β2=(0,1,1,1)又W1=L(α1,α2),W2=L(β1,β2),求W... - ？
柯叔滑膜：[答案] 将(a1T,a2T,b1T,b2T)初等行变换为 1 0 0 1 0 1 0 -1 0 0 1 2 0 0 0 0 所以a1,a2,a3是一个极大线性无关组,故W1+W2=L(a1,a2,b1)=k1a1+k2a2+k3b1, dim(W1+W2)=3 dim(W1∩W2)=dimW1+dimW2-dim(W1+W2)=2+2-3=1 只需求方程x1a1+x2a2+x3b...

民权县15935278763： 高等代数 设a1=(1,2,1,0),a2=( - 1,1,1,1),b1=(2, - 1,0,1) b2=(1, - 1,3,7)设a1=(1,2,1,0),a2=( - 1,1,1,1),b1=(2, - 1,0,1) b2=(1, - 1,3,7) dim(V1+V2),V1=L(a1,a2),V2=L(b1,b2... - ？
柯叔滑膜：[答案] dim(V1+V2)=L(a1 a2 b1 b2),而 (a1 a2 b1 b2) =1 -1 2 1 2 1 -1 -1 1 1 0 3 0 1 1 7 r2-2r1,r3-r1 -> 1 -1 2 1 0 3 -5 -3 0 2 -2 2 0 1 1 7 r4r2 r4-3r2,r3-2r2 -> 1 -1 2 1 0 1 1 7 0 0 -4 -12 0 0 -8 -24 r4-2r3,r3/(-4) -> 1 -1 2 1 0 1 1 7 0 0 1 3 0 0 0 0 因此dim(V1+V2)...

民权县15935278763： 高等代数---矩阵问题求牛人解答(01十)矩阵A=1 0 1矩阵B=(kE+A)^2其中k为实数E为单位矩阵,试求对角矩阵Λ使B与Λ相似0 2 01 0 1 - ？
柯叔滑膜：[答案] 先求矩阵A的特征值是:0,2,2 验证以下2对应的特征向量个数: A-2E= -1 0 1 0 0 0 1 0 -1 r(A-2E)=1,所以基础解系有2个自由向量,因此A可以对角化,故B也能对角化. B的特征值是k^2,(k+2)^2,(k+2)^2, 所以Λ= k^2 0 0 0 (k+2)^2 0 0 0 (k+2)^2

民权县15935278763： 高等代数证明题 设数域p上的两个多项式f(x)与g(x)有公共根,且f(x)在数域p上不可约.证明:f(x)|g(x) - ？
柯叔滑膜：[答案] 设 f(a)=g(a)=0 则 (x-a) |f(x) (x-a) |g(x) 又f(x)在数域p上不可约.,所以 f(x)=k(x-a) 故 f(x)|g(x)

民权县15935278763： 麻烦做几个高等代数的题目,1.y'sinx - ycosx=0满足初始条件y|x=2的特解是多少2.y=∫上角标x下角标0(0到x的积分)sint的平方dt1,求dy - ？
柯叔滑膜：[答案] y'sinx-ycosx=0 dy/y=cosxdx/sinx dy/y=-dsinx/sinx 两边积分 In|y|=-In|sinx|+c ye^csinx=1 你那个特解不清楚 没法算 dy=d∫上角标x下角标0(0到x的积分)sint的平方dt=sinx^2dx

民权县15935278763： 设A为正定矩阵,证明A的对角线上的元素都大于零高等代数题 - ？
柯叔滑膜：[答案] 由A正定,则对任一x≠0,x^TAx > 0. 取x=εi,第i个分量为1,其余分量都是0. 则 εi^TAεi = aii > 0,i=1,2,...,n 所以 A的对角线上的元素都大于零.

民权县15935278763： 高等代数习题已知A是一个3*4矩阵,且秩为2,B=(1 0 2),则r(BA)=?(B是个矩阵) 0 2 0 1 0 3 - ？
柯叔滑膜：[答案] ∵︱B︱≠0 ∴r(BA)=2