已知AB为圆O的直径，过圆O上的点C的切线交AB的延长线于的E，AD垂直EC于点D且 交圆O于点F，连接BC，CF，AC

已知AB为圆O的直径，过圆O上的点C的切线交AB的延长线于的E，AD垂直EC于点D且 交圆O于点F，连接BC，CF，AC~

①连接OF,OC
OC⊥DE(C点为直线DE和圆O的切点)
OC//AD
∠COB=∠FAO
∠AFO=∠COF
∠COF=∠COB
CO=BO=FO
⊿OCF≌⊿OCB
BC=CF
②
AD=6.DE=8
AE=10
BE=AE-AB
设半径为r,BE=x
sin∠COB=8/10=4/5=sin∠DAE
cos∠COB=6/10=3/5=OC/OE=r/(r+x)
2r=3x
2r+x=10
x=5/2
③做辅助线CG⊥AB，
G点在AB上
∠DCF=∠GCB
BC=CF
∠D=∠CGB=90º
⊿CGB≌⊿CDF
BG=DF
⊿ADC≌⊿AGC
AD=AG
AB=AG+GB=AD+DF=AF+DF+DF=AF+2DF

1、∵AB为圆O的直径
∴∠ACB=90°
∵AD⊥EC
∴∠ADC=90°
∵CE是圆O的切线
∴∠DCF=∠DAC
∵F、A、B、C四点共圆
∴∠DFC=∠ABC
∴Rt△CDF∽Rt△ABC
∴∠DCF=∠BAC
∴∠BAC=∠DAC=∠FAC
∴BC=CF
2、∵AD=6，DE=8，
∴AE=10(勾股定理）
∵∠ECB＝∠EAC
∴△EBC∽△ECA
∴BE/EC＝BC/AC
∵∠ACD＝∠ABC
∴△ACD∽△ABC
∴DC/BC＝AD/AC
∴DC/AD＝BC/AC
∴BE/EC＝DC/AD
BE/EC=(DE-EC)/AD
EC×(8-EC)=6BE
由切割线定理：EC²=BE×AE=10BE，BE=EC²/10
∴8EC-EC²=3/5EC²
40EC=8EC²
EC=5(EC=0舍去）
∴BE=EC²/10=5²/10=2.5
3、延长BC与AD的延长线交于G
∵∠DAC=∠BAC
∠ACB=90°即AC⊥BC
∴△ABG是等腰三角形
∴AB=AG=AF+FG
∵∠BCE=∠DCG=∠BAC=∠DCF
∴∠DCG=∠DCF
∵CD⊥AD(AD⊥EC)
∴△FCG是等腰三角形
∴CD是中线
∴DF=DG=1/2FG
即FG=2DF
∴AB=AF+2DF

1、∵AB为圆O的直径
∴∠ACB=90°
∵AD⊥EC
∴∠ADC=90°
∵CE是圆O的切线
∴∠DCF=∠DAC
∵F、A、B、C四点共圆
∴∠DFC=∠ABC
∴Rt△CDF∽Rt△ABC
∴∠DCF=∠BAC
∴∠BAC=∠DAC=∠FAC
∴BC=CF
2、∵AD=6，DE=8，
∴AE=10(勾股定理）
∵∠ECB＝∠EAC
∴△EBC∽△ECA
∴BE/EC＝BC/AC
∵∠ACD＝∠ABC
∴△ACD∽△ABC
∴DC/BC＝AD/AC
∴DC/AD＝BC/AC
∴BE/EC＝DC/AD
BE/EC=(DE-EC)/AD
EC×(8-EC)=6BE
由切割线定理：EC²=BE×AE=10BE，BE=EC²/10
∴8EC-EC²=3/5EC²
40EC=8EC²
EC=5(EC=0舍去）
∴BE=EC²/10=5²/10=2.5
3、延长BC与AD的延长线交于G
∵∠DAC=∠BAC
∠ACB=90°即AC⊥BC
∴△ABG是等腰三角形
∴AB=AG=AF+FG
∵∠BCE=∠DCG=∠BAC=∠DCF
∴∠DCG=∠DCF
∵CD⊥AD(AD⊥EC)
∴△FCG是等腰三角形
∴CD是中线
∴DF=DG=1/2FG
即FG=2DF
∴AB=AF+2DF

• 补个图

第一个问题：
∵CE切⊙O于C，∴OC⊥CE，又AD⊥CE，∴OC∥AD，∴△ADE∽△OCE，
∴AD/OC＝AE/OE，∴AD/AE＝OC/OE，而OA＝OC，∴AD/AE＝OA/OE。
∵OC∥AD，∴OA/OE＝CD/CE，∴AD/AE＝CD/CE，∴∠FAC＝∠BAC，又A、B、C、F共圆，
∴BC＝CF。

第二个问题：
由勾股定理，有：AE＝√（AD^2＋DE^2）＝√（36＋64）＝10。
由三角形内角平分线定理，有：CD/CE＝AD/AE＝6/10＝3/5，∴（CD＋CE）/CE＝（3＋5）/5，
∴DE/CE＝8/5，∵CE＝5DE/8＝5×8/8＝5。
由弦切线定理，有：BE×AE＝CE^2，∴BE＝CE^2/AE＝25/5＝5。

第三个问题：
延长AD至G，使DF＝DG。
∵DF＝DG、CD⊥FG，∴CF＝CG，又CF＝BC，∴∠AGC＝∠CFD。
∵A、B、C、F共圆，∴∠CFD＝∠ABC，∴∠AGC＝∠ABC，而∠CAG＝∠CAB、AD＝AD，
∴△ACG≌△ACB，∴AG＝AB。
显然有：AG＝AF＋FG＝AF＋2DF，∴AF＋2DF＝AB。

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沽源县13281199127： 已知AB为圆O的直径,过圆O上的点C的切线交AB的延长线于的E,AD垂直EC于点D且 交圆O于点F,连接BC,CF,AC - ？
阿岸小儿： (1) 弦切角ADC所夹的圆弧为AFD,圆周角ABC所对的圆弧也是AFD 所以∠ADC=∠ABC,因此直角三角形ADC和直角三角形ABC相似 故∠DAC=∠BAC => BC=CF(2) CE/AE=BC/AC=DC/AD 所以DC/CE=AD/AE=3/5,而DC+CE=DE=8 => DC=3, CE=5 => BE=CE*CE/AE=5/2(3) 过C点作CG垂直AB于G 由角平分线定理知DC=CG,从而证明直角三角形CDF和直角三角形CGB全等 => DF=GB 所以AB=AG+GB=AD+DF=AF+DF+DF=AF+2DF

沽源县13281199127： 已知AB是圆O的的直径,点C在圆O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC, - ？
阿岸小儿： ∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACB=90º ∵OC=OA ∴∠A=∠ACO ∴∠COB=∠A+∠ACO=2∠ACO ∵∠COB=2∠PCB ∴∠ACO=∠PCB ∵∠ACO+∠BCO=90º ∴∠PCB+∠BCO=90º ∴PC是圆O的切线2>∵AC=PC ∴∠A=∠P ∴∠A=∠P=∠ACO=∠PCB ∴∠CBO=2∠PCB ∴∠CBO=∠COB ∴OC=BC=1/2AB

沽源县13281199127： 已知AB是圆O的直径,过圆O上的点C的切线交AB的延长线于点E,AD垂直EC于点D且交圆O于点F.若EC=4EB=2,求线明天要交啊 - ？
阿岸小儿：[答案] (1)若EC=4,EB=2,求线段CD和DF的长度;(2)求证:AD+DF=AB.(1)根据切割线定理求得AE,再利用△ECO∽△EDA求出AD,再利用勾股定理求出ED,然后用ED-EC即可求出CD的长.关于DF的求法:先利用∠BFA=90°(直径所对的...

沽源县13281199127： 已知AB圆O的直径,点C在圆O上.过点C作圆O的切线交AB的延长线于D.角D=30度.圆的半径为2.求的ABC面积 - ？
阿岸小儿： 连接OC,则OC垂直CD(圆的切线垂直于过切点的半径),

沽源县13281199127： 已知AB是圆O的直径,C是圆O上的一点,过点C作圆O的切线,交AB的延长线于点D,∠ABC=70°,求∠D的度数 - ？
阿岸小儿：[答案] 因为oc=ob 所以∠ocb=obc=70 又因为cd与圆o相切 所以∠ocd=90 所以∠bcd=90-70=20 所以∠d=70-20=50

沽源县13281199127： 已知AB是圆O的直径,过圆O上的点C的切线交AB的延长线于点E,AD垂直EC于点D且交圆O于点F.若EC=4EB=2,求线 - ？
阿岸小儿： (1)若EC=4,EB=2,求线段CD和DF的长度;(2)求证:AD+DF=AB. (1)根据切割线定理求得AE,再利用△ECO∽△EDA求出AD,再利用勾股定理求出ED,然后用ED-EC即可求出CD的长. 关于DF的求法:先利用∠BFA=90°(直径所对的圆...

沽源县13281199127： 已知AB是圆O的直径,点C在圆O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.求点M是弧AB的中点,C - ？
阿岸小儿： ∠COB=2∠PCB=2∠OCA=2∠OAC AC=PC,角A=角P 三角形ACO全等于三角形PCB CO=CB 故三角形OBC为等边三角形 角A为30度 AB为直径,则三角形ACB为直角三角形 M为弧AB中点,则MN为角ACB平分线 角ACN=角BCN=45度 连结...

沽源县13281199127： 如图,已知AB是圆O的直径,点C在圆O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,且AC=PC,∠BOC=2∠BCP.(1)求证:PC是圆O的切线;(2)求∠P的度... - ？
阿岸小儿：[答案] (1)证明:∵OA=OC,∴∠A=∠ACO.又∵∠COB=2∠A,∠COB=2∠PCB,∴∠A=∠ACO=∠PCB.又∵AB是⊙O的直径,∴∠ACO+∠OCB=90°.∴∠PCB+∠OCB=90°.即OC⊥CP,∵OC是⊙O的半径.∴PC是⊙O的切线.(3分)(2)证明:∵...

沽源县13281199127： 已知AB是圆O的直径,点C在圆O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.求(1)PC是圆O的切线 - ？
阿岸小儿： 1:AC=PC ∠P=∠CAB=∠ACO 由于∠COB=2∠PCB=2∠A 所以∠PCB=∠P=∠A=∠ACO ∠ACO+∠OCB=∠PCB+∠OCB=90° 所以∠OCP=90° 即PC是圆O的切线2:∠CBO=2∠P=∠COB=∠OCB=60° ∠A=30° BC=1/2AB

沽源县13281199127： 已知AB是圆O的直径,点在圆O上,点C在圆O上,过点C的直线与AB的延长线交点P,且角COB等于2倍角PCB - ？
阿岸小儿：[答案] ∵AC=PC ∴∠A=∠P ∵∠COB=2∠PCB,∠COB=2∠A, ∴∠PCB=∠A=∠P ∴∠ACO=∠PCB 因为∠ACB=90°所以∠PCO=90°即PC是圆O的切线 (2)因为∠A=∠P,∠ACO=∠PCB,BAC=PC 所以△ACO全等于△PCB 所以BC=CO因为CO=1/2...