高数微分方程怎么解？

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二次非齐次微分方程的一般解法

一般式是这样的ay''+by'+cy=f(x)

第一步：求特征根

令ar²+br+c=0，解得r1和r2两个值，（这里可以是复数，例如(βi)²=-β²）

第二步：通解

1、若r1≠r2，则y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x)

2、若r1=r2,则y=(C1+C2x)*e^(r1*x)

3、若r1,2=α±βi,则y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)

第三步：特解

f(x)的形式是e^(λx)*P(x)型，（注：P（x）是关于x的多项式，且λ经常为0）

则y*=x^k*Q(x)*e^（λx） (注：Q（x）是和P（x）同样形式的多项式，例如P（x）是x²+2x，则设Q（x）为ax²+bx+c，abc都是待定系数)

1、若λ不是特征根 k=0 y*=Q(x)*e^（λx）

2、若λ是单根 k=1 y*=x*Q(x)*e^（λx）

3、若λ是二重根 k=2 y*=x²*Q(x)*e^（λx）（注：二重根就是上面解出r1=r2=λ）

f(x)的形式是e^(λx)*P(x)cosβx或e^(λx)*P(x)sinβx

1、若α+βi不是特征根，y*=e^λx*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)

2、若α+βi是特征根，y*=e^λx*x*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)（注：AB都是待定系数）

第四步：解特解系数

把特解的y*'',y*',y*都解出来带回原方程，对照系数解出待定系数。

最后结果就是y=通解+特解。

通解的系数C1，C2是任意常数。

拓展资料：

微分方程

微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在初等数学的代数方程，其解是常数值。

高数常用微分表

唯一性

存在定一微 分程及约束条件，判断其解是否存在。唯一性是指在上述条件下，是否只存在一个解。针对常微分方程的初值问题，皮亚诺存在性定理可判别解的存在性，柯西-利普希茨定理则可以判别解的存在性及唯一性。针对偏微分方程，柯西-克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性。 皮亚诺存在性定理可以判断常微分方程初值问题的解是否存在。

解:请把具体题目发过来，解微分方程为dy/dx+(1+xy³)/(1+x³y)=0，(1+x³y)dy+(1+xy³)dx=0，dy+x³ydy+dx+xy³dx=0，dy+dx+x³ydy+y³xdx=0，d(x+y)+x³y³(dy/y²+dx/x²)=0，d(x+y)-x³y³(-dy/y²-dx/x²)=0，d(x+y)=x³y³d(1/y+1/x)，d(x+y)=x³y³d[(x+y)/xy]；设x+y=u，xy=v，方程化为du=v³d(u/v)，再设u=zv，方程化为d(zv)=v³dz，zdv+vdz=v³dz，zdv=(v³-v)dz，dv/(v³-v)=dz/z，vdv/(v²-1)-dv/v=dz/z，0.5ln|v²-1|-ln|v|=ln|z|+0.5ln|a|(a为任意非零常数)，ln|v²-1|=ln|av²z²|，v²-1=av²z²，有v²-1=au²，微分方程的解为x²y²-1=a(x+y)²请参考

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绍兴县18797426073： 一阶微分方程该怎么解?怎么才能熟练掌握呢?有经验的谈一下! - ？
辟菊奥美： 高等数学当中的一阶微分方程都是有固定解法的一类,解方程的关键是辨识要求解的方程是什么类型.我举几个例子: 可分离变量型,往往是y'=f(x)/g(y)或者y'=f(x)g(y)这种,直接移项变为g(y)dy=f(x)dx两边积分就可解. 求根公式型(包括常数变...

绍兴县18797426073： 高数这道微分方程的题怎么解? - ？
辟菊奥美： 1.关于高数这道微分方程的题,其求解过程见上图. 2.高数这道微分方程的题,因为Qx=Py,所以此微分方程属于一阶微分方程中的全微分方程. 3.由于Qx=Py,所以可以取折线路径,求出一个原函数U. 4.高数这道微分方程的题,按全微分方程的解法,则U(x,y)=C,就是原方程的通解. 具体的高数这道微分方程的题,求解的详细步骤及说明见上.

绍兴县18797426073： 高等数学求微分方程的通解 - ？
辟菊奥美： 1, dy/dx=y/x+e^(y/x) 为齐次微分方程,令 u=y/x, 则 y=xu, 原方程化为 u+xdu/dx=u+e^u,e(-u)du=dx/x, 解得 -e^(-u)=lnx-C, 即通解为 e^(-y/x)+lnx=C. 2. x^2*dy/dx+2xy=5y^3 即 d(yx^2)/dx=5y^3, 令 u=yx^2, 则 y=u/x^2, 原方程化为du/dx=5u^3...

绍兴县18797426073： 高数题,不难,简单的微分方程,求详解 - ？
辟菊奥美： 令p=y`,那么y``=dp/dx=(dp/dy)(dy/dx)=pdp/dy,代入原式得到:p(dp/dy)+p²=p · exp(-2y)………………为便于书写,e的指数函数写成exp(dp/dy)+p=exp(-2y) 显然这是一阶线性微分方程,直接套公式得到:y`=p=C·exp(-y)-exp(-2y)………………...

绍兴县18797426073： 高等数学微分方程怎么做? - ？
辟菊奥美： (1)y'-x²y=x² y'=x²(y+1) dy/(y+1) =x²dx 两边积分得ln|y+1|=1/3 x³+ln|C| y=Ce^(x³/3) -1(2)y'/sinx=ylny dy/(ylny)=sinxdx(dlny)/lny=sinxdx 两边积分得 ln|lny|=-cosx+ln|C| lny=C(1/e)^cosx x=π/2时,y=e,代入得C=1 lny=(1/e)^cosx y=e^[(1/e)^cosx] 所...

绍兴县18797426073： 一道高数题,求微分方程的通解 - ？
辟菊奥美： y=3+C/x 过程如下:方程的齐次方程:x*dy/dx+y=0; 化为:dy/y=-dx/x; 得ln|y|=-ln|x|+C; 得齐次方程的解为:y=C/x; 然后设原方程的通解为:y=h(x)/x; 对上式两边积分得:dy/dx=h'(x)/x-h(x)/x^2; 将上式代入你的原来的微分方程中,得: h'(x)=3; 所以可得:h(x)=3x=C; 将上式代入通解y=h(x)/x中,得y=3+C/x;这就是他的通解

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辟菊奥美： y'=(2x+1)e^(x^2+x-y) e^y(dy)=(2x+1)e^(x^2+x)(dx) e^y(dy)=e^(x^2+x)[d(x^2+x)] e^y=e^(x^2+x)+c

绍兴县18797426073： 高数,微分方程,求大神 - ？
辟菊奥美： D,方程是齐次微分方程,令u=y/x,方程化为u+x*du/dx=u+1/cosu,所以cosudu=dx/x,所以sinu=ln|x|+C,原微分方程的通解是sin(y/x)=ln|x|+C.A,微分方程化为dx/dy+(1-2y)/y^2*x=1,是一阶非齐次线性方程,由通解公式得x=y^2+Cy^2e^(1/y).另外y=0也是解.

绍兴县18797426073： 高数微分方程怎么学 - ？
辟菊奥美： 解:∵齐次方程y''-5y'+6y=0的特征方程是r²-5r+6=0,则r1=2,r2=3 ∴齐次方程y''-5y'+6y=0的通解是y=C1e^(2x)+C2e^(3x) (C1,C2是积分常数) ∵设原方程的解为y=(Ax²+Bx)e^(2x) 代入原方程,化简整理得-2Axe^(2x)+(2A-B)e^(2x)=xe^(2x) ==>-2A...

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辟菊奥美： 原方程化为:y'=√〔1-(y/x)²〕+y/x ①设u=y/x ②du/dx=1/x ·dy/dx-y/x²dy/dx=x· du/dx+y/x ③将②、③代入①:x du/dx+u=√(1-u²)+u,即:du/dx=√(1-u²)/x,变为:du/√(1-u²)=dx/x ④对④积分,得:arcsin u=㏑(Cx)u=sin 〔㏑(Cx)〕