微分方程怎么解?
1、
型的微分方程
形如
的方程,这类方程只要逐次积分n次就可以得到其通解,每积分一次得到一个任意常数,在通解中含有n个任意常数。
2、y'=f(x,y')型的微分方程
形如y'=f(x,y')型的方程,这类方程的特点是右端函数不显含未知函数y。如果设y'=p,则y''=dp/dx=p',微分方程变为p'=f(x,p),这是一个关于变量x,p的一阶微分方程。
设其通解为p=φ(x,C1),由于p=dy/dx,因此又得到一个一阶微分方程dy/dx=φ(x,C1),两边积分,便得到方程式y'=f(x,y') 的通解为
3、y''=f(y,y')型的微分方程
形如y''=f(y,y') 型的方程,这类方程的特点是右端函数不显含自变量x。
设y'=p,这时可以将y看作新的自变量,p作为y的函数,则有
于是微分方程就变为
这是一个关于变量y,p的一阶微分方程,设它的通解为p=φ(x,C1),即y'=φ(y,C1), 将方程分离变量并积分,便得到y''=f(y,y')的通解为
扩展资料
二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。
二阶微分:若dy=f'(x)dx可微时,称它的微分d(dy)为y的二阶微分,当二阶微分可微时,称它的微分为三阶微分,一般的,当y的n-1阶微分可微时,称它的微分为n阶微分。
二阶微分:
若dy=f'(x)dx可微时,称它的微分d(dy)为y的二阶微分,记为d²y,当d²y可微时,称它的微分d(d²y)为y的三阶微分,记为d³y,一般地,当y的n-1阶微分dⁿ⁻¹y 可微时,称n-1阶微分的微分称为n阶微分,记作dⁿy。
参考资料来源:百度百科-高阶微分
参考资料来源:百度百科-高阶微分方程
此题解法如下:
∵ (1+y)dx-(1-x)dy=0
==>dx-dy+(ydx+xdy)=0
==>∫dx-∫dy+∫(ydx+xdy)=0
==>x-y+xy=C (C是常数)
∴ 此方程的通解是x-y+xy=C。
扩展资料:
微分方程指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。
含有未知函数的导数,如 的方程是微分方程。 一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程。未知函数是一元函数的,叫常微分方程;未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。微分方程有时也简称方程 。
参考资料:百度百科 微分方程
两边积分得:ln(y+√(y²-1))=(±x)+lnC
y+√(y²-1)=Ce^(±x)
y²-1=C²e^(±2x)-2yCe^(±x)+y²
y=[C²e^(2x)+1]/2Ce^(x)
=[Ce^(2x)+(1/C)e^(-x)]/2
或:
y=[C²e^(-2x)+1]/2Ce^(-x)
=[Ce^(-x)+(1/C)e^(x)]/2
这两个表示实质上一样
含有未知数的分数方程题怎么解?
你好,这道方程的解法是:合并未知数同类项得2x\/3=80,等式两边同时乘以3\/2得X=80x3\/2=40x3=120,所以方程的解是x=120。拓展知识:分数方程的解法。方法一:①看——看等号两边是否可以直接计算;②变——如果两边不可以直接计算,就运用和差积商的公式对方程进行变形;③通——对可以相加减的项...
微分方程解法总结是什么?
得到通解y=e^-∫P(x)dx{∫Q(x)[e^∫P(x)dx]dx+C}。四、伯努利方程dy\/dx+P(x)y=Q(x)y^n:两边同除y^n引进z=y^(n-1)配为线形一阶非齐次方程。然后代如通解,最后代入z=y^(n-1)。五、全微分方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0:有解的充要条件为ap\/ay=aQ\/ax。此时通解为u...
求解,分子分母都有未知数x,怎么解呢?
把分母乘到左边,展开、移项、合并,解普通方程即可。得出答案后检查下会不会造成分母为零的情况,若有则舍去,本题应该不会出现此问题。
分式方程及解答怎么写?
去分母,方程两边同乘各分母的最简公分母,解3÷(x+1)=5÷(x+3)。同乘(x+1)(x+3)就可以去掉分母了。去括号,系数分别乘以括号里的数。移项,含有未知数的式子移动到方程左边,常数移动到方程右边。合并同类项系数化为1,方程的基本性质就是同时乘以或除以一个数,方程不变,和天平一样的。
分式方程怎么求解?
分式方程是一个包含分数的方程,其方程中至少存在一个未知数,且方程中涉及到分母。当解方程时,有三种情况下分式方程可能无解:1. 零分母情况:如果分式方程中的某个分母为零,那么方程将无解。因为分母为零会导致方程中的分数没有定义或没有意义。在解方程之前,我们需要排除分母为零的情况。2. ...
怎么解有分数的方程组
解有分数的方程组方法是先去分母,再用消元法。3分之2u+4分之3v=2分之1——(1)两边同乘以12:8u+9v=6——(3)5分之4u+6分之5v=15分之7——(2)两边同乘以30:24u+25v=14——(4)(3)×3-(4)24u+27v-24u-25v=18-14 2v=4 v=2 把v=2代入(3)得:8u+9×2...
微分方程的通解怎么求?
2、通过方程求解可以免去逆向思考的不易,直接正向列出含有欲求解的量的等式即可。方程具有多种形式,如一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程等等,还可组成方程组求解多个未知数。三、微分方程 1、微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在...
如何解一阶微分方程?
1、对于一阶齐次线性微分方程:其通解形式为:其中C为常数,由函数的初始条件决定。2、对于一阶非齐次线性微分方程:其对应齐次方程:解为:令C=u(x),得:带入原方程得:对u’(x)积分得u(x)并带入得其通解形式为:
分式方程怎么解??
根据你描述的有这两种情况,第一种有简化算法,第二种没有,最好把式子完整写下来,而不是用文字描述,不能确定式子是什么。1、将2\/3和1\/5通分,可以消掉13。5÷[(2\/3+1\/5)X1\/13]=5÷[(10\/15+3\/15)X1\/13 ] 注: 分母变成15进行通分 =5÷[(13\/15)X1\/13 ] 注:括号...
微分方程特解怎么求
微分方程特解方法:一般的,先解出其通解,再代入初始条件或边界条件,确定积分常数,就得到了微分方程的特解。微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛,可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力...
巢琼赐禾:[答案] 一元微分方程有许多种类,各种不同的微分方程的解法也不尽相同,你可以按如下顺序开始你的学习:1.可分离变量的微分方程,一阶线性微分方程 2.线性微分方程解的结构. 3.二阶常系数齐次线性微分方程 4.二阶常系数非齐次线性微分方程 5.可降...
襄汾县17527083468: 哪位知道这个微分方程怎么解,只用告诉思路就行? - ?
巢琼赐禾: 方程两边同除以 u*v,可以得到: (3 + v/u)*du + (u/v + 1)*dv = 0 令 s = u/v,则 u = s*v,du = v*ds + s*dv.上式可以化简为: (3 + 1/s)*(v*ds + s*dv) + (s+1)dv = 0 (3+1/s)*v*ds + 3sdv + dv + (s+1)dv = 0 (3+1/s)*v*ds + (4s+2)dv = 0 (3+1/s)*v*ds ...
襄汾县17527083468: 怎么解微分方程 - ?
巢琼赐禾: 解微分方程是比较复杂的问题 首先尽可能进行变量分离 即f(x)dx=g(y)dy 然后积分得到结果 或者一阶线性微分方程 y'+p(x)y=q(x) 这个套用公式即可
襄汾县17527083468: 微分方程怎么解 - ?
巢琼赐禾: 目前大多数微分方程的解是不能用初等函数表示的,只有极少数特殊可以!解常微分方程的核心思想是分离变量!解一阶线性微分方程用换元法再分离变量,有几个特殊的如欧拉方程一定要熟练!如一阶的解不出,就用柯西近似法表示!二阶线性微分方程有两个特例(课本有)要熟练,但重要的是常系数二阶微分方程,充分利用用e来换元!非线性微分方程用幂级数展开比较系数即可,能用微分算子的用微分算子!解不出的可以用软件近似求解,微分方程一直是数学最前沿,解不出来也不要灰心!
襄汾县17527083468: 求微分方程的解 - ?
巢琼赐禾: dy/dt=-50(y-cost)=-50y+50cost 先求对应的齐次方程dy/dt=-50y dy/y=-50dt ln|y|=-50t+C 即y=C e^(-50t) 由常数变易法,令y=C(t)e^(-50t) 代入原方程得C'(t)=50cost e^(50t) 注:令U=∫cost e^(50t)dt C(t)=50U=∫cost d [e^(50t)]=cost e^(50t)+∫sint e^(50t)...
襄汾县17527083468: 常系数微分方程怎么解? - ?
巢琼赐禾:[答案] 常系数微分方程的常用解法有:分离变量法、常数变易法、降阶法、特征根法、换元法、拉普拉斯变换法、级数法等,可以根据需要具体去查阅某几种方法的具体情况.
襄汾县17527083468: 一阶线性微分方程通解 - ?
巢琼赐禾:[答案] 是一种特殊的解法. 一般的一阶线性微分方程可以写成y'+p(x)y=g(x) 两边同时乘e^P(P是p的一个原函数)就得到d(ye^P)/dx=ge^P 所以ye^P=∫ge^Pdx y=e^(-P)*(GG+C)(GG是ge^P的一个原函数) 这里就是代入p=1,g=e^(-x)
襄汾县17527083468: 二阶微分方程怎么解呢解微分方程的几种方法. - ?
巢琼赐禾:[答案] 图片这些暂时够你用吧? 还有些更难的,例如:y''+y'+y=e^(ax) * P(x),P(x)是多项式y'' + y' = e^(ax) * sin(Bx) * P(x)y'' + y = e^(ax) * cos(Bx) * P(x)等形式,不过暂时未达到这个难度吧?
襄汾县17527083468: 解微分方程 - ?
巢琼赐禾: 很简单 解答如下 解:xy'+y=x^2+2化为(x^2-y+2)dx-xdy=0 可以令M(x,y)=x^2-y+2,N(x,y)=-x M(x,y)关于y的偏导是-1,N(x,y)关于x的偏导是-1,则该微分方程是恰当方程 令初始条件y.=y(x.) 得到(x,x.)∫(x^2-y+2)dx-(y,y.)∫x.dy=0 从而得到 通积分x^3/3-yx+2x=c(c为常数) 这里说明的是,计算到通积分即可,通积分是通解的隐函数表达形式.也可以写成通解的形式,但会遇到x是否为零的讨论,所以还是写成通积分的形式较为简单.
襄汾县17527083468: 求微分方程通解! - ?
巢琼赐禾:[答案] 设y=e^(ax+b)则y'=ae^(ax+b)y''=a^2e^(ax+b)0=y''+2y'+5y=e^(ax+b)[a^2+2a+5]这就是特征方程0=a^2+2a+5的来历特征方程a^2 +2a+5=0有共轭复根-1+2i,-1-2i所以通解为y=e^(-x) (C1cos2x+C2sin2x)...