微分方程的通解怎么求
此题解法如下:
∵ (1+y)dx-(1-x)dy=0
==>dx-dy+(ydx+xdy)=0
==>∫dx-∫dy+∫(ydx+xdy)=0
==>x-y+xy=C (C是常数)
∴ 此方程的通解是x-y+xy=C。
扩展资料:
微分方程指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。
含有未知函数的导数,如 的方程是微分方程。 一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程。未知函数是一元函数的,叫常微分方程;未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。微分方程有时也简称方程 。
参考资料:百度百科 微分方程
微分方程的解通常是一个函数表达式y=f(x),(含一个或多个待定常数,由初始条件确定)。
例如:
其解为:
其中C是待定常数;
如果知道
则可推出C=1,而可知 y=-\cos x+1。
一阶线性常微分方程
对于一阶线性常微分方程,常用的方法是常数变易法:
对于方程:y'+p(x)y+q(x)=0,可知其通解:
然后将这个通解代回到原式中,即可求出C(x)的值。
二阶常系数齐次常微分方程
对于二阶常系数齐次常微分方程,常用方法是求出其特征方程的解
对于方程:
可知其通解:
其特征方程:
根据其特征方程,判断根的分布情况,然后得到方程的通解
一般的通解形式为:
若
则有
若
则有
在共轭复数根的情况下:
r=α±βi
扩展资料
一阶微分方程的普遍形式
一般形式:F(x,y,y')=0
标准形式:y'=f(x,y)
主要的一阶微分方程的具体形式
约束条件
微分方程的约束条件是指其解需符合的条件,依常微分方程及偏微分方程的不同,有不同的约束条件。
常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值,若是高阶的微分方程,会加上其各阶导数的值,有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。
若是二阶的常微分方程,也可能会指定函数在二个特定点的值,此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值,称为狄利克雷边界条件(第一类边值条件),此外也有指定二个特定点上导数的边界条件,称为诺伊曼边界条件(第二类边值条件)等。
偏微分方程常见的问题以边界值问题为主,不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。
唯一性
存在性是指给定一微分方程及约束条件,判断其解是否存在。唯一性是指在上述条件下,是否只存在一个解。
针对常微分方程的初值问题,皮亚诺存在性定理可判别解的存在性,柯西-利普希茨定理 [4] 则可以判别解的存在性及唯一性。
针对偏微分方程,柯西-克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性。 皮亚诺存在性定理可以判断常微分方程初值问题的解是否存在。
参考资料来源:百度百科-常微分方程
参考资料来源:百度百科-微分方程
此题解法如下:
∵ (1+y)dx-(1-x)dy=0
==>dx-dy+(ydx+xdy)=0
==>∫dx-∫dy+∫(ydx+xdy)=0
==>x-y+xy=C (C是常数)
∴ 此方程的通解是x-y+xy=C。
约束条件
微分方程的约束条件是指其解需符合的条件,依常微分方程及偏微分方程的不同,有不同的约束条件。
常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值,若是高阶的微分方程,会加上其各阶导数的值,有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。
若是二阶的常微分方程,也可能会指定函数在二个特定点的值,此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值,称为狄利克雷边界条件(第一类边值条件),此外也有指定二个特定点上导数的边界条件,称为诺伊曼边界条件(第二类边值条件)等。
偏微分方程常见的问题以边界值问题为主,不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。
先求对应的齐次方程dy/dx=2y/(x+1)的通解
dy/y=2dx/(x+1)
ln|y|=2ln|x+1|+ln|c|
y=c (x+1)²
由常数变易法,令y=c(x)(x+1)²
则dy/dx=c'(x)(x+1)²+2c(x)(x+1)
代入原方程得
c'(x)(x+1)²=(x+1)^(5/2)
c'(x)=(x+1)^(1/2)
c(x)=2/3 (x+1)^(3/2)+C
故原方程的通解为y=2/3 (x+1)^(7/2) +C(x+1)²
形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程,Q(x)称为自由项。一阶,指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性,指的是方程简化后的每一项关于y、y'的指数为1。
注意到,上式右端第一项是对应的齐线性方程式(2)的通解,第二性是非齐线性方程式(1)的一个特解。由此可知,一阶非齐线性方程的通解等于对应的齐线性方程的通解与非齐线性方程的一个特解之和。
非齐次的特解带入非齐次方程中,如下详解望采纳
求微分方程通解的方法有哪些?
求解微分方程的通解可以使用多种方法,以下是一些常见的方法:1. 变量分离法:将微分方程中的变量分开,使得可以将方程两边分别积分,并得到通解。2. 齐次方程法:对于齐次线性微分方程,可以通过分离变量并进行变量代换,将方程转化为可直接积分的形式,从而得到通解。3. 常数变易法:对于某些特殊的微分方程...
怎么求非齐次线性微分方程的通解?
非齐次线性微分方程的通解可以通过四步走的方法来求解:1.首先确定方程的线性无关解;2.然后求出方程的特解;3.把线性无关解和特解组合起来,求出一个通解;4.最后用常数变易法把通解简化成一般解,即为所求通解。举个例子:求解以下非齐次线性微分方程的通解:y'' + 3y' - 4y = 2e^x 首先...
怎么求解微分方程的通解
微分方程求通解的方法:1、△=p^2-4q>0,特征方程有两个相异实根λ1,λ2,通解的形式为y(x)=C1*e^(λ1*x)+C2*e^(λ2*x)。2、△=p^2-4q=0,特征方程有重根,即λ1=λ2,通解为y(x)=(C1+C2*x)*e^(λ1*x)。3、△=p^2-4q<0,特征方程具有共轭复根α+-(i...
微分方程的通解求详细步骤
1、求解齐次微分方程的通解。这里的齐次微分方程是指将非齐次方程中的所有常数项和已知函数项都归为零,得到的方程。求解齐次微分方程的通解需要将方程化为标准形式,然后使用常数变易法来求解其通解。2、求解非齐次微分方程的一个特解。此时,需要根据非齐次项的类型,选择相应的求解方法,例如常数变易法...
怎么求一个微分方程的通解呢?
求微分方程通解的方法有很多种,如:特征线法,分离变量法及特殊函数法等等。而对于非齐次方程而言,任一个非齐次方程的特解加上一个齐次方程的通解,就可以得到非齐次方程的通解。每次都有一个任意常数,等式两边求不定积分:y'=x^2+C1,再对等式两边求不定积分:y=(x^3)/3+C1x+C2...
微分方程怎么求通解
微分方程怎么求通解如下:一、通解求解步骤 通解是指一个微分方程的所有解的集合。通解一般是由一个特解和一个齐次解组成。具体求解通解的步骤如下:1、求解齐次微分方程的通解 这里的齐次微分方程是指将非齐次方程中的所有常数项和已知函数项都归为零,得到的方程。求解齐次微分方程的通解需要将方程化为...
微分方程的通解是怎么得到的?
微分方程的通解是通过特定方法求解的,它主要涉及常系数齐次线性方程。这类方程的一般形式为y''+py'+qy=0,其中p和q是常数。通解的获取关键在于求解其特征方程λ^2+pλ+q=0的根。特征方程的判别式△(即p^2-4q)决定了通解的不同形式:当△>0,特征方程有两个不同的实根λ1和λ2,通解表现...
微分方程的通解怎么求
微分方程的通解是一种普遍适用的解法,可以解决各种不同类型的微分方程。以下是求微分方程通解的步骤:1、首先,确定微分方程的类型。常见的微分方程类型包括一阶微分方程、二阶微分方程和高阶微分方程。对于一阶微分方程,通常采用积分法求解。即对微分方程进行积分,得到一个关于未知函数的一元一次方程,再...
如何求微分方程的通解?
微分方程求解方法总结介绍如下:一、g(y)dy=f(x)dx形式,可分离变量的微分方程,直接分离然后积分。二、可化为dy\/dx=f(y\/x)的齐次方程,换元分离变量。三、一阶线性微分方程,dy\/dx+P(x)y=Q(x)先求其对应的一阶齐次方程,然后用常数变易法带换u(x);得到通解y=e^-∫P(x)dx{∫Q(x)...
微分方程的通解怎么求?
一阶微分方程通解的方法:1.积分:首先,我们可以用积分的方法来求解一阶微分方程。积分可以用来求解不同微分方程的通解。例如,一阶线性微分方程可以通过下列方法求解:设y=f(x)是一阶线性微分方程的解,则有:S$frac(dy){dx)+p(x)y=g(x)SS。则有:S$y=e~{intp(x)dx)intq(x)ef-intp(x)...
寿全明立:[答案] 含有未知函数及其导数的方程称为微分方程 例如求未知函数y=y(x) 其满足y”+y'+y=x 要了解更多内容可参考任何一本巜常微分方程》
克东县19525643144: 这个微分方程的通解怎么求 - ?
寿全明立: 这是个欧拉方程,令x=e^t,方程化为(y''-y')-2y'+2y=e^t+4,即y''-3y'+2y=e^t+4. y''-3y'+2y=0的特解是y=C1e^t+C2e^(2t)=C1x+C2x². y''-3y'+2y=e^t的特解设为Ate^t,代入,得A=-1,特解是-te^t=-xlnx. y''-3y'+2y=4的特解是2. 所以原方程的通解是y=C1x+C2x²-xln|x|+2.
克东县19525643144: 微分方程的通解求法麻烦给列下都有哪几种.跟大概的过程. - ?
寿全明立:[答案] 二阶常系数齐次线性微分方程解法: 特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法. 设特征方程r*r+p*r+q=0两根为r1,r2. 1 若实根r1不等于r2 y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x). 2 若实根r1=r2 y=(c1+c2x)*e^(r1x) 3 若有一对共轭复根(略)
克东县19525643144: 微分方程通解怎么求?y′′+2y′ - 3y′=0的通解? - ?
寿全明立:[答案] 题目是不是弄错了啊,是y''+2y'-3y=0吧 如果是y"+2y'-3y=o过程如下: 该微分方程的特征方程为r∧2+2r-3=0解得r1=-3,r2=1 ∴微分方程的通解为y=C1e∧-3x+C2e∧x
克东县19525643144: 微分方程 求通解 - ?
寿全明立: 特征方程为r²+4=0, 得r=2i, -2i 设特解为y*=ax+b, 代入方程得:4ax+4b=4x-8 得4a=4, 4b=-8 得a=1, b=-2 因此通解为y=C1cos2x+C2sin2x+x-2
克东县19525643144: 求微分方程通解,要详细步骤 - ?
寿全明立: 一阶非齐次线性常微分方程,通解有公式可用啊 或者用常数变易法: 先解dy/dx+y/x=0,分离变量dy/y=-dx/x,两边积分lny=-lnx+lnC,所以y=C/x 设原方程的解是y=C(x)/x,代入方程得C'(x)=x^2,所以C(x)=1/3*x^3+C 所以,原方程的通解是y=(1/3*x^3+C)/x=1/3*x^2+C/x
克东县19525643144: 求微分方程的通解 - ?
寿全明立: 求方程xy'+y=y(lnx+lny)的通解 解:xy'+y=yln(xy);令xy=u,则y=u/x........(1),y'=dy/dx=[x(du/dx)-u]/x²,代入原式得:[x(du/dx)-u]/x+u/x=(u/x)lnu,化简得du/dx=(u/x)lnu,分离变量得du/(ulnu)=(1/x)dx;积分之得∫du/(ulnu)=∫(1/x)dx 即有lnlnu=lnx+lnC=lnCx ...
克东县19525643144: 求微分方程通解(要详细过程) - ?
寿全明立: x(dy/dx)=ylny dy/(ylny)=dx/x d(lny)/lny=d(lnx) d[ln(lny)]=d(lnx) 两边积分,ln(lny)= lnx + lnc1 ,c1为常数 化简,得 y = e(cx)[e的cx次方,c为任意常数】
克东县19525643144: 怎么求微分方程的通解 - ?
寿全明立: 一阶微分方程 如果式子可以导成y'+P(x)y=Q(x)的形式,利用公式y=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C]e^(-∫P(x)dx)求解 若式子可变形为y'=f(y/x)的形式,设y/x=u 利用公式du/(f(u)-u)=dx/x求解 若式子可整理为dy/f(y)=dx/g(x)的形式,用分离系数法,两边积分求解 二...