怎么解一些微分方程?
二阶微分方程解法总结:可以通过适当的变量代换,把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。具有这种性质的微分方程称为可降阶的微分方程,相应的求解方法称为降阶法。
多项式法:
设常系数线性微分方程y''+py'+qy =pm,(x)e^(λx),其中p,q,λ是常数,pm(x)是x的m次多项式,令y=ze^(λz) ,则方程可化为:F″(λ)/2!z″+F′(λ)/1!z′+F(λ)z=pm(x) ,这里F(λ)=λ^2+pλ+q为方程对应齐次方程的特征多项式。
升阶法:
设y''+p(x)y'+q(x)y=f(x),当f(x)为多项式时,设f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an,此时,方程两边同时对x求导n次,得:
y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an……
y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)!
y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n!
令y^n=a0n!/q(q≠0),此时,y^(n+2)=y^(n+1)=0。由y^(n+1)与y^n通过倒数第二个方程可得y^(n-1),依次升阶,一直推到方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x),可得到方程的一个特解y(x)。
对于一元函数来说,如果在该方程中出现因变量的二阶导数,我们就称为二阶(常)微分方程,其一般形式为F(x,y,y',y'')=0。在有些情况下,可以通过适当的变量代换,把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。
二阶微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程,其中p,q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数,即y''+py'+qy=0时,称为二阶微分方程。
若函数y1和y2之比为常数,称y1和y2是线性相关的;若函数y1和y2之比不为常数,称y1和y2是线性无关的。特征方程为:λ^2+pλ+q=0,然后根据特征方程根的情况对方程求解。
如何解微积分方程?
积分方程是一种包含积分运算的方程,其求解方法通常涉及到将积分方程转化为微分方程,然后求解微分方程。以下是一些常见的积分方程求解方法:直接积分法:如果积分方程可以直接积分得到,那么就可以直接求解。例如,对于形如 (f(x) = \\int \\frac{1}{x} dx) 的积分方程,可以直接计算得到 (f(x) = \\...
解偏微分方程有几种方法?
可分为两大方面:解析解法和数值解法。其中只有很少一部分偏微分方程能求得解析解,所以实际应用中,多求数值解。数值解法又可以分为最常见的有三种:差分法、有限体积法、有限元法。其中,差分法是最普遍最通用的方法。
线性微分方程怎么解?
令ar+br+c=0,解得r1和r2两个值,(这里可以是复数,例如(βi)=-β)。第二部:通解 1、若r1≠r2,则y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x)。2、若r1=r2,则y=(C1+C2x)*e^(r1*x)。3、若r1,2=α±βi,则y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)。分类 一阶线性微分方程可分两类,...
什么是解微分方程?
解微分方程的过程是对未知函数进行求解的过程。在解微分方程时,我们通常会根据方程的具体形式选择合适的方法。例如,对于一阶微分方程,可以使用分离变量法、变量代换法等;对于高阶微分方程,可以将其降阶求解。此外,还有一些特定的方程类型,如线性微分方程、非线性微分方程等,对于不同类型的方程,解的...
如何求解微分方程的解?
后来的发展表明,能够求出通解的情况不多,在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。当然,通解是有助于研究解的属性的,但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。这是微分方程论中一个基本的问题,数学家把它归纳成基本定理,叫做存在和唯一性定理。因为如果没有解,而我们要去求解,那是...
微分方程怎么解?
解法如下:∵ (1+y)dx-(1-x)dy=0。==>dx-dy+(ydx+xdy)=0。==>∫dx-∫dy+∫(ydx+xdy)=0。==>x-y+xy=C (C是常数)。∴ 此方程的通解是x-y+xy=C。约束条件 微分方程的约束条件是指其解需符合的条件,依常微分方程及偏微分方程的不同,有不同的约束条件。常微分方程常见的约束...
it微分方程怎么解?
3. 变换法。 Perform适当的变量变换或函数变换,将微分方程变换为已知的基本微分方程形式,然后求解。4. 积分因子法。这是解一阶线性微分方程的重要方法。通过找到适当的积分因子,使得方程变成可整合形式。5. 近似方法。对于一些难以解析求解的复杂微分方程,可以采用近似方法,如Euler方法、Runge-Kutta方法等...
齐次微分方程怎么解?
第一种:由y2-y1=cos2x-sin2x是对应齐方程的解可推出cos2x、sin2x均为齐方程的解,故可得方程的通解是:y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x。第二种:通解是一个解集……包含了所有符合这个方程的解;n阶微分方程就带有n个常数,与是否线性无关;通解只有一个,但是表达形式可能不同,y=C1y1(x)+C2...
一般的一阶微分方程怎么解?
一阶微分齐次方程通解公式 1、dy\/dx=u+xdu\/dx是由复合函数的求导法则而来,y=u(x)x、dy\/dx=u(x)+xdu(x)\/dx,即:dy\/dx=u+xdu\/dx。2、令y=ux,对等式两边同微分得:dy=xdu+udx,两边同除dx得:dy\/dx=u+xdu\/dx。齐次一阶微分方程,是一种数学术语。指在方程中只含有未知函数及其一...
微分方程的通解怎么求?
三、微分方程 1、微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在初等数学的代数方程,其解是常数值。详见微分方程 2、微分方程是将一些函数与其导数相关联的数学方程。在应用中,函数通常表示物理量,衍生物表示其变化率,方程定义了两者之间的关系。3、...
狐皆克林:[答案] 首先,假设你已经知道啥叫微分方程. 一般的微分方程是没办法直接解出精确的解来的. 但是我们大多数情况下遇到的方程是可以有现成的解法的.具体这里不讲了.你只要随便去弄本讲微分方程的书看看就懂了. 当然你事先要好好学下数学分析.这里推荐...
前进区13392536995: 微分方程的解答有什么技巧? - ?
狐皆克林: 一阶微分方程 如果式子可以导成y'+P(x)y=Q(x)的形式,利用公式y=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C]e^(-∫P(x)dx)求解 若式子可变形为y'=f(y/x)的形式,设y/x=u 利用公式du/(f(u)-u)=dx/x求解 若式子可整理为dy/f(y)=dx/g(x)的形式,用分离系数法,两边积分求解 二...
前进区13392536995: 微分方程求解,过程详细,谢谢 - ?
狐皆克林: 求微分方程 (y²-3x²)dy+2xydx=0的通解 解:Q=y²-3x²;P=2xy;∂P/∂Y=2x≠∂Q/∂x=-6x;所以不是全微分方程. 但 (1/P)[(∂P/∂y)-(∂Q/∂x)]=(1/2xy)(2x+6x)=4/y=H(y)是y的函数,故有积分因子μ: μ=e^[-∫H(y)dy]=e^[-∫(4/y)dy]=e^...
前进区13392536995: 怎样解一元微分方程 - ?
狐皆克林:[答案] 一元微分方程有许多种类,各种不同的微分方程的解法也不尽相同,你可以按如下顺序开始你的学习:1.可分离变量的微分方程,一阶线性微分方程 2.线性微分方程解的结构. 3.二阶常系数齐次线性微分方程 4.二阶常系数非齐次线性微分方程 5.可降...
前进区13392536995: 怎样求微分方程的一般解,求公式 - ?
狐皆克林:[答案] 这是我以前写的“低阶微分方程的一般解法” 一.g(y)dy=f(x)dx形式 可分离变量的微分方程,直接分离然后积分 二.可化为dy/dx=f(y/x)的齐次方程 换元,分离变量 三.一阶线性微分方程 dy/dx+P(x)y=Q(x) 先求其对应的一阶齐次方程,然后用常数变易法带换...
前进区13392536995: 微分方程怎么解 - ?
狐皆克林: 目前大多数微分方程的解是不能用初等函数表示的,只有极少数特殊可以!解常微分方程的核心思想是分离变量!解一阶线性微分方程用换元法再分离变量,有几个特殊的如欧拉方程一定要熟练!如一阶的解不出,就用柯西近似法表示!二阶线性微分方程有两个特例(课本有)要熟练,但重要的是常系数二阶微分方程,充分利用用e来换元!非线性微分方程用幂级数展开比较系数即可,能用微分算子的用微分算子!解不出的可以用软件近似求解,微分方程一直是数学最前沿,解不出来也不要灰心!
前进区13392536995: 常系数微分方程怎么解? - ?
狐皆克林:[答案] 常系数微分方程的常用解法有:分离变量法、常数变易法、降阶法、特征根法、换元法、拉普拉斯变换法、级数法等,可以根据需要具体去查阅某几种方法的具体情况.
前进区13392536995: 求微分方程的解 - ?
狐皆克林: dy/dt=-50(y-cost)=-50y+50cost 先求对应的齐次方程dy/dt=-50y dy/y=-50dt ln|y|=-50t+C 即y=C e^(-50t) 由常数变易法,令y=C(t)e^(-50t) 代入原方程得C'(t)=50cost e^(50t) 注:令U=∫cost e^(50t)dt C(t)=50U=∫cost d [e^(50t)]=cost e^(50t)+∫sint e^(50t)...
前进区13392536995: 一阶微分方程该怎么解?怎么才能熟练掌握呢?有经验的谈一下! - ?
狐皆克林: 高等数学当中的一阶微分方程都是有固定解法的一类,解方程的关键是辨识要求解的方程是什么类型.我举几个例子: 可分离变量型,往往是y'=f(x)/g(y)或者y'=f(x)g(y)这种,直接移项变为g(y)dy=f(x)dx两边积分就可解. 求根公式型(包括常数变...
前进区13392536995: 怎么解微分方程 - ?
狐皆克林: 解微分方程是比较复杂的问题 首先尽可能进行变量分离 即f(x)dx=g(y)dy 然后积分得到结果 或者一阶线性微分方程 y'+p(x)y=q(x) 这个套用公式即可