问两道高数关于连续的证明题

请教高数证明题~

证明如下：

1
根据一致连续性定理，f(x)=sin(1/x)在闭区间[c，1]上连续，所以它在该区间上一致连续。

2
在（0,1]上，在零点附近取两点，x1=1/[(2n+1)*∏/2] x2=1/[(2n+1)*∏]
|x1-x2|=1/[∏(2n+1)]
显然n只要取的足够大，总可以使|x1-x2|<δ
但是，|f(x1)-f(x2)|=|sin[(2n+1)∏]/2-sin(2n+1)∏|=1>ε，不符合一致连续性定义，所以不是一致连续的。

1．证明f(x)=(x+4)的1/3次方 在其定义域连续。
证明：其定义域为R，分x0= - 4及x0≠ - 4两种情况证明：
①x0= - 4，应该证明lim<x-> -4>(x+4)^1/3=0：
对于任给的ε>0，存在δ=ε^3，当| x+4 | < δ 时，有|(x+4)^1/3-0|= |x+4| ^1/3<ε成立。
②x0≠ - 4，应该证明lim<x-> x0>(x+4)^1/3=(x0+4)^1/3：
利用 a^3 -b^3=（a -b）(a^2 + ab+b^2)，取a=(x+4)^1/3，b=(x0+4)^1/3，则有
|(x+4)^1/3-(x0+4)^1/3|=|x -x0| / | (x+4)^2/3+(x+4)^1/3*(x0+4)^1/3+(x0+4)^2/3| （★），
看（★）中的分母，
相当于 | s^2+st+t^2|，可以证明：s^2+st+t^2 >0，并且| s^2+st+t^2|>t^2/2（证明此附后）
故有|(x+4)^1/3-(x0+4)^1/3| ≤ |x -x0| /(x0+4)^2/2（★★），
对于任给的ε>0，存在δ=[(x0+4)^2/2]*ε，当| x -x0 | < δ 时，看（★★），
有|(x+4)^1/3-(x0+4)^1/3| ≤ |x -x0| /(x0+4)^2/2 <ε成立。证毕。

2．证明：若函数f(x)是奇函数或偶函数，且f(x)在a(≠0)连续，则函数f(x)也在-a连续。
证明：
①若函数f(x)是奇函数，证明lim<x-> -a>f(x)=f(-a)：令t= -x：
对于任给的ε>0，存在δ=ε，当| x -(-a) | =| x +a | =| -t +a |=| t -a |< δ 时，
有|f(x) -f(-a)|= |f( -t) +f(a)| = | -f( t) +f(a)|= | f( t) -f(a)| <ε成立。
注：对“t”是在使用“f(x)在a连续”，对“x”是在证明“f(x)在-a连续”。
同理可证，
②若函数f(x)是偶函数，证明lim<x-> -a>f(x)=f(-a)：令t= -x：
对于任给的ε>0，存在δ=ε，当| x -(-a) | =| x +a | =| -t +a |=| t -a |< δ 时，
有|f(x) -f(-a)|= |f( -t) - f(a)| = | f( t) - f(a)| <ε成立。证毕。

补证s^2+st+t^2 >0，并且| s^2+st+t^2|>t^2/2：
①若st>0，则s^2+st+t^2 >0，则 |s^2+st+t^2|= s^2+st+t^2>t^2> t^2/2。
②若st<0，由均值不等式，-st≤(s^2+t^2 ) /2，则st≥- (s^2+t^2 ) /2，
故s^2+st+t^2≥s^2 - (s^2+t^2 ) /2+t^2=(s^2+t^2 ) /2>0，
于是有|s^2+st+t^2|=s^2+st+t^2≥(s^2+t^2 ) /2 > t^2/2。证毕。

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炎陵县18967131612： 高数证明题:设函数f(x)在区间[0,1]上连续,证明 - ？
柞果昊畅：[答案] 作变量替换t=π-x,代入可得原式=∫(π-t)f(sinx)d(-t) (积分限是从π到0),化简一下得 ∫(从π到0)t*f(sint)dt + π∫(从0到π)f(sint)dt ,第一项与原式相差一下负号,移到等式左边,两边同除以2即得结论. 这种积分的证明题好像一般都是用变量替...

炎陵县18967131612： 关于函数一致连续的证明题 - ？
柞果昊畅： 设limf(x)=L. 任取ε>0,存在正数M,使得当x≥M时,|f(x)-L|<ε/2,即对于x,y≥M, |f(x)-f(y)|=|(f(x)-L)-(f(y)-L)|≤|f(x)-L|+|f(y)-L|<ε. 所以f(x)在[M,+∞)上是一致连续的. 另一方面,因为f(x)是连续函数,所以它在闭区间[a,M+1]上也是一致连续的. 综上所述,f(x)在整个[a,+∞)上一致连续.

炎陵县18967131612： 两道高数题 极限和连续函数⒈设lim(x→x0):f(x)=a>0,lim(x→x0):g(x)=b,证明:lim(x→x0):f(x)^g(x)=a^b⒉设0 - ？
柞果昊畅：[答案] f(x)^g(x)=e^[g(x).lnf(x)] lim(x→x0):f(x)^g(x) =e^{lim(x→x0):[g(x).lnf(x)]} =e^{[lim(x→x0):g(x)][lim(x→x0):lnf(x)]} =e^[b.ln a] =a^b y'=1-acosx 因为0

炎陵县18967131612： 数学分析证明题. f(x)在(a,b)上连续,证明f(x)在(a,b)上不一定一致连续. - ？
柞果昊畅：[答案] 反证法即可: 取(a,b)=R,f(x)=x^2 任意e>0,任意小的d,X0=2e/d,X1=2e/d + d/2; |X1-X0|=d/2(2e/d + 2e/d)d/2=2e; 即不存在适用于所有X0的d>0,与一致连续定义矛盾.

炎陵县18967131612： 一个高数的证明题~设f(x)在[a,b]上连续且非负 , f(a) = f(b) = 0 , 证在 [ a , a + 2/3(b - a) ] 在至少存在一点c ,使f(c + (b - a )/3 ) = f(c) - ？
柞果昊畅：[答案] 构造函数 F(x)=f(x+(b -a )/3)-f(x) 则F(a)+F(a+(b -a )/3)+F(a+2/3(b -a ))=-f(a)+f(b)=0 令F(x)在[ a ,a + 2/3(b-a) ]上的最大值为M,最小值为m 则 m=