有界函数的具体证明方法？？谢谢
同济大学第七版《高等数学》第一章第一节习题第10题解答-理解了定义，掌握了方法，函数的有界性证明题做起来也很简单。
x→∞,f(x)→A
对ε=1,存在N>0,当|x|>N时,|f(x)-A|<1
即得 xN时,A-1<f(x)<A+1
设M1=max{|A-1|,|A+1|}
得 |f(x)|<M1 (1)
又当x∈[-N,N]时,f(x)是其上的连续函数
存在M2>0,使x∈[-N,N]时
|f(x)|≤M2 (2)
取M=max{M1,M2}
由(1)(2)得
对一切x∈R,|f(x)|≤M
所以 f(x)在(-∞,+∞)上有界
设函数f(x)的定义域为D，f(x)集合D上有定义。如果存在数K1，使得 f(x)≤K1对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在X上有上界。
反之，如果存在数字K2，使得 f(x)≥K2对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有下界，而K2称为函数f(x)在D上的一个下界。
如果存在正数M，使得 |f(x)|≤M 对任意x∈D都成立，则称函数在X上有界。如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界;等价于，无论对于任何正数M，总存在x1属于X，使得|f(x1)|>M，那么函数f(x)在X上无界。
此外，函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界也有下界。
扩展资料：
函数的有界性与其他函数性质之间的关系。函数的性质：有界性，单调性，周期性，连续性，可积性。
1、单调性
闭区间上的单调函数必有界。其逆命题不成立。
2、连续性
闭区间上的连续函数必有界。其逆命题不成立。
3、可积性
闭区间上的可积函数必有界。其逆命题不成立。
无界函数
类似的我们可以定义无界函数: 设ƒ为定义在D上的函数，若对于任何M（无论M多大），都存在x0∈D，使得|ƒ(x)|≥M。相关详细定义请查看百度百科无界函数
参考资料来源：百度百科-有界函数
设函数f(x)的定义域为D，f(x)集合D上有定义。
如果存在数K1，使得 f(x)≤K1对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在X上有上界。
反之，如果存在数字K2，使得 f(x)≥K2对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有下界，而K2称为函数f(x)在D上的一个下界。
如果存在正数M，使得 |f(x)|≤M 对任意x∈D都成立，则称函数在X上有界。如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界;等价于，无论对于任何正数M，总存在x1属于X，使得|f(x1)|>M，那么函数f(x)在X上无界。
此外，函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界也有下界。
关于函数有界的证明方法,求解
我弱弱的回答一下我遇到有界的证明方法：1.用定义求。2.求函数单调性，然后求极值和最值，最后求函数极限，判断函数是否有上下界。这是我遇到有界的方法，也很局限望高手来补充！
怎么证明是有界函数?
又y'=[6(x²+1)-6x*2x]\/(x²+1)²=-6(x²-1)\/(x²+1)²令y'=0,得x=1.y'>0,得0≤x<1.y'<0,得x>1 因此在[0,+∞)上y先增后减,有最大值f(1)=3 故y有上界3 由奇函数的对称性可知,在x≤0时,y有下界-3,上界0 ∴在R上y有界 ...
怎么证明函数在开区间上有界?
证明有界的思路是：存在一个正数M，使对所有x，满足｜f(x)|<M。证明无界的思路是：对任意正数M，总存在x，使得｜f(x)|>M。证明方法：1.理论法：若f(x)在定义域［a,b]上连续，或者放宽到常义可积（有限个第一类间断点），则f(x)在［a,b]上必然有界。2.计算法：切分（a,b)内连续。li...
函数有界性的充分必要条件是什么 并证明
函数有界性的充分必要条件是必须既有上界，又有下界。因为这是有界函数的定义。也就是说规定了这样的函数才是有界函数。解题过程如下：设函数f(x)在数集X有定义 试证：函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界。证明：充分性：若f(x)上界 M 下界N 则：|f(x)|<=Max{M,N...
讨论有界性的方法
那么它是有界的。综上所述，讨论函数或数列的有界性是数学分析中一个常见而重要的问题。在实际问题中，了解一个函数或数列是否有界，可以帮助我们更好地理解其性质，为数学推导和应用提供基础。在证明函数或数列的有界性时，可以灵活运用各种方法和技巧，根据具体情况选择合适的方法进行分析和证明。
一元函数有界性的证明
判断函数有界性的技巧：判断函数有界性：设函数f(x)在区间X上有定义，如果存在M> 0，对于一切属于区间X上的x，恒有|f(x)|≤M，则称f(x)在区间X上有界，否则称f(x)在区间上无界。函数的有界性。 设函数f(x)的定义域为D，f(x)集合D上有定义。如果存在数K1，使得f(x)≤K1对任意x∈D都...
求证函数有界的过程,如图
证明有界，只要证明值域在某个范围内，并不要求出这个范围的精确值，比如值域在-2~2之间，是有界，你可以放大范围，证出值域在-10~10之间，甚至在-10^8~10^8之间，同样是有界，只不过边界不同而已。|f(x)|=|(x²+1)\/(x^4+1)|≤(x²+1)²\/(x^4+1)=(x^4+1+2x&...
怎么证明某函数在定义域内是否有界?
3、闭区间上的单调函数可积，根据2，这个函数有界。4、如果f在x处有极限，根据极限的保号性，可以说明它在x的某个邻域内有界。5、f在开区间连续，并且在区间端点分别存在左右极限，根据1，f在该开区间上有界。6、有界函数的和差有界。7、有最大值的函数有上界，有最小值得函数有下界，界就是最...
怎样证明函数有界的充要条件是有上界和下界
证 往右的方面,比如函数为y=f(x),由题意可知,f(x)绝对值要小等一个数,设为A,A为正数,f(x)要大等于-A,小等于A,这样找到上下限,就证完这方面了 证 往左的方面,有上下界,比如下界为m,上界为M,我们取m,M中绝对值的较小者,那么f(x)的绝对值不是得小于min(|m|,|M|)吗?这样不就也...
设y=f(x)及g(x)为[a,b]上的有界函数,证明:
(1) 首先f(x) ≤ sup{f(x)}, g(x) ≤ sup{g(x)}, 故f(x)+g(x) ≤ sup{f(x)+sup{g(x)}, 对任意x∈[a,b].即sup{f(x)+sup{g(x)}是f(x)+g(x)在[a,b]上的一个上界.而上确界是最小的上界, 有sup{f(x)+g(x)} ≤ sup{f(x)+sup{g(x)}.(2) 直接由...
势弦迪巧： 设函数f(x)的定义域为D,f(x)集合D上有定义.如果存在数K1,使得 f(x)≤K1对任意x∈D都成立,则称函数f(x)在X上有上界. 反之,如果存在数字K2,使得 f(x)≥K2对任意x∈D都成立,则称函数f(x)在D上有下界,而K2称为函数f(x)在D上的一个下界...
巢湖市13399422485： 如何证明一个函数是有界函数 - ？
势弦迪巧： 高等数学:函数有界性的证明
巢湖市13399422485： 证明一个函数是否有界,怎么证 - ？
势弦迪巧： 证明如下: 设函数f(x)在数集A上有定义,如果存在常数M>0,使得对任意x,有|f(x)|<M 例如,函数 在其定义域内有界,这是因为对任意总有再如,函数在其定义域内是无界的,这是因为对任意的实数总存在点显然使得然而...
巢湖市13399422485： 怎样证明函数有界性? - ？
势弦迪巧： 在判别函数的有界性时,我们需要先知道以下两个重要结论,即: 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则函数f(x)在闭区间[a,b]上有界. 若函数f(x)在开区间(a,b)上连续,且端点处函数的极限存在,则函数f(x)在开区间(a,b)内有界. 遇到类似这样的题...
巢湖市13399422485： 如何证明一个函数在某区间内是有界函数 - ？
势弦迪巧： 求有界性和求值域是不同的问题,前者要求很松,后者要求更精确,看问题的要求了.有界性的判断有很多方法,最直观的一个就是根据函数的单调性判断有界性,还有,诸如在闭区间上连续函数有界等等法则:针对本题:y=√(x+1)-√x=1/[√(x+1)+√x] 容易判断,此函数在(1,∞)上是单调的减函数,所以, 上界当x=1时取到,y=√2-1; 下界当x->∞时取得,极限为0.所以,此函数是有界的,y∈(0,√2-1).
巢湖市13399422485： 如何证明一个函数有界,最好举个例子,有详细的解题过程. - ？
势弦迪巧： (-1)^n 这个函数取值是-1和+1交替,取值得绝对值是小于等于1的 所以是有界函数.但是没有极限.
巢湖市13399422485： 如何证明该函数的有界性 - ？
势弦迪巧：证明:在实数R上有y=f(x)= x??/x??+1 + 2sin x/2中有|f(x)|=| x??/x??+1 + 2sin x/2| = |1- 1/(x??+1) + 2sin x/2|
巢湖市13399422485： 怎么证明函数是有界函数? - ？
势弦迪巧： y=x/1+x^2=1/(x+1/x) 看分母: 先设x是正数,由基本不等关系 (x+1/x)>=2√(x*1/x)=2 所以分母是大于2的数的, 那么Y的话,1除以大于2的数,必然是小于1/2的 同样可以证明,x是负数的时候 (x+1/x)<=-2 那么y是大于-1/2 这样y就被限制在[-1/2,1/2]之间了,所以有界
巢湖市13399422485： 怎么证明一个函数有界!举个简单的列子说明下!!谢谢了 - ？
势弦迪巧： 比如证明y=xcosx在实数范围内无界反证法,假设函数有界,对任意的x,均有|y|<=M. 取x=2kπ,有f(x)=2kπ,则有2kπ<=M,设N=[M/2π]+1,当k>N时,有f(2kπ)>M,矛盾,故函数y=xcosx无界
巢湖市13399422485： 如何证明函数是否有界 - ？
势弦迪巧： 如何判断一个函数是否有界 就要看它是否无限趋近于一个常数,如是则有界,否则无界. 从上边趋近则有下界, 从下边趋过则有上界. 方法为取差的绝对值.很高兴为你解答有用请采纳
