如图,△ABC为等边三角形,D,E分别自A,B点出发,向AB,BC方向同速运动,试求在运动

如图1，边长为6的等边△ABC中，点D沿射线AB方向由A向B运动，点F同时从C出发，以相同的速度沿射线BC方向运~

（1）当D为AB中点时，AD=3，在RT△ADE中，∠A=60°，∠ADE=30°，∴AE=AD?sinA=32．（2）设AD=X，则CF=X，当DF⊥AB时，RT△BDF中，∠F=30°，∴BF=2BD，6+X=2（6-X），解得X=2，∴AD=2．∴BD=6-2=4，DF=BD?tanB=43．∴△BDF的面积为12BD?DF=83．（3）过F作FH⊥AC，在△ADE和△CFH中，∠AED＝∠FHC＝90°∠A＝∠FCHAD＝CF，∴△ADE≌△CFH（AAS），∴DE=FH，AE=CH，∴AC=EH，在△GDE和△GFH中，∠DEG＝∠FHG∠DGE＝∠FGHDE＝FH，∴△GDE≌△GFH（AAS），∴EG=GH，∴EG=12EH=12AC．

当M点在AB上，作MD⊥BC于D，如图1，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=6，∠B=60°，∴∠BMD=30°，∵BM=3t，BP=t，∴BD=12BM=32t，MD=3BD=332t，∴PD=BD-BP=12t，在Rt△MPD中，PM2=MD2+PD2，即y2=（332t）2+（12t）2，∴y=7t（0≤t≤2），当M点在AC上，作MD⊥BC于D，如图2，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=6，∠C=60°，∴∠CMD=30°，∵BA+AM=3t，BP=t，∴CM=12-3t，∴DC=12MC=12（12-3t），MD=3DC=32（12-3t），∴PD=BC-BP-CD=12t，在Rt△MPD中，PM2=MD2+PD2，即y2=[32（12-3t）]2+（12t）2，∴y2=7t2-54t+108（2≤t≤4），∴t=-?542×7=277时，y有最小值，综上所述当0≤t≤2时，y与t的函数关系的图象为以原点为端点的线段；当2≤t≤4时，y与t的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，且t=277时，y有最小值．故选D．

AE=CD，AE与CD较小夹角为60°。

证明：由D、E同时、同速知：AD=BE，
∵ΔABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠B=60°，
∴ΔACD≌ΔBAE(SAS)，
∴AE=CD，∠BAE=∠ACD，
∴∠APD=∠ACD+∠PAC(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和)
=∠BAE+∠PAC
=∠BAC
=60°。

如图，△ABC为等边三角形，D、E分别自A、B点出发，向AB、BC方向同速运动，试求在运动过程中，AE,CD的大小关系和它们之间的位置关系。

解：因为△ABC是等边三角形，且D、E的运动速度相同，故在运动过程中，会始终保持CD=AE；
设AD=BE=x，△ABC的边长为a，则由余弦定理可知：
AE=CD=√(a²+x²-2axcos60°)=√(a²+x²-ax)=√[(x-a/2)²+a²-a²/4]=√[(x-a/2)²+3a²/4]【0≦x≦a】
当x=a/2时，AE和CD获得最小值(√3/2)a=△ABC的高。

①AE＝CD。∵△ACD≌△BAE（已知AC＝BA，同速AD＝BE，∠CAD＝∠ABE＝60º）。 ②AE ,CD 相交之锐角为60º。
∵∠APD＝ 180º－∠BAE－∠ADP（△内角和等于180º）
＝180º－∠ACD（已证△全等）－（∠ABC＋∠BCD）（外角等于不相邻内角和）
＝ 180º －｛60º＋(∠ACD＋∠BCD)}＝180º－60º－60º＝60º。

AE=CD
AE与CD成60度夹角
ACD全等于BAE
角CPE=角CAE+角ACD=60度

解：这里需要用到“边角边”的方法证得三角形全等。AC=BC，角CAB=角ABC，AD=BE（D,E速度相同），有三角形CAD全等于ABE,则可得到CD=AE，同时角ACP=角DAP。而角APD=角ACP+角CAP=角DAP+角CAP=角DAC=60度。所以，在D,E点运动的过程中，有AE=CD，且它们的交角为60度。
可以考虑极限条件，即D,E未出发，AE其实就是AB，CD就是CA，符合上述结论；D到达B，E到达C，依然符合结论。（不好意思，书写不便，未用数学符号，见谅，还希望你看得明白。）

D、E两点运动速递相同，而AD和CE的长度分别是这两点的路程，所以在时间相等的情况下，AD=CE，由三角形ADC和三角形CEA全等可知，AE=CD。位置关系嘛，就是DE平行于AC咯。

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德江县18557279657： 如图,△ABC为等边三角形,D,E分别自A,B点出发,向AB,BC方向同速运动,试求在运动 - ？
敏林达吉： AE=CD,AE与CD较小夹角为60°.证明:由D、E同时、同速知:AD=BE,∵ΔABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=∠B=60°,∴ΔACD≌ΔBAE(SAS),∴AE=CD,∠BAE=∠ACD,∴∠APD=∠ACD+∠PAC(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和)=∠BAE+∠PAC=∠BAC=60°.

德江县18557279657： 如图,△ABC是等边三角形,D、E在直线BC上,∠DAE=120°.求证:ADDE=ABAE. - ？
敏林达吉：[答案] 证明:∵△ABC是等边三角形, ∴AB=AC,∠ACB=60°,(1分) ∴∠ACE=120°,(1分) ∵∠DAE=120°, ∴∠DAE=∠ACE,(1分) 又∠E=∠E, ∴△ADE∽△CAE(3分), ∴AD:CA=DE:AE(2分), 又∵AC=AB, ∴ AD DE= AB AE.(2分)

德江县18557279657： 已知:如图,△ABC是等边三角形,D、E分别是BC、CA上的点,且BD=CE.(1)求证:AD=BE;(2)求∠AFE的度 - ？
敏林达吉： 解答:(1)证明:∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠ABC=∠C,∵在△ABD和△BCE中,,∴△ABD≌△BCE,∴AD=BE;(2)解:∵△ABD≌△BCE,∴∠BAD=∠CBE,∵∠BDF=180°-∠ADC,∠BEC=180°-∠BEA,∠ADC=∠BAD+∠ABC,∠BEA=∠CBE+∠C,∴∠ADC=∠BEA,∴∠BDF=∠BEC,∵△ABD≌△BCE ∴∠AFE=∠C=60°.

德江县18557279657： 如图三角形abc为等边三角形,d,e两点分别在bc,ac边上,ae=cd,ad,be相交于点p,bq垂直于点q,若pq=3,pe=1,求ad的长 - ？
敏林达吉：[答案] ∵△ABC是等边三角形, ∴AB=AC ∠ACB=∠BAC=60°, ∵AE=CD ∴△ABE和△CAD全等(边角边) ∴∠DAC=∠EBA ∵∠ADB=∠DAC+∠ACB=∠EBA+60°(外角) ∵BQ⊥AD于Q ∴△BQD是直角三角形 ∴∠ADB=90-∠QBD=∠EBA+60 ∠...

德江县18557279657： 如图,△ABC为等边三角形,点D、E分别在边BC、AC上,且AE=CD,AD与BE相交于点F.求∠ - ？
敏林达吉： 解:(1)∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC,∠BAE=∠ACD=60°.∵AE=CD.∴△ABE≌△CAD. (2)∵△ABE≌△CAD,∴∠CAD=∠ABE,∠AEB=∠CDA.∴∠CAD+∠AEB=∠CAD+∠ADC=180°-60°=120°.(外角)∴∠BFD=60°.

德江县18557279657： 如图,三角形ABC是等边三角形,点D.E分别在边AB.BC.CA上,且角1=角2=角3,则三角形DEF是怎样的特殊三角形 - ？
敏林达吉：[答案] ∠2+∠DFE=∠c+∠3(外角 ∠2=∠3(已知 ∠DFE=∠c 同理∠FDE=∠A,∠DEF=∠B ∠A=∠B=∠c=60 得∠DFE=∠FDE=∠DEF=60 △DEF为等边△

德江县18557279657： 已知:如图,三角形ABC为等边三角形,D,E,F分别是AB,AC,BC上一点,且AD=BE=CF. - ？
敏林达吉： 因为三角形边三角形 所以ab=bc=ca ∠a=∠b=∠c 因为ad=be=cf 所以ab-ad=bc-be=ac-cf 所以bd=ce=af 所以△ 所以de=ef=df 所以△def是等边三角形

德江县18557279657： 如图,△ABC为等边三角形,D、E、F分别是BC、CA和AB边上的点,且BD=CE=AF,连接AD、BE、CF,求证:△MCH是等边三角形.图:△MGH在△... - ？
敏林达吉：[答案] 设M为AD,BE交点,G为BE,CF交点,H为AD,BE交点 显然有三角形ABD,三角形BCE三角形ACF两两全等 =>角BAD=角EBC=角FCA =>角HMG=角BAD+角ABE=角EBC+角ABE=60 同理可证三角形MGH另外两个内角为60 =>△MGH是等边三角形

德江县18557279657： 如图,△ABC为等边三角形,D、E分别是AC、BC上的点,且AD=CE,AE与BD相交于点P,BF⊥AE于点F,BP=8,则PF=______. - ？
敏林达吉：[答案] ∵△ABC为等边三角形,∴AC=BC,∠BAD=∠C=60°,在△ABD和△CAE中,AC=BC∠BAD=∠C=60°AD=CE,∴△ABD≌△CAE(SAS),∴∠ABD=∠CAE,∴∠BPF=∠BAP+∠ABD=∠BAP+∠CAE=∠BAC=60°,∵BF⊥AE,∴∠BFP=90°,...

德江县18557279657： 如图,三角形abc是等边三角形,d.e分别是bc,ac的中点,以ad为边作等边三角形ade,连接ef如图,△ABC是等边三角形,D,E分别是BC,AC的中点,以AD... - ？
敏林达吉：[答案] 四边形BDEF是平行四边形,通过角度的计算结合全等可以得到 S△ABC :S四边形BDEF=1:2