如图,⊿ABC是等边三角形,D是边AC上一点,E是边BC延长线上一点,CE=AD

如图，D是等边三角形ABC的AB边延长线上一点，E为等边三角形ABC的AC延长线上一点，EB=ED~

做BD中点F，连接EF
因为，EB=ED
所以，△EBD为等腰三角形
因为，F为BD中点
所以，EF⊥BD
所以，∠EFA＝90°
因为，△ABC为等边三角形
所以，∠A＝60°

Rt△EFA中，∠EFA＝90°，∠A＝60°
所以，∠AEF＝30°
因为，直角三角形中，30°所对直角边＝斜边的一半
所以，AF＝AE/2
即，(AB+BF)＝(AC+CE)/2
因为，等边三角形ABC中，AB＝AC
所以，2(AB+BF)＝AB＋CE
即，AB＋2BF＝CE
因为，F为BD中点，2BF＝BD
所以，AB＋BD＝CE
即，AD＝CE
所以，CE＝AD

证明：∵⊿ABC和⊿CED是等边三角形（已知）
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60º（等边三角形性质）
∵∠ACD＝∠ACB+∠BCD，∠BCE＝∠DCE+∠BCD
∴∠ACD＝∠BCE（等式性质）
在⊿ACD和⊿BCE中：AC＝BC，∠ACD＝∠BCE ，CD＝CE
∴⊿ACD≌⊿BCE（SAS）
∴AD＝BE（全等三角形对应边相等），∠CEN＝∠CDM（全等三角形对应角相等）
又∵M、N分别是AD、BE的中点（已知）
∴EN＝（1/2）BE，DM＝（1/2）AD（中点定义）
∴EN＝DM（等式性质）①
在⊿CEN和⊿CDM中：CE＝CD，∠CEN＝∠CDM，EN＝DM
∴⊿CEN≌⊿CDM（SAS）
∴CN＝CM（全等三角形对应边相等，∠ECN＝∠DCM（全等三角形对应角相等）
∵∠ACB+∠ECD+∠DCB＝180 º（CE是AC的延长线，∠ACB＝∠DCE＝60º
∴∠BCD＝60 º
又∵∠ECN＝∠DCE+∠DCN，∠DCM＝∠DCB+∠BCM（角的和差定义）
∴∠DCN＝BCM（等式性质）
∴∠MCN＝∠BCM+BCN＝∠BCN+∠DCN＝60 º（等式性质）②
由①②得出：⊿MCN是等边三角形。（有一个角是60 º的等腰三角形是等边三角形）

考点：等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质．专题：几何综合题．

 

分析：（1）过E作EF∥BA交AC的延长线于F点，根据等边三角形的性质得到∠A=∠ACB=60°，AB=AC，则∠F=60°，∠ECF=60°，得到△CEF为等边三角形，于是EF=CE=CF，易得AD=EF，AC=DF=AB，根据三角形全等的判定可得到△ABD≌△FDE，即可得到结论；
（2）先根据题意画出图形，和（1）证明一样：过E作EF∥BD交AC的延长线于F点，先证明△CEF为等边三角形，然后证明△ABD≌△FDE即可．

解答：（1）证明：过E作EF∥BA交AC的延长线于F点，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，AB=AC，
∴∠F=60°，∠ECF=60°，
∴△CEF为等边三角形，
∴EF=CE=CF，
而AD=CE，
∴AD=EF，AC=DF=AB，
在△ABD和△FDE中，
AB=FD，
∠A=∠F，
AD=FE，
∴△ABD≌△FDE，
∴DB=DE；

（2）解：如图，（1）中的结论还成立，即有DB=DE．证明如下：
过E作EF∥BA交AC的延长线于F点，
和（1）一样可证明△CEF为等边三角形，
∴AD=CE=EF，DF=AC=AB，
易证得△ABD≌△FDE，
∴DB=DE．

 

第一小题

 

第二小题

：（1）证明：过E作EF∥BA交AC的延长线于F点，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，AB=AC，
∴∠F=60°，∠ECF=60°，
∴△CEF为等边三角形，
∴EF=CE=CF，
而AD=CE，
∴AD=EF，AC=DF=AB，
在△ABD和△FDE中，
AB=FD，
∠A=∠F，
AD=FE，
∴△ABD≌△FDE，
∴DB=DE；

（2）解：如图，（1）中的结论还成立，即有DB=DE．证明如下：
过E作EF∥BA交AC的延长线于F点，
和（1）一样可证明△CEF为等边三角形，
∴AD=CE=EF，DF=AC=AB，
易证得△ABD≌△FDE，
∴DB=DE．

 

1 过D点做BE的垂线 垂足为F △ABC 是等边三角形 所以 ∠DBE=∠ABD=30° 因为∠ACB=60° 所以∠DCE=120° 因为AD=DC=CE 所以△DCE是等腰三角形 所以∠CED=∠CDE=30° ∠DEF=∠DBF∴ 三角形BDE是等腰三角形 ∴ BD=DE
2 相等 ∵FD平行BC ∴ △AFD也是等边三角形 所以 AD=DF=CE ∠DFB=∠DCE=120°
BF=AB-AF CD=AC-AD AF=AD AB=AC ∴ BF=CD ∴△BFD与△CDE 相等 所以 BD=DF

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宁明县17124723485： 如图,已知△ABC是等边三角形,D是边AC的中点,连接BD,EC⊥BC于点C,CE=BD.求证:△ADE是等边三角形. - ？
泰殷果复：[答案] 证明:∵△ABC是等边三角形,D为边AC的中点,∴BD⊥AC,即∠ADB=90°,∵EC⊥BC,∴∠BEC=90°,∴∠DBC+∠DCB=90°,∠ECD+∠BCD=90°,∴∠ACE=∠DBC,∵在△CBD和△ACE中BD=CE∠DBC=∠ACEBC=AC∴△CBD≌Rt△AC...

宁明县17124723485： 初中数学题:如图,△ABC是等边三角形,点D是边BC上的一点,以AD为边作等边△ADE,过点C作CF∥DE交AB于点F如图,△ABC是等边三角形,点D... - ？
泰殷果复：[答案] (1)证明:∵△ABC是等边三角形,D是BC的中点,∴AD⊥BC,且∠DAB=12∠BAC=30°,∵△AED是等边三角形,∴AD=AE,∠ADE=60°,∴∠EDB=90°-∠ADE=90°-60°=30°,∵ED∥CF,∴∠FCB=∠EDB=30°,∵∠ACB=60°,∴∠ACF=∠BAD...

宁明县17124723485： 如图,三角形ABC为等边三角形,D是边BC上[除B,C外]的任意一点,角ADE=60度,且DE交角ACF的平分线CE于点E.【1】求证;角BAD=角EDC.【2】求... - ？
泰殷果复：[答案] (1):因为△ABC为等边三角形,所以∠ABD=∠ADE =60°,∠ADC为三角形ABD的外角,所以∠ABD+∠BAD=∠ADE+∠EDC,因为∠ABD=∠ADE ,所以∠BAD=∠EDC (2):在AB上取点P,使BP=BD,所以∠BPD=∠BDP=60°,因为AB=BC,...

宁明县17124723485： 如图,△ABC是等边三角形,D是AB边上的一点,以CD为边作等边△CDE,使点E、A在直线DC的同侧,连接AE.求 - ？
泰殷果复： 证明见解析. 试题分析:根据等边三角形性质推出BC=AC,CD=CE,∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°,求出∠BCD=∠ACE,根据SAS证△ACE≌△BCD,推出∠EAC=∠DBC=∠ACB,根据平行线的判定推出即可. 试题解析:∵△ABC和△DEC是等边三角形,∴BC=AC,CD=CE,∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°,∴∠BCA-∠DCA=∠ECD-∠DCA,即∠BCD=∠ACE,∵在△ACE和△BCD中 ,∴△ACE≌△BCD(SAS),∴∠EAC=∠B=60°=∠ACB,∴AE∥BC.

宁明县17124723485： 如图,三角形ABC是等边三角形,D是边AB上的一点,以CD为边做等边三角形CDE,使E,A在直线DC - ？
泰殷果复： 证一个全等. 三角形DBC与三角形EAC 角ECA+角ACD=角ACD+角DCB=60度 (两等边三角形嘛..内角都是60度了) 故有 角 ECA=角DCB 等量代换 CE=CD 三角形CDE等边 AC=BC 三角形ABC等边 故有全等...理由 (SAS) 有角B=角EAC=60度 又角BAC=60度 等边三角形ABC的 一个内角 故有角BAE=60+60=120度 所在角B+角BAE=180度所以有平行 (同旁内角互补)

宁明县17124723485： 如图,三角形ABC是等边三角形,点D是边BC上任意一点,DE垂直AB于点E,DF垂直AC于点F.若BC=2,则DE+DF=?? - ？
泰殷果复： 有一条定理你知道吗,就是在等腰三角形的底边上任取一点向两腰作垂线段,线段之和与一腰上的高相等.这里只要证明这个定理即可 如图 过B点作BG⊥AC于点G,过D点作DH⊥BG于点H,则四边形HDFG是矩形,所以HG=DF 且有HD‖AC,∴∠HDB=∠C,而∠ABC=∠C,∴∠ABC=∠HDB,∵BD=BD,∠BED=∠BHD=90°,∴△EBD≌△HDB,∴BH=ED 即BG=HG+BH=DF+DE 在直角△BGC中,BG=BC*sin∠C=2*√3/2=√3 即DE+DF=√3 (根号3)

宁明县17124723485： 如图,△ABC是等边三角形,D是边BC上一点,△ABD绕点A旋转到△ACE,则∠DAE= - -----度 - ？
泰殷果复： ∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,当△ABD绕点A旋转到△ACE时,旋转角相等,即:∠DAE=∠BAC=60°.

宁明县17124723485： 如图,△ABC是等边三角形,点D是边BC上(除B、C外)的任意一点,∠ADE=60°,且DE交△ABC外角∠ACF的平分 - ？
泰殷果复： 证明:(1)∵△ABC是等边三角形,∠ADE=60° ∴∠ADE=∠B=60°,∠ADC=∠2+∠ADE=∠1+∠B ∴∠1=∠2.(2)如图,在AB上取一点M,使BM=BD,连接MD. ∵△ABC是等边三角形 ∴∠B=60° ∴△BMD是等边三角形,∠BMD=60°.∠AMD=120°. ∵CE是△ABC外角∠ACF的平分线, ∴∠ECA=60°,∠DCE=120°. ∴∠AMD=∠DCE, ∵BA-BM=BC-BD,即MA=CD. 在△AMD和△DCE中 ∠1=∠2AM=DC∠AMD=∠DCE , ∴△AMD≌△DCE(ASA). ∴AD=DE.

宁明县17124723485： 如图,△ABC是等边三角形,点D是边BC上的一点,以AD为边作等边△ADE,过点C作CF‖DE交A - ？
泰殷果复： (1)证明:因为三角形ABC是等边三角形 所以角BAC=角ACB=角ABC=60度 AB=AC 因为D是BC的中点 所以AD是等边三角形ABC的中线 所以AD是等边三角形ABC的角平分线 所以角BAD=角CAD=1/2角BAC=30度 因为三角形ADE是等边三角形 ...

宁明县17124723485： 如图:在等边三角形ABC中,D是边AB上一点,过D作DG平行BC,交AC于点G,在GD的延长线上取点E,使DE - ？
泰殷果复： (1)因为DG平行BC,所以,三角形ADG相似三角形ABC,所以,三角形ADG是等边三角形,即有 AD=AG=DG,角BAC=角AGD=60度.进而有,BD=AB-AD=AC-AG=CG,因为DE=BD,所以,DE=CG,因此有,EG=DE+DG=CG+AG=AC,...