如图,⊿ABC是等边三角形,D是边AC上一点,E是边BC延长线上一点,CE=AD
做BD中点F,连接EF
因为,EB=ED
所以,△EBD为等腰三角形
因为,F为BD中点
所以,EF⊥BD
所以,∠EFA=90°
因为,△ABC为等边三角形
所以,∠A=60°
Rt△EFA中,∠EFA=90°,∠A=60°
所以,∠AEF=30°
因为,直角三角形中,30°所对直角边=斜边的一半
所以,AF=AE/2
即,(AB+BF)=(AC+CE)/2
因为,等边三角形ABC中,AB=AC
所以,2(AB+BF)=AB+CE
即,AB+2BF=CE
因为,F为BD中点,2BF=BD
所以,AB+BD=CE
即,AD=CE
所以,CE=AD
证明:∵⊿ABC和⊿CED是等边三角形(已知)
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60º(等边三角形性质)
∵∠ACD=∠ACB+∠BCD,∠BCE=∠DCE+∠BCD
∴∠ACD=∠BCE(等式性质)
在⊿ACD和⊿BCE中:AC=BC,∠ACD=∠BCE ,CD=CE
∴⊿ACD≌⊿BCE(SAS)
∴AD=BE(全等三角形对应边相等),∠CEN=∠CDM(全等三角形对应角相等)
又∵M、N分别是AD、BE的中点(已知)
∴EN=(1/2)BE,DM=(1/2)AD(中点定义)
∴EN=DM(等式性质)①
在⊿CEN和⊿CDM中:CE=CD,∠CEN=∠CDM,EN=DM
∴⊿CEN≌⊿CDM(SAS)
∴CN=CM(全等三角形对应边相等,∠ECN=∠DCM(全等三角形对应角相等)
∵∠ACB+∠ECD+∠DCB=180 º(CE是AC的延长线,∠ACB=∠DCE=60º
∴∠BCD=60 º
又∵∠ECN=∠DCE+∠DCN,∠DCM=∠DCB+∠BCM(角的和差定义)
∴∠DCN=BCM(等式性质)
∴∠MCN=∠BCM+BCN=∠BCN+∠DCN=60 º(等式性质)②
由①②得出:⊿MCN是等边三角形。(有一个角是60 º的等腰三角形是等边三角形)
考点:等边三角形的性质;等腰三角形的判定与性质.专题:几何综合题.
分析:(1)过E作EF∥BA交AC的延长线于F点,根据等边三角形的性质得到∠A=∠ACB=60°,AB=AC,则∠F=60°,∠ECF=60°,得到△CEF为等边三角形,于是EF=CE=CF,易得AD=EF,AC=DF=AB,根据三角形全等的判定可得到△ABD≌△FDE,即可得到结论;
(2)先根据题意画出图形,和(1)证明一样:过E作EF∥BD交AC的延长线于F点,先证明△CEF为等边三角形,然后证明△ABD≌△FDE即可.
解答:(1)证明:过E作EF∥BA交AC的延长线于F点,如图,
∵△ABC为等边三角形,
∴∠A=∠ACB=60°,AB=AC,
∴∠F=60°,∠ECF=60°,
∴△CEF为等边三角形,
∴EF=CE=CF,
而AD=CE,
∴AD=EF,AC=DF=AB,
在△ABD和△FDE中,
AB=FD,
∠A=∠F,
AD=FE,
∴△ABD≌△FDE,
∴DB=DE;
(2)解:如图,(1)中的结论还成立,即有DB=DE.证明如下:
过E作EF∥BA交AC的延长线于F点,
和(1)一样可证明△CEF为等边三角形,
∴AD=CE=EF,DF=AC=AB,
易证得△ABD≌△FDE,
∴DB=DE.
第一小题
第二小题
:(1)证明:过E作EF∥BA交AC的延长线于F点,如图,
∵△ABC为等边三角形,
∴∠A=∠ACB=60°,AB=AC,
∴∠F=60°,∠ECF=60°,
∴△CEF为等边三角形,
∴EF=CE=CF,
而AD=CE,
∴AD=EF,AC=DF=AB,
在△ABD和△FDE中,
AB=FD,
∠A=∠F,
AD=FE,
∴△ABD≌△FDE,
∴DB=DE;
(2)解:如图,(1)中的结论还成立,即有DB=DE.证明如下:
过E作EF∥BA交AC的延长线于F点,
和(1)一样可证明△CEF为等边三角形,
∴AD=CE=EF,DF=AC=AB,
易证得△ABD≌△FDE,
∴DB=DE.
1 过D点做BE的垂线 垂足为F △ABC 是等边三角形 所以 ∠DBE=∠ABD=30° 因为∠ACB=60° 所以∠DCE=120° 因为AD=DC=CE 所以△DCE是等腰三角形 所以∠CED=∠CDE=30° ∠DEF=∠DBF∴ 三角形BDE是等腰三角形 ∴ BD=DE
2 相等 ∵FD平行BC ∴ △AFD也是等边三角形 所以 AD=DF=CE ∠DFB=∠DCE=120°
BF=AB-AF CD=AC-AD AF=AD AB=AC ∴ BF=CD ∴△BFD与△CDE 相等 所以 BD=DF
如图,⊿ABC是等边三角形,D是边AC上一点,E是边BC延长线上一点,CE=AD
解答:(1)证明:过E作EF∥BA交AC的延长线于F点,如图,∵△ABC为等边三角形,∴∠A=∠ACB=60°,AB=AC,∴∠F=60°,∠ECF=60°,∴△CEF为等边三角形,∴EF=CE=CF,而AD=CE,∴AD=EF,AC=DF=AB,在△ABD和△FDE中,AB=FD,∠A=∠F,AD=FE,∴△ABD≌△FDE,∴DB=DE;(2...
如图,△ABC是等边三角形,点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点
(1)证明:∵⊿ABC是等边三角形 ∴AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60º∵AD=BE=CF ∴AB-AD=BC-BE=AC-CF 即BD=CE=AF 在⊿ADF和⊿BDE中 AD=BE,∠A=∠B,AF=BD ∴⊿ADF≌⊿BED(SAS)∴DF=DE 同理:⊿ADF≌⊿CFE ∴DF=EF ∴DF=EF=DE ∴⊿DEF是等边三角形 (2)∵⊿DEF是等...
初中数学题:如图,△ABC是等边三角形,点D是边BC上的一点,以AD为边作...
(1)根据△ABC和△AED是等边三角形,D是BC的中点,ED∥CF,求证△ABD≌△CAF,进而求证四边形EDCF是平行四边形即可;(2)在(1)的条件下可直接写出△AEF和△ABC的面积比;(3)根据ED∥FC,得出∠ACF=∠BAD,求证△ABD≌△CAF,得出ED=CF,进而求证四边形EDCF是平行四边形,即可证明EF=DC ...
如图,△ABC为等边三角形,∠ADC=120°.BD平分∠ADC,求证:AD+DC=BD
∵∠ADC=120°.BD平分∠ADC ∴∠ADB=∠CDB=60º过C点作CE\/\/AD ,交BD于E 则∠CED=∠ADE=60º∵∠CDE=∠DEC=60º∴⊿CDE是等边三角形 ∴CD=CE,∠DCE=60º∵⊿ABC是等边三角形 ∴BC=AC,∠ACB=60º∵∠ECB=∠ACB-∠ACE=60º-∠ACE ∠DCA=∠DCE-∠...
如图,△ABC是等边三角形,F是AC的中点,D在BC上,连接DF,以DF为边在DF的...
2。⊿ABC为等边,AC=BC,而F为AC中点,所以AF=1\/2 BC 3。设EF交BC于G。在⊿GDF和⊿FDC中,DG\/DF=DF\/DC(三角形相似)。又DE=DF(等边三角形),则有DG\/DE=DE\/DC,于是有⊿EDG∽⊿CDE,所以∠ECB=60°,易知⊿BDH∽⊿CDE,所以有BH\/BD=EC\/DC 本题结论不正确,BH\/BD不可能为定值 ...
如图,三角形ABC是等边三角形,P是BC上一点,三角形ABa是等边三角形(1...
已知:P为等边⊿ABC中BC边上一点,且⊿APQ也为等边三角形.(1)求证:AB∥CQ.(2)是否存在点P,使得AQ垂直CQ?若存在,指出点P的位置;若不存在,说明理由.(1)证明:∵⊿ABC,⊿APQ均为等边三角形.∴AB=AC,AP=AQ,∠BAC=∠PAQ=60°.∴∠1=∠2.则⊿BAP≌⊿CAQ(SAS),∠ACQ=∠ABP=60°.∵∠ACQ=...
已知,如图,△ABC是等边三角形,点D在边BC上,且△ADE是等边三角形,过点E...
证明:△ABC,△ADE是等边三角形,得 AB=AC,AD=AE 由∠BAD+∠CAD=∠CAD+∠CAE=60°,得 ∠BAD=∠CAE ∴ △ABD≌△ACE 则 ∠ACE=∠ABD=60° ∴ ∠ABC+∠BCA+∠ACE=60°+60°+60°=180° 则 AB\/\/CE(同旁内角互补,两直线平行) 且 EF∥BC(已知)故 四边形BCEF是平行...
如图三角形ABC为等边三角形 点D在BC边上 DE垂直AB于点E DF垂直AC于点...
解:做EH∥BC,交AC于H;AM⊥BC,交BC于M。已知:⊿ABC是等边三角形,DE⊥AB,DF⊥AC,AM⊥BC(所做)1,令AB=AC=BC=a(a为边长)因为:S⊿ABC=S⊿ABD+S⊿ACD 则:(1\/2)AMa=(1\/2)DEa+(1\/2)DFa 即:AM=DE+DF=2+1=3 2,因为:∠B=∠ACB=60°(等边三角形的内角为60度)...
如图,己知三角形ABC是等边三角形
只要证明角dec=30°就可以了。因为三角形abc是等边三角形,所以角abc=60°,等边三角形三线合一,所以角dbc=30° 而角ecd=角a+角b =120度,ec=cd,所以角ecd=(180°-120°)÷2 =30° 所以,三角形ebd是等腰三角形,所以db=de 证毕。
如图,已知△ABC为等边三角形,D为BC边上一点,以AD为边作∠ADE=60°,DE...
解:(1)证明:如图,在AB上截取BH=BD ∵⊿ABC是等边三角形 ∴∠B=60,ZB=AC,∠ACB=60 又∵BH=BD ∴AH=DC ∵CE平分∠ACB的外角,且∠ACB=60 ∴∠ACE=60 ∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=120 ∵∠B=60,BH=BD ∴⊿BHD是等边三角形 ∴∠BHD=60 ∴∠AHD=120 ∴∠AHD=∠DCE ∵∠ADC=∠...
泰殷果复:[答案] 证明:∵△ABC是等边三角形,D为边AC的中点,∴BD⊥AC,即∠ADB=90°,∵EC⊥BC,∴∠BEC=90°,∴∠DBC+∠DCB=90°,∠ECD+∠BCD=90°,∴∠ACE=∠DBC,∵在△CBD和△ACE中BD=CE∠DBC=∠ACEBC=AC∴△CBD≌Rt△AC...
宁明县17124723485: 初中数学题:如图,△ABC是等边三角形,点D是边BC上的一点,以AD为边作等边△ADE,过点C作CF∥DE交AB于点F如图,△ABC是等边三角形,点D... - ?
泰殷果复:[答案] (1)证明:∵△ABC是等边三角形,D是BC的中点,∴AD⊥BC,且∠DAB=12∠BAC=30°,∵△AED是等边三角形,∴AD=AE,∠ADE=60°,∴∠EDB=90°-∠ADE=90°-60°=30°,∵ED∥CF,∴∠FCB=∠EDB=30°,∵∠ACB=60°,∴∠ACF=∠BAD...
宁明县17124723485: 如图,三角形ABC为等边三角形,D是边BC上[除B,C外]的任意一点,角ADE=60度,且DE交角ACF的平分线CE于点E.【1】求证;角BAD=角EDC.【2】求... - ?
泰殷果复:[答案] (1):因为△ABC为等边三角形,所以∠ABD=∠ADE =60°,∠ADC为三角形ABD的外角,所以∠ABD+∠BAD=∠ADE+∠EDC,因为∠ABD=∠ADE ,所以∠BAD=∠EDC (2):在AB上取点P,使BP=BD,所以∠BPD=∠BDP=60°,因为AB=BC,...
宁明县17124723485: 如图,△ABC是等边三角形,D是AB边上的一点,以CD为边作等边△CDE,使点E、A在直线DC的同侧,连接AE.求 - ?
泰殷果复: 证明见解析. 试题分析:根据等边三角形性质推出BC=AC,CD=CE,∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°,求出∠BCD=∠ACE,根据SAS证△ACE≌△BCD,推出∠EAC=∠DBC=∠ACB,根据平行线的判定推出即可. 试题解析:∵△ABC和△DEC是等边三角形,∴BC=AC,CD=CE,∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°,∴∠BCA-∠DCA=∠ECD-∠DCA,即∠BCD=∠ACE,∵在△ACE和△BCD中 ,∴△ACE≌△BCD(SAS),∴∠EAC=∠B=60°=∠ACB,∴AE∥BC.
宁明县17124723485: 如图,三角形ABC是等边三角形,D是边AB上的一点,以CD为边做等边三角形CDE,使E,A在直线DC - ?
泰殷果复: 证一个全等. 三角形DBC与三角形EAC 角ECA+角ACD=角ACD+角DCB=60度 (两等边三角形嘛..内角都是60度了) 故有 角 ECA=角DCB 等量代换 CE=CD 三角形CDE等边 AC=BC 三角形ABC等边 故有全等...理由 (SAS) 有角B=角EAC=60度 又角BAC=60度 等边三角形ABC的 一个内角 故有角BAE=60+60=120度 所在角B+角BAE=180度所以有平行 (同旁内角互补)
宁明县17124723485: 如图,三角形ABC是等边三角形,点D是边BC上任意一点,DE垂直AB于点E,DF垂直AC于点F.若BC=2,则DE+DF=?? - ?
泰殷果复: 有一条定理你知道吗,就是在等腰三角形的底边上任取一点向两腰作垂线段,线段之和与一腰上的高相等.这里只要证明这个定理即可 如图 过B点作BG⊥AC于点G,过D点作DH⊥BG于点H,则四边形HDFG是矩形,所以HG=DF 且有HD‖AC,∴∠HDB=∠C,而∠ABC=∠C,∴∠ABC=∠HDB,∵BD=BD,∠BED=∠BHD=90°,∴△EBD≌△HDB,∴BH=ED 即BG=HG+BH=DF+DE 在直角△BGC中,BG=BC*sin∠C=2*√3/2=√3 即DE+DF=√3 (根号3)
宁明县17124723485: 如图,△ABC是等边三角形,D是边BC上一点,△ABD绕点A旋转到△ACE,则∠DAE= - -----度 - ?
泰殷果复: ∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,当△ABD绕点A旋转到△ACE时,旋转角相等,即:∠DAE=∠BAC=60°.
宁明县17124723485: 如图,△ABC是等边三角形,点D是边BC上(除B、C外)的任意一点,∠ADE=60°,且DE交△ABC外角∠ACF的平分 - ?
泰殷果复: 证明:(1)∵△ABC是等边三角形,∠ADE=60° ∴∠ADE=∠B=60°,∠ADC=∠2+∠ADE=∠1+∠B ∴∠1=∠2.(2)如图,在AB上取一点M,使BM=BD,连接MD. ∵△ABC是等边三角形 ∴∠B=60° ∴△BMD是等边三角形,∠BMD=60°.∠AMD=120°. ∵CE是△ABC外角∠ACF的平分线, ∴∠ECA=60°,∠DCE=120°. ∴∠AMD=∠DCE, ∵BA-BM=BC-BD,即MA=CD. 在△AMD和△DCE中 ∠1=∠2AM=DC∠AMD=∠DCE , ∴△AMD≌△DCE(ASA). ∴AD=DE.
宁明县17124723485: 如图,△ABC是等边三角形,点D是边BC上的一点,以AD为边作等边△ADE,过点C作CF‖DE交A - ?
泰殷果复: (1)证明:因为三角形ABC是等边三角形 所以角BAC=角ACB=角ABC=60度 AB=AC 因为D是BC的中点 所以AD是等边三角形ABC的中线 所以AD是等边三角形ABC的角平分线 所以角BAD=角CAD=1/2角BAC=30度 因为三角形ADE是等边三角形 ...
宁明县17124723485: 如图:在等边三角形ABC中,D是边AB上一点,过D作DG平行BC,交AC于点G,在GD的延长线上取点E,使DE - ?
泰殷果复: (1)因为DG平行BC,所以,三角形ADG相似三角形ABC,所以,三角形ADG是等边三角形,即有 AD=AG=DG,角BAC=角AGD=60度.进而有,BD=AB-AD=AC-AG=CG,因为DE=BD,所以,DE=CG,因此有,EG=DE+DG=CG+AG=AC,...