求定积分∫xcosx dx 上限1,下限-1
f(x)=xcosx/(x^2+1)
f(-x)=(-x)cos(-x)/[(-x)^2+1]=-xcosx/(x^2+1)=-f(x)
xcosx/(x^2+1)是奇函数。所以在-1到1上的定积分为0.
被积分函数 (x³ cosx) 是关于x的奇函数,而积分限是关于x的对称区域,所以
积分结果为0
可以简单证明如下
JF= JF1 + JF2 = ∫上限1 下限 0 (x^3cosx)dx + ∫上限0 下限 -1 (x^3cosx)dx
其中:JF2 =∫上限0 下限 -1 (x^3cosx)dx
令x = - t 则dx = +t 被积函数f(x) = (x³ cosx) = - (t³ cost)
当 x =-1时 t=+1 ;当 x =0时 t=+0
所以
JF2 =∫上限0 下限 +1 -(t³cost) d(-t) =∫上限0 下限 +1 (t³cost) dt
注意到JF2的上下限 与JF1 = ∫上限1 下限 0 (x^3cosx)dx 正好相反 二者求和的时候抵消
所以结果确实为零
∫xcosx dx
=xsinx-∫sinx dx+C
=xsinx+cosx+C
因此可得定积分的值为:
sin1+cos1-(-sin(-1)+cos(-1))
=sin1+cos1-sin1-cos1
=0
其实还有更简便的方法:
因为(-x)cos(-x)=-xcosx,所以xcosx是奇函数,而积分区间关于原点对称,故知积分为0.
∫[-1,1] xcosxdx
=xsinx|[-1,1] -∫[-1,1]sinxdx
=sin1+sin(-1)+cos1-cos(-1)
=0
xcosx定积分怎么求
∫xcosxdx =∫xdsinx =xsinx-∫sinxdx =xsinx+cosx+C 。定积分是积分的一种,是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。一个函数可以存在不定积分,而不存在定积分,也可以存在定积分,而不存在不定积分。一个连续函数,一定存在定积分和不定积分,若只有有限个间断点,则定积分存在,若有跳跃间...
xcosx定积分怎么求
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求定积分∫xcosx dx 上限1,下限-1
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xcox定积分下限为零,上限为二分之兀?
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计算定积分∫(0到π)x|cosx|dx
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cosx积分怎么求?
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定积分为什么后面xcosx没了
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