已知AB是圆o的直径,AP是圆o的切线,A是切点,BP与圆o交于点C,若D为AP的中点,求证:直线CD是圆o的切线。

如图，已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C。若D为AP的中点，求证~

解：连接DO、CO，分析，得只要证明△DCO与△DAO全等即可证明DC=AD，从而证明AD=DC=DP。
∵O为AB中点、D为AP中间，∴DO∥BP，从而得出：∠C0D=∠OCB,∠DOA=∠OBC;(1)
∵点C为圆弧上一点，∴OC=OB=OA,得出∠OCB=∠OBC；(2)
由（1）、（2）得出：∠COD=∠DOA
综上所述：OC=OA ∠COD=∠DOA DO=DO △DCO与 △DOA全等（边角边定理），即得出：DC=AD ∵D为AP中点，∴AD=CD=DP

解：（1）∵AB是⊙O的直径，AP是切线，
∴∠BAP=90°．
在Rt△PAB中，AB=2，∠P=30°，
∴BP=2AB=2×2=4．
由勾股定理，得．
（2）如图，连接OC、AC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
又∵∠ACP=90°．在Rt△APC中，D为AP的中点，
∴．
∴∠DAC=∠DCA．
又∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA．
∵∠OAC+∠DAC=∠PAB=90°，
∴∠OCA+∠DCA=∠OCD=90°．即OC⊥CD．
∴直线CD是⊙O的切线．

解：如下图，连接OC、AC．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠BCA=90°，∠ACP=90°．

在Rt△APC中，D为AP的中点，

∴∠DAC=∠DCA．

∵OC=OA，

∴∠OAC=∠OCA．

∵∠OAC+∠DAC=∠PAB=90°，

∴∠OCA+∠DCA=∠OCD=90°．

∴OC⊥CD．

∴直线CD是⊙O的切线．

 

解：如下图，连接OC、AC．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠BCA=90°，∠ACP=90°．

在Rt△APC中，D为AP的中点，

∴∠DAC=∠DCA．

∵OC=OA，

∴∠OAC=∠OCA．

∵∠OAC+∠DAC=∠PAB=90°，

∴∠OCA+∠DCA=∠OCD=90°．

∴OC⊥CD．

∴直线CD是⊙O的切线．

解：如下图，连接OC、AC．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠BCA=90°，∠ACP=90°．

在Rt△APC中，D为AP的中点，

∴∠DAC=∠DCA．

∵OC=OA，

∴∠OAC=∠OCA．

∵∠OAC+∠DAC=∠PAB=90°，

∴∠OCA+∠DCA=∠OCD=90°．

∴OC⊥CD．

∴直线CD是⊙O的切线．

联结OD、OC，因D是AP的中点，O是圆心，所以OD是三角形APB的中位线，因此角ADO与角P相等，角PCDD等于角CDO，角OCB等于角DOC，角PCD加角DCA等于90°，所以角ODC加角DCO等于90°，所以AC与OD垂直，证毕。

证明：连接OC、AC

由AB是⊙O的直径推出AC⊥PB，得直角三角形ACP

又由D为AP的中点可知CD=AD=PD

∵OA=OC ∴∠1=∠2

∵CD=AD ∴∠3=∠4

又∵AB是⊙O的直径，AP是切线

∴∠1+∠3=90°

∴∠2+∠4=90°

[评]（Ⅱ）当然，此题证法不唯一，第二问也可以连接OC、AC，利用全等证明。无论何种方法证明，最终都要去“证垂直”。

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苍溪县13967019356： 已知AB是圆O的直径,AP是圆O的切线,A是切点,BP与圆O交于点C - ？
宰李施乐： 解:设圆O的半径为R 则BC=2R 则PB=PC+BC=4+2R 因PA切圆O于A 则AP²=PC·PB36=4*(4+2R) R=5/2

苍溪县13967019356： 如图所示,已知AB是圆O的直径,AP是圆O的切线,A是切点,BP与圆O交于点C,若D为AD中点,求证:直线CD是圆O - ？
宰李施乐：[答案] 【D为AP的中点,求证CD是圆O的切线】证明:连接AC,OC∵AB为圆O的直径∴∠ACB=90º∴∠ACP=90º∵D是AP的中点∴CD=½AP=AD∴∠DAC=∠DCA∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∴∠DAC+∠OAC=∠DCA+∠OCA即∠OAD=∠OCD∵PA...

苍溪县13967019356： 已知AB是圆o的直径,AP是圆o的切线,A为切点,BP与圆o于点C,若D为AP的中点,求证直线CD - ？
宰李施乐： 联结OD、OC,因D是AP的中点,O是圆心,所以OD是三角形APB的中位线,因此角ADO与角P相等,角PCDD等于角CDO,角OCB等于角DOC,角PCD加角DCA等于90°,所以角ODC加角DCO等于90°,所以AC与OD垂直,证毕

苍溪县13967019356： 已知AB是圆O的直径,AP是圆O的切线,A是切点,BP与圆O交于点C.若AB=2,角P=30度,求的长(结果保留根号). - ？
宰李施乐： 解: ∵AB是直径,AP是圆O的切线,A是切点 ∴PA⊥AB 则 PA=AB/tan∠P=2/tan30°=2√3 连接AC、OC、DC 则∠ACB=90 ∴∠PCA=90 ∵D是AP的中点 ∴CD=AD=DP ∴∠DAC=∠DCA 所以 DC是圆O的切线

苍溪县13967019356： 如图,已知AB是圆O的直径,AP是圆O的切线,A为切点,BP与圆O交于点C,D为AP的中点,求证CD为圆O切线 - ？
宰李施乐： 可以,但似乎太麻烦了.如下证明可否:连结AC、DC,∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACP=90°,∵D是AP中点,∴DA=DC,∴∠DAC=∠DCA,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠DAC+∠OAC=∠DCA+∠OCA,即∠DAO=∠DCO,∵DA是圆O的切线,∴∠DAO=90°,∴∠DCO=90°,即DC是圆O的切线.有疑问,请追问;若满意,请采纳,谢谢!

苍溪县13967019356： 如图,已知AB是圆O的直径,AP是圆O的切线,A为切点,BP与圆O交于点C,D为AP的中点,求证CD为圆O切线我自己做的,大家看行不行:连接AC,OD.... - ？
宰李施乐：[答案] 可以,但似乎太麻烦了.如下证明可否:连结AC、DC,∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACP=90°,∵D是AP中点,∴DA=DC,∴∠DAC=∠DCA,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠DAC+∠OAC=∠DCA+∠OCA,即∠DAO=∠DCO,∵DA是圆O的切线...

苍溪县13967019356： 已知AB是圆O的直径,AP是圆O的切线,A是切点,BP与交于点C.(1)如图1,若AB=2,∠P=30°,求AP、AC、CP - ？
宰李施乐： 解答:解:(1)如图1,连接AC. ∵AB是直径,∴∠ACB=90°. 又∵AB是⊙O的直径,AP是切线,∴∠BAP=90°. ∴∠BAC=∠P=30°(同角的余角相等). 在Rt△PAB中,AB=2,∠P=30°,∴BP=2AB=2*2=4.BC=1 2 AB=1,由勾股定理,得AC=...

苍溪县13967019356： AB是圆O的直径,AP是圆O的切线切点为A,BP与圆O交与点C.若点D为AP中点,求证CD与圆O相切.最好有图, - ？
宰李施乐：[答案] 如图,连接OC、AC.∵AB是⊙O的直径,∴∠BCA=90°,有∠ACP=90°.在Rt△APC中,D为AP的中点,∴ CD=1/2AP=AD∴∠DAC=∠DCA.又∵OC=OA,∴∠OAC=∠OCA.∵∠OAC+∠DAC=∠PAB=90°,∴∠OCA+∠DCA=∠OCD=90°.即OC⊥...

苍溪县13967019356： AB是圆O的直径,AP是圆O的切线切点为A,BP与圆O交与点C. 若点D为AP中点,求证CD与圆O相切. - ？
宰李施乐：[答案] ∵AB⊥PA ∴∠P+∠B=90° ∵DA=DP,AC⊥BP ∴∠P=∠DCP ∵∠DCP+∠DCA=90° ∴∠P+∠DCA=90°=∠P+∠B ∴∠DCA=∠B 从而CD与圆O相切

苍溪县13967019356： 已知AB是圆O的直径AP是圆O的切线 A是切点 BP与圆O交于点C 点D为AP的中点 直线CD是圆O的切线吗 说明理由？
宰李施乐： 解:(1)∵AB是⊙O的直径,AP是切线, ∴∠BAP=90°. 在Rt△PAB中,AB=2,∠P=30°, ∴BP=2AB=2*2=4. 由勾股定理,得. (2)如图,连接OC、AC. ∵AB是⊙O的直径, ∴∠BCA=90°, 又∵∠ACP=90°.在Rt△APC中,D为AP的中点, ∴. ∴∠DAC=∠DCA. 又∵OC=OA, ∴∠OAC=∠OCA. ∵∠OAC+∠DAC=∠PAB=90°, ∴∠OCA+∠DCA=∠OCD=90°.即OC⊥CD. ∴直线CD是⊙O的切线.