如图：已知等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD

等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△AP~

（1）见解析（2）① ② ③直角三角形 见解析 （1）由△ABC、△APD和△APE都是等边三角形可得边角的相等关系，从而用ASA证明。（2）①由△BPM∽△CAP，根据对应边成比例得等式，解方程即可。②应用全等三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理相关知识求得 ，用x的代数式表示S，用二次函数的最值原理求出S的最小值。③由∠BAD=15 0 得到四边形ADPE是菱形，应用相关知识求解。求出DG、GH、HE的表达式，用勾股定理逆定理证明。解：（1）证明：∵△ABC、△APD和△APE都是等边三角形，∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=60 0 ，∠ADM=∠APN=60 0 。∴∠DAM=∠PAN。∴△ADM≌△APN（ASA），∴AM=AN。（2）①易证△BPM∽△CAP，∴ ，∵BN= ，AC=2，CP=2－x，∴ ，即 。解得x= 或x= 。②四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积。∵△ADM≌△APN，∴ 。∴ 。如图，过点P作PS⊥AB于点S，过点D作DT⊥AP于点T，则点T是AP的中点。 在Rt△BPS中，∵∠P=60 0 ，BP=x，∴PS=BPsin60 0 = x，BS=BPcos60 0 = x。∵AB=2，∴AS=AB－BC=2－ x。∴ 。∴ 。∴ 。∴当x=1时，S的最小值为 。③连接PG，设DE交AP于点O。 若∠BAD=15 0 ，∵∠DAP =60 0 ，∴∠PAG =45 0 。∵△APD和△APE都是等边三角形，∴AD=DP=AP=PE=EA。∴四边形ADPE是菱形。∴DO垂直平分AP。∴GP=AG。∴∠APG =∠PAG =45 0 。∴∠PGA =90 0 。设BG=t，在Rt△BPG中，∠B=60 0 ，∴BP=2t，PG= 。∴AG=PG= 。∴ ，解得t= －1。∴BP=2t=2 －2。∴当BP=2 －2时，∠BAD=15 0 。猜想：以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。∵四边形ADPE是菱形，∴AO⊥DE，∠ADO=∠AEH=30 0 。 ∵∠BAD=15 0 ，∴易得∠AGO=45 0 ，∠HAO=15 0 ，∠EAH=45 0 。设AO=a，则AD="AE=2" a，OD= a。∴DG=DO－GO=（ －1）a。又∵∠BAD=15 0 ，∠BAC=60 0 ，∠ADO=30 0 ，∴∠DHA=∠DAH=75 0 。∵DH=AD=2a，∴GH=DH－DG=2a－（ －1）a=（3－ ）a，HE=2DO－DH=2 a－2a=2（ －1）a。∵ ， ，∴<img

（1）证明：∵△ABC、△APD和△APE是等边三角形，
∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=60°，∠ADM=∠APN=60°，
∴∠DAM=∠PAN．
在△ADM和△APN中，
∵∠DAM=∠PAN
AD=AP
∠ADM=∠APN
∴△ADM≌△APN，

∴AM=AN．

（2）①∵△ABC、△ADP是等边三角形，
∴∠B=∠C=∠DAP=∠BAC=60°，
∴∠DAM=∠PAC，
∵∠ADM=∠B，∠DMA=∠BMP，
∴180-∠ADM-∠DMA=180-∠B-∠BMP，
∴∠DAM=∠BPM，
∴∠BPM=∠NAP，
∴△BPM∽△CAP，

∴BM:CP=BP:CA
∵BM=3/8 ,AC=2，CP=2-x，
∴4x2-8x+3=0
∴x1=1/2 x2=3/2

②∵四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积．
∵△ADM≌△APN，
∴S△ADM=S△APN，
∴S四边形AMPN=S△APM+S△APN=S△AMP+S△ADM=S△ADP．
过点P作PS⊥AB，垂足为S，
在Rt△BPS中，∵∠B=60°，BP=x，
PS=BPsin60°=（根号3/2)x BS=BPcos60°=1/2x
∵AB=2，
∴AS=AB-BS=2-1/2x
∴AP^2=AS^2+PS^2=x^2-2x+4．
取AP的中点T，连接DT，在等边三角形ADP中，DT⊥AP，
∴S△ADP=1/2AP,DT=1/2AP=(根号3)/4AP^2
∴S=S四边形AMPN=S△ADP=(根号3)/4AP^2=(根号3）/4（x-1）^2+(3根号3)/4
∴当x=1时，S的最小值是(3根号3)/4

③连接PG，若∠DAB=15°，
∵∠DAP=60°，
∴∠PAG=45°．
∵△APD和△APE是等边三角形，
∴四边形ADPE是菱形，
∴DO垂直平分AP，
∴GP=AG，
∴∠PAG=∠APG=45°，
∴∠PGA=90°．
设BG=t，在Rt△BPG中，∠ABP=60°
∴BP=2t，PG=根号3t
∴AG=PG=根号3t
根号3t+t=2
t=根号3t-1
∴BP=2t=2根号3t-2
∴当BP=2根号3t-2，∠BAD=15°
猜想：以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形为直角三角形．
设DE交AP于点O，
∵△APD和△APE是等边三角形，
∴AD=DP=AP=PE=EA，
∴四边形ADPE为菱形，
∴AO⊥DE，∠ADO=∠AEH=30°．
∵∠DAB=15°，
∴∠GAO=45°，
∴∠AGO=45°，∠HAO=15°，
∴∠EAH=45°．
设AO=a，则AD=AE=2a，GO=AO=a，OD=（根号3）a
∴DG=DO-GO=(根号3-1）a
∵∠DAB=15°，∠BAC=60°，∠ADO=30°，
∴∠DHA=∠DAH=75°．
∴DH=AD=2a，
∴GH=DH-DG=2a-(根号3-1）a=（3-根号3）a
HE=DE-DH=2DO-DH=（2根号3）a-2a
∵DG^2+GH^2= (16-8根号3）a^2

HE^2=(16-8根号3）a^2
∴DG^2+GH^2=HE^2
∴以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形为直角三角形


点赞同啊！打字打得我手都抽了……~~~(*^__^*) ……

解：（1）证明：∵△ABC、△APD和△APE是等边三角形，
∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=60°，∠ADM=∠APN=60°，
∴∠DAM=∠PAN．
在△ADM和△APN中，
∵ ∠DAM＝∠PAN AD＝AP ∠ADM＝∠APN ，

∴△ADM≌△APN，
∴AM=AN．

（2）①∵△ABC、△ADP是等边三角形，
∴∠B=∠C=∠DAP=∠BAC=60°，
∴∠DAM=∠PAC，
∵∠ADM=∠B，∠DMA=∠BMP，
∴180-∠ADM-∠DMA=180-∠B-∠BMP，
∴∠DAM=∠BPM，
∴∠BPM=∠NAP，
∴△BPM∽△CAP，
∴BM CP ＝BP CA ，
∵BM=3 8 ，AC=2，CP=2-x，
∴4x2-8x+3=0，
解得x1=1 2 ，x2=3 2 ．
②∵四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积．
∵△ADM≌△APN，
∴S△ADM=S△APN，
∴S四边形AMPN=S△APM+S△APN=S△AMP+S△ADM=S△ADP．
过点P作PS⊥AB，垂足为S，
在Rt△BPS中，∵∠B=60°，BP=x，
PS=BPsin60°= 3 2 x，BS=BPcos60°=1 2 x，
∵AB=2，
∴AS=AB-BS=2-1 2 x，
∴AP2=AS2+PS2=( 3 2 x)2+(2−1 2 x)2=x2-2x+4．
取AP的中点T，连接DT，在等边三角形ADP中，DT⊥AP，
∴S△ADP=1 2 AP．DT=1 2 AP× 3 2 AP= 3 4 AP2，
∴S=S四边形AMPN=S△ADP= 3 4 AP2= 3 4 (x−1)2+3 3 4 （0＜x＜2），
∴当x=1时，S的最小值是3 3 4 ．
③连接PG，若∠DAB=15°，
∵∠DAP=60°，
∴∠PAG=45°．
∵△APD和△APE是等边三角形，
∴四边形ADPE是菱形，
∴DO垂直平分AP，
∴GP=AG，
∴∠PAG=∠APG=45°，
∴∠PGA=90°．
设BG=t，在Rt△BPG中，∠ABP=60°，
∴BP=2t，PG= 3 t，
∴AG=PG= 3 t，
∴ 3 t+t=2，
解得t= 3 -1，
∴BP=2t=2 3 -2．
∴当BP=2 3 -2时，∠BAD=15°．
猜想：以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形为直角三角形．
设DE交AP于点O，
∵△APD和△APE是等边三角形，
∴AD=DP=AP=PE=EA，
∴四边形ADPE为菱形，
∴AO⊥DE，∠ADO=∠AEH=30°．
∵∠DAB=15°，
∴∠GAO=45°，
∴∠AGO=45°，∠HAO=15°，
∴∠EAH=45°．
设AO=a，则AD=AE=2a，GO=AO=a，OD= 3 a．
∴DG=DO-GO=（ 3 -1）a．
∵∠DAB=15°，∠BAC=60°，∠ADO=30°，
∴∠DHA=∠DAH=75°．
∴DH=AD=2a，
∴GH=DH-DG=2a-（ 3 -1）a=（3- 3 ）a．
HE=DE-DH=2DO-DH=2 3 a-2a．
∵DG2+GH2=[( 3 −1)a]2+[(3− 3 )a]2＝(16−8 3 )a2，
HE2=(2 3 a−2a)2=(16−8 3 )a2．
∴DG2+GH2=HE2，
∴以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形为直角三角形．

希望采纳！！！

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恩施市18832459518： 已知:如图所示,等边三角形ABC的边长为2,点P和Q分别从A和C两点同时出发,做匀速运动,且它们的速度相同 - ？
萧浦明立： 当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.理由如下:作QF⊥AC,交直线AC的延长线于点F,又∵PE⊥AC于E,∴∠CFQ=∠AEP=90°,∵点P、Q做匀速运动且速度相同,∴AP=CQ,∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠ACB=∠FCQ=60°,∴在△APE和△CQF中AP=CQ∠A=∠FCQ∠AEP=∠CFQ=90° ,∴△APE≌△CQF,∴AE=FC,PE=QF且PE ∥ QF,∴四边形PEQF是平行四边形,∴DE=12 EF,∵EC+CF=EC+AE=AC,∴DE=12 AC,又∵等边△ABC的边长为2,∴DE=1,∴当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.

恩施市18832459518： 如图,已知等边三角形ABC边长为2,建立适当的平面直角坐标系,并写出各顶点的坐标. - ？
萧浦明立：[答案] 如图,以BC所在是直线为x轴,以过A垂直于BC的直线为y轴,建立坐标系,O为原点, ∵△ABC是正△ABC, ∴O为BC的中点,而△ABC的边长为2, ∴BO=CO=1, 在Rt△AOB中,AB2=AO2+BO2, ∴AO= 3, ∴B(-1,0),C(1,0),A(0, 3).

恩施市18832459518： 如图,已知等边三角形ABC的边长为2,DE是它的中位线,则下面四个结论: (1)DE=1; (2)AB边上的高为 3; (3)△CDE∽△CAB; (4)△CDE的面积与△CAB... - ？
萧浦明立：[选项] A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

恩施市18832459518： 已知等边三角形ABC的边长为2,将这个三角形放置在如图所示的直角坐标系中,且B,C两点的坐标分别为( - 1,0),(1,0)(1)在图中画出△ABC;(2)求点A的坐... - ？
萧浦明立：[答案] (1)△ABC如图所示: (2)由勾股定理得:OA= 22-12= 3, ∴点A的坐标为(0, 3),或(0,- 3); (3)∵把△ABC向右平移4个单位, ∴△ABC扫过的图形是一个平行四边形, 如图2所示: 平行四边形的一条边为4,这边上的高为 3, ∴△ABC扫过的面...

恩施市18832459518： 已知等边△ABC的边长为2,求等边△ABC的面积 - ？
萧浦明立： 做BC的高AD,由三线合一可知AD也是BC的中线,所以BD=CD=1 在直角三角形ADB中,由勾股定理可得AD=√3,所以面积=1/2 *2*√3=√3

恩施市18832459518： 已知等边三角形ABC的边长为2cm,求△ABC的面积 - ？
萧浦明立：[答案] 已知等边三角形ABC的边长为2cm △ABC的面积=2倍根号3cm^2

恩施市18832459518： 如图,已知等边△ABC的边长为2,顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动.(1)当OA=3时,求点C的坐标.(2)在(1)的条件下,求四边形AOBC的面... - ？
萧浦明立：[答案] (1)∵在Rt△AOB中,AB=2,OA=3,∴OB=1,∴∠1=30°,∵△ABC是等边三角形,∴∠2=60°,∴∠CAO=90°,∴C(3,2); (2)S四边形AOBC=(2+1)*3÷2=332; (3)取AB中点D.则CD=3OD=1(直角三角形斜...

恩施市18832459518： 已知等边三角形ABC的边长为2,那么这个三角形的内切圆的半径为______. - ？
萧浦明立：[答案] 过O点作OD⊥AB, ∵O是等边△ABC的内心, ∴∠OAD=30°, ∵等边三角形ABC的边长为2, ∴OA=OB, ∴AD= 1 2AB=1, ∴OD=AD•tan30°= 3 3. 即这个三角形的内切圆的半径为: 3 3. 故答案为: 3 3.

恩施市18832459518： 已知等边△ABC的边长为2,则其面积为 A. 2 B. C. 2 D. 4 - ？
萧浦明立：[答案] B 分析: 根据等边三角形性质、特殊角的三角函数值、勾股函数求解. 由于等边三角形的三角均为60度,∴S△ABC=*2*2*sin60°=. 点评: 本题利用了等边三角形的性质和三角形的面积公式:S△ABC=absinα.

恩施市18832459518： 已知等边三角形ABC的边长为2,则向量AB乘以向量BC得 - ？
萧浦明立： 你画出图,然后延长AB,可以知道向量AB和向量BC的夹角为120度,不是有个公式是求两向量夹角的余弦值的公式吗,把那公式变形一下,就算得出答案是-2,看在我说出过程的分上,望采纳,已经好几次写了很多没被人采纳了,望采纳啊,谢谢…