关于线性代数里的一条题目，题中BCD三个选项有一个是对的吗？题目是a1,a2,...am均为n维向
1. 矩阵的秩和它的行空间,列空间维数之间的关系.
2. 准确地确定齐次线性方程组解空间维数.
1. 秩的几何意义.
设给了数域F上一个m*n矩阵
A=
矩阵A的每一行可以看成F的一个向量,叫做A的行向量.A的每一列可以看成F的一个向量,叫做A的列向量,令a,...,a是A的列向量,这里
a=(a,a,...,a),I=1,...,m.
由a,a,...,a所生成的F的子空间￡(a,a,..., a)叫做矩阵A的行空间.类似的,由A的n个列向量所生成的F的子空间叫做A的列空间.
当m≠n时,矩阵A的行空间和列空间是不同的向量空间的子空间,
引理6.7.1 设A是一个n*m矩阵
如果B=PA,P是一个N阶可逆矩阵,那么B与A有相同的行空间.
如果C=AQ,Q是一个n阶可逆矩阵,那么C与A有相同的列空间.
证:我们只证明(I),因为(ii)的证明完全类似.
A=(a)mn, P=(p)mm,B=(b)mn.
令{a1,a2…am}是A的行向量,{b1,b2,…,bm}是B的行向量.B的第I行等于P的第I行等于P的第P的第I行右乘以矩阵A:
bi=(bi1,bi2…,bin)=(pi1,pi2,…pim)A=pi1a1+pi2a2,…+pimam,
所以B的每一个行向量都是A的行向量的线性组合,但P可逆,所以A=P-1B.因此A的每一个行向量都是B的行向量的线性组合,这样,向时组{a1,a2,…,am}与{b1,b2,…,bm}等价,所以它们生成Fn的同一子空间.
我们知道,对于任意一个m*n矩阵A,总存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使
(1) PAQ=
这里r等于A的秩,两边各乘以Q得
PA=Q
右端乘积中后m-r行的元素都是零,而前r 行就是Q-1的前r行.由于Q-1可逆,所以它的行向量线性无关因而它的前r行也线性无关.于是PA的行空间的维数等于r.由引理6.7.1,A的行间的维数等于r ,另一方面,将等式(1)左乘以P-1得
AQ= P
由此看出,AQ的列空间的维数等于r,从而A的列空间的维数也等于r,这样就证明了
定理6.7.2 一个矩阵的行空间的维数等于列空间的维数,等于这个矩阵的秩.
由于这一事实,我们也把一个矩阵的秩定义为它的行向量组的极大无关组所含向量的个数;也定义为它的列向量组极大无关组所含向里的个数.
数域F上线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.
线性方程组的解的结构:设
a11x1+a12x2+…a1nxn=0
a21x1+a22x2+…a2nxn=0
(3)
am1x1+am2x2+amnxn=0
是数域 F上一个齐次线性方程组.令A是这个方程组的系数矩阵.那么(3)可以写 成
(3) A=
(3)的每一个解都可以看作Fn的一个向量,叫做方程组(3)的一个解向量.设
=, = .
是(3)的两个解向量,而a,b是F中任意数.那么由(3'),
A(ax+bh)=aA +bA = ,
所以aξ+bη也是(20的一个解向量,另一方面,齐次线性方程组永远有解,数域F上一个n 元齐次线性方程组的所有解向量作成Fn的一个子空间,这个子空间叫作所给的齐次线性方程组的解空间.
现在设(3)的系数矩阵的秩等于r.那么通过行初等变换,必要时交换列,可以将系数矩阵A化为以下形式的一个矩阵;
.
与这个矩阵相当的齐次线性方程组是
y1 +c1,r+1yr+1+…+c1nyn=0,
y2 +c2,r+1yr+1+…+c2nyn=0,
………………………………,
yr+cr,r+1yr+1+…+cr,nyn=0,
这里yk=xik,k=1,…n,就是未知量yr+1,…yn.依次让它们取值(1,0,…,0),(0,1,0,…0),…,(0,…,0,1),我们得到(4)的n-r个解向量
=, =,……., =
这n-r个解向量显然线性无关,另一方面,设(k1,k2,…,kn)是(4)的任意一个解,代入(4)得
k1=-c1,r+1kr+1-…-c1,nkn,
k2=-c2,r+1kr+1-…-c2,nkn,
……………………………
kr=-cr,r+1kr+1-…- cr,nkn,
kr+1=1kr+1,
………………………………
kn= 1kn.
于是
=kr+1,ηr+1+kr+2ηr+2+…+knηn
因此,(4)的每一个解向量都可以由这n-r个解向量ηr+1,ηr+2,…,ηn线性表示,这样一来, {ηr+1,ηr+2,…,ηn}构成(4)的解空间的一个基,重新排列每一解向量ηi中坐标的次序,就得到齐次线性方程组(3)的解空间的一个基,即
定理6.7.3 数域上一个n个未知量的齐次线性方程组的一毁解作成Fn的一个子空间,称为这个齐次线性方程组的解空间,如果所给的方程组的系数矩阵的秩是r,那么解空间的维数n-r.
一个齐次线性方程组的解空间的一个基叫做这个方程组的一个基础解系.
例 1 求齐次线性方程组
x1-x2+5x3-x4=0
x1+x2-2x3+3x4=0
3x1-x2+8x3+x4=0
x1+3x2-9x3+7x4=0
的一个基础解系.
对行施行初等变换化简系数矩阵,得
与这个矩阵相当的齐次方程组是
取作为自由未知量,依次令和得出方程的两个解
它们作成所给的方程组的一个基础解系.方程组的任意一个解都有形式
这里是所数中任意数,方程组的解空间由一切形如的解向量组成.设
(5) A
是数域F上任意一个线性方程组,A是一个m8n矩阵,把(5)的常数都换成零,就得到一个齐次线性方程组
A=
齐次方程组(6)叫做方程组(5)的导出齐次方程组,
定理6.7.4 如果线性方程组(5)有解那么(5)的一个解与导出齐次方程组的一个解的任意解都可以写成(5)的一个固定(6)的一个解的和,
证 设ν=(c1,c2,…cn)是方程组(5)的一个解,δ=(d1,d2,…,dn)是导出齐次方程组(6)的一个解.那么
A=A
所以是(5)的一个解设是(5)的任意一个解.那么
A
因此μ=λ—ν是导出方程组(6)的一个解,而λ=ν+μ.
很明显a是对的
线性代数是什么?
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行列式的形成与应用
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线性代数的一个问题
(1)A的行列式等于它所有特征值的乘积,故|A|=1*2*3=6 A的特征值是1,2,3 ,则A+E的特征值是1+1,2+1,3+1,即 2,3,4,故 |A+E|=2*3*4=24 (2)A的平方的特征值等于A的特征值平方,故A的平方的特征值为1,4,9 如果A的特征值为a,则a^2-a+3必是A^2,A^2-A+3E的特征值,...
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没有具体的定理。在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样...
线性代数 为什么两个特解相减等于基础解系中的一个向量?
Ax1=b Ax2=b A（x1-x2)=0 Ax = 0 基础解系中含线性无关的特征向量的个数是 n(未知数个数) - r(A) (系数矩阵的秩)。自由未知量可以任意取非零值，一般取 单位矩阵的列向量。
线性代数这个Dn和D(n-1)代表什么?
下标表示行列式的行数（=列数），Dn表示题中的行列式，是n阶的，D(n-1)表示与Dn形状相同的行列式，但阶数是n-1。线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数...
线性代数中,A~B里的“~”表示什么
A~B里的“~”表示什么---表示“相似于”
线性代数,为什么知道行列式等于0,就可以得到其有一个特征值为0_百度知 ...
4、A的行列式值等于B的行列式值——|A|=|B|；5、A的秩等于B的秩——r(A)=r(B)。求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：第一步：计算的特征多项式。第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值。第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：的一个基础解系，则的属于特征值...
线性代数题目?
详情如图所示 有任何疑惑，欢迎追问
其策海舒： B是对的.C是错的,把“对任意”改成“存在”就对了.D是错的,它是线性相关的定义,不是线性无关.
邵阳县15214715384： 线性代数 这道题中的abc怎么处理 - ？
其策海舒： 将第4行分别乘-1,-2,-3加到前三行,可得到一个分块下三角行列式,答案就是对角线上两个小行列式的乘积,与a,b,c无关.最终答案是-4.
邵阳县15214715384： 线性代数有关矩阵的一个问题设A是m*n矩阵,R(A)=r,证明存在秩为r的m*n矩阵B与秩为r的r*n矩阵C,使A=BC - ？
其策海舒：[答案] B的阶数是应该是mxr,否则BC不能乘, 这个题是一个构造题, 对于任意的m*n矩阵A都可以化成标准矩阵型 即存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q使得A=PVQ, 其中V=Er 0 0 0 Er是r阶单位矩阵,那么V的秩为r 令B为PV,显然B的阶数为mxr,C为VQ,...
邵阳县15214715384： 线性代数 例2.32 题中并没有告诉A和BC可以交换啊 为什么分析中就直接写A(BC)=(BC)A=E呢?谢谢 - ？
其策海舒： 这来源于一个定理:设A,B是n阶方阵, 则 B是A的逆的充分必要条件是 AB=E.也就是说, 不必判断 AB=BA=E, 只要 AB=E 就必有 BA=E.原因是: 当AB=E时, 两边取行列式得知 |A| 不等于0, 故A可逆.在AB=E两边左乘A^-1得 B=A^-1故有 BA = A^-1A = E.题目中已知 ABC = E. 所以 A(BC)=(BC)A=E.事实上,这种题目, 你只要看选择中 AB, BC 相连的就是对的. (B)中 BCA = E , BC相连!
邵阳县15214715384： 线性代数,选择题1 - ？
其策海舒： 由AB = E,得A=B^(-1), 由BC = 2E,得C=2B^(-1), B^(-1) = C/2.A-C = -B^(-1),(A-C)^2B = B^(-1)B^(-1)B = B^(-1) = C/2选(A).
邵阳县15214715384： 有关线性代数的一道题 - ？
其策海舒： 解: 作辅助行列式D=1 1 1 1a b c da^2 b^2 c^2 d^2a^3 b^3 c^3 d^3一方面, D是范德蒙行列式, D= (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c) .另一方面, 把D按第1行展开: D=A11+A12+A...
邵阳县15214715384： 线性代数一道题 - ？
其策海舒： 答案:A 因为ABC=I,两边取行列式可知A、B、C都可逆 且AB的逆为C,BC的逆为A 所以(A)(C)成立
邵阳县15214715384： 一道线性代数秩的题,请问B选项为什么是对的? - ？
其策海舒： B r(a1,a2~~as,β1,β2~βs-1)=r(β1,β2~~βs-1)=n 由s-1<=n 所以 a1,a2,a3~as必定线性相关
邵阳县15214715384： 问一道线性代数的题目 - ？
其策海舒： 回答: 应该说通解是不唯一的.但在ABCD这4个选项中,只有B正确. 非齐次线性方程组的通解由它的一个特解和对应的齐次线性方程的通解构成.所以求解此题,要找到对应的齐次线性方程的通解. 由秩 r(A) = 3可知对应齐次线性方程有4-3...
邵阳县15214715384： 关于线性代数的题目.题目已经用红笔圈出来了.不知道答案是什么,也不知道怎么选.求大神详解啊 - ？
其策海舒： ABC=E 即 A(BC)=E 故 A 与 BC 互逆 所以 BCA=E, (A) 正确 由于 AX= aX 所以 P^-1AP (P^-1X) = aP^-1X 所以 (D) 正确
