线性代数的一个问题

一个线性代数问题~

按矩阵的乘法，把答案矩阵的元素一个个求出来

如下图：

由已知, 得 A(1,0,-1)^T = -(1,0,-1)^T, A(1,0,1)^T = (1,0,1)^T
故 -1, 1 是A的特征值. a1 = (1,0,-1)^T , a2 = (1,0,1)^T 是分别属于特征值-1和1的特征向量.
由A是3阶矩阵, 且 r(A) = 2, 所以0是A的特征值.
设 a3=(x1,x2,x3)^T 是A的属于特征值0的特征向量.
由A是实对称矩阵, 故a与属于特征值 1和-1的特征向量正交, 即有
x1 - x3 = 0
x1 + x3 = 0
解得方程组的基础解系: a3 = (0,1,0)^T.
则a1,a2,a3两两正交, 只需把它们单位化, a1,a2 需除以它们的长度根号2 得 b1,b2. b3=a3
令P=(b1,b2,b3), 则有 P^(-1) A P = diag{-1,1,0}
所以有 A = P diag{-1,1,0}P^(-1)
具体计算你应该会 我就不做了

(1)A的行列式等于它所有特征值的乘积,故|A|=1*2*3=6
A的特征值是1,2,3 ,则A+E的特征值是1+1,2+1,3+1,即 2,3,4,故
|A+E|=2*3*4=24

(2)A的平方的特征值等于A的特征值平方,故A的平方的特征值为1,4,9
如果A的特征值为a,则a^2-a+3必是A^2,A^2-A+3E的特征值,故A^2-A+3E的特征值为 1^2-1+3,2^2-2+3,3^2-3+3,即3,5,9.

上述用到的结论书上都有,现证明几个:
设a是A的特征值,则存在非零向量x,有Ax=ax,(A+E)x=Ax+Ex=ax+x=(a+1)x
故a+1是A+E的特征值.
设a是A的特征值,则存在非零向量x,有Ax=ax,则A^2x=AAx=A(ax)=aAx=a^2x
故a^2是A^2的特征值.
设a1,a2,...,an是A的所有特征值,则它们均是特征多项式
f(x)=|xE-A|=x^n+...的根,故f(x)=|xE-A|=(x-a1)(x-a2)...(x-an),设x=0代入上式得|-A|=(-a1)(-a2)...(-an),|A|=a1*a2*...*an,A的行列式等于它所有特征值的乘积.

1，特征值之积为矩阵的行列式的值即|A|,所以|A|=1*2*3=6
|A+E|=(1+1)(2+1)(3+1)=24
2, 看了一些网上资料我也不是很确信应为我没证出来，但大家都这么说
A^2的特征值为A的特征值的平方
下面的我不肯定了，等我找到证明方法再告诉你
楼上说对，谢谢楼上

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