ln(1+x)-x的等价无穷小
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲(2023年9月修订)
一、考试性质
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性
考试.高等院校根据考生的成绩,按照已确定的招生计划,择优录取.因此,考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度.
二、考试内容与基本要求
(一)能力要求
高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查.
思维能力表现为对问题进行分析、综合,科学推理,并能准确地表述.数学思维能力表
现为以数学知识为素材,通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方
面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断.
运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理,能根据问题的条件,
寻找与设计合理、简洁的运算途径.运算包括对数字的计算,对式子的组合变形与分解变形,
对几何图形各几何量的计算求解等.
实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生
产、生活和相关学科中的简单数学问题.
(二)内容与要求
《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力,
在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校(工科专业)专科生高等数学的基本要求,为
进一步学习奠定基础.
对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次,且高一
级的层次要求包含低一级的层次要求.
了解(A):对所列知识内容有初步的认识,会在有关问题中进行识别和直接应用.
理解(B):对所列知识内容有理性的认识,能够解释、举例或变形、推断,并利用所列
知识解决简单问题.
掌握(C):对所列知识内容有较深刻的理性认识,形成技能,并能利用所列知识解决有
关问题.
灵活和综合运用(D):系统地把握知识的内在联系,并能运用相关知识分析、解决较复
杂的或综合性的问题.
具体内容与要求详见表1—表7.
1
考试内容
考试要求
A
B
C
D
函
数
函数概念的两个要素(定义域和对应规则)
√
分段函数
√
函数的奇偶性,单调性,周期性和有界性
√
反函数,复合函数
√
基本初等函数的性质和图像,初等函数
√
极
限
极限(含左、右极限)的定义
√
极限存在的充要条件
√
极限四则运算法则
√
两个重要极限
√
无穷大、无穷小的概念及相互关系,无穷小的性质
√
无穷小量的比较
√
用等价无穷小求极限
√
连
续
性
函数在一点处连续、间断的概念
√
间断点的类型:包括第一类间断点(可去间断点,跳跃间断点)及第二
类间断点
√
初等函数的连续性
√
闭区间上连续函数的性质(介值定理,零点定理和最大值、最小值定理)
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
导数的概念及其几何意义
√
可导性与连续性的关系
√
函数,极限,连续性
表1
一元函数微分学
表2
2
导数
与
微分
平面曲线的切线方程与法线方程
√
导数的基本公式,四则运算法则和复合函数的求导方法
√
微分的概念,微分的四则运算,可微与可导的关系
√
高阶导数的概念
√
显函数一、二阶导数及一阶微分的求法
√
隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法
√
由参数方程所确定的函数的二阶导数
√
中值
定理
与
导数
应用
罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论
√
罗必达法则
√
未定型的极限
√
函数的单调性及判定
√
函数的极值及求法
√
函数曲线的凹凸性及判定,拐点的求法
√
函数的最大值、最小值
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
不
定
积
分
原函数的概念、原函数存在定理
√
不定积分的概念及性质
√
不定积分的第一、二类换元法,分部积分法
√
简单有理函数的积分
√
定
积
分
定积分的概念及其几何意义
√
定积分的基本性质
√
变上限函数及导数
√
一元函数积分学
表3
考试内容
考试要求
A
B
C
D
多元
函数
的极
限与
连续
多元函数的概念,二元函数的定义域
√
二元函数的极限与连续性
√
偏导
数与
全微
分
偏导数的概念
√
二元函数一、二阶偏导数的求法
√
求复合函数与隐函数的一阶偏导数(仅限一个方程确定的隐函数)
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
向量
代数
空间直角坐标系,向量的概念,向量的坐标表示法
√
单位向量及方向余弦
√
向量的线性运算,数量积和向量积运算
√
向量平行、垂直的充要条件
√
空间
解析
几何
平面的方程及其求法
√
空间直线的方程及其求法
√
平面、直线的位置关系(平行、垂直)
√
牛顿—莱布尼兹公式,定积分的换元法和分部积分法
√
定积
分的
应用
平面图形的面积
√
旋转体的体积
√
向量代数与空间解析几何
表4
多元函数微分学
表5
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念
√
一阶
方程
一阶可分离变量方程
√
一阶线性方程
√
二阶
方程
二阶常系数线性齐次微分方程
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
与
计算
二重积分的概念及性质、几何意义
√
直角坐标系下计算二重积分
√
交换积分次序
√
极坐标系下计算二重积分
√
偏导
数的
应用
二元函数的全微分
√
二元函数的无条件极值
√
空间曲面的切平面方程和法线方程
√
二重积分
表6
常微分方程
表7
考试为闭卷、笔试,试卷满分为150分,考试限定用时为120分钟.
全卷包括I卷和II卷,I卷为选择题,II卷为非选择题.试题分选择题、填空题和解答
题三种题型.选择题是四选一类型的单项选择题;填空题只要求直接填写结果,不要求写出
计算过程或推证过程;解答题包括计算题、证明题和应用题等,解答题应写出文字说明、演
算步骤或证明过程.三种题型(选择题、填空题和解答题)题目数分别为6、6、5,整卷共
17道题;选择题和填空题约占总分的48%左右,解答题约占总分的52%左右,试卷包括容
5
易题、中等难度题和较难题,总体难度适当,以中等难度题为主.
四、题型示例
为了便于理解考试内容和要求,特编制下列题型示例,以供参考.所列样题力求体现试
题的各种题型及其难度,它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.
(一)选择题
1.函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为
A.[1,2]
B.(1,2]
C.(2,1)
D.[2,1)
答案:B
2.当x0时,与x等价的无穷小量是
A.tanx
B.2sinx
C.e2x1
D.ln(1x)
答案:A
dx0
costdt
3.
A.sinx2
答案:C
(二)填空题
x29
1.极限lim
x3x22x3
3
答案:
2
B.2xsinx2
_____________.
C.cosx2
D.2xcosx2
2.函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.
答案:3
3.函数zln(3xy)的全微分dz_____________.
答案:
3d xdy
3xy
(三)解答题
1.求二元函数f(x,y)x3y33xy5所有的极值点和极值
答案:
fx3x23y0,
解:由方程组2得驻点(0,0),(1,1).
fy3y3x0
又Afxx6x,Bfxyfyx3,Cfyy6y.
对于驻点(0,0):A0,B3,C0,由B2AC90知(0,0)不是极值点.
6
对于驻点(1,1):A6,B3,C6,由B2AC270且A0知(1,1)是极小
值点,极小值f(1,1)4.
因此,函数f(x,y)有极小值点(1,1),极小值为4.
x2t1,
x3 y1 z1
2.求通过直线l1:y3t2,和直线l2:的平面的方程.
z2t3232
答案:
解:由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2,3,2),取直线l1上一点P1(-1,2,-3),取
直线l2上一点P2(3,-1,1),
则平面的法向量
ijk
n=s1´P1P2=232=18(1,0,-1),
4-34
故平面的方程为(x1)(z3)0,整理得xz20.
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f(x)=(x^n-1+1)\/(1-x)=-[1+x+x^2+.+x^(n-1)]+1\/(1-x)n阶导数,前面这项为0 看后面 f^n(x)=(1-x)^(-n-1)
fx=ln(1-x)\/(x-1)+求f(0)的n阶导数
(x-1)f(x)=ln(1-x)……① 令y=ln(1-x)y'=-1\/(1-x)=1\/(x-1)y''=-1\/(x-1)^2 y'''=(-1)*(-2)*1\/(x-1)^3 y^(n)=(-1)^(n-1)*(n-1)!\/(x-1)^n 根据莱布尼兹公式,对①式两边求n阶导 C(n,0)*(x-1)*f^n(x)+C(n,1)*f^(n-1)(x)=(-1)^...
求一个极限:n*(x的n次方根-1),其中n趋于无穷大.
n*(x^(1\/n)-1)= (x^(1\/n)-1)\/(1\/n)x>0且x≠1,x^(1\/n)=e^((1\/n)*lnx)),(1\/n)*lnx)是无穷小量,由无穷小的等价代换x^(1\/n)-1=e^((1\/n)*lnx))-1 (1\/n)*lnx),则极限等于lnx;x=1,极限为零;x=
设X-N(1,4),则数学期望E(x)=?,方差D(x)=?
这个应该是二项分布:记作ξ~B(n,p),期望:Eξ=np ,方差:Dξ=npq
怎样利用逐项求导或逐项积分求级数的和函数 ∑(0~无穷)n*x^(n-1)
S(x)=∑(0~无穷)n*x^(n-1)∫ S(x) dx= ∫ ∑(0~无穷)n*x^(n-1) dx =∑(0~无穷) ∫ n*x^(n-1) dx =∑(0~无穷) x^n 等比求和 =1\/(1-x)S(x)=(1\/(1-x))'=1\/(1-x)^2
数列(An)为n乘以x的n-1次方,求前N项和
相减 (x-1)*Sn=1*x^1+1*x^2+1*x^3+……+1*x^(n-1)+n*x^n-1*x^0 =x*[x^(n-1)-1]\/(x-1)+n*x^n-1*x^0 =(x^n-x)\/(x-1)+n*x^n-1 所以Sn=(x^n-x)\/(x-1)^2+n*x^n\/(x-1)-1\/(x-1)若x=1,则Sn=1+2+3+……+n=n(n+1)\/2 ...
求幂级数∑(∞,n=1)n(1-x)^(n-1)的和函数
简单计算一下即可,答案如图所示
用数学归纳法证明(1-x)(1+x+x^2+...+x^n-1)=1-x^n
当n=k+1时 (1-x)(1+x+x^2+……+x^k)=(1-x)(1+x+……+x^(k-1))+(1-x)x^k =1-x^k+x^k-x^(k+1)=1-x^(k+1)所以得证
幂级数Σ(-1)^(n-1)x^n=x\/1+x怎么由Σx^n=1\/1-x得来
把(-x)看成x就可以得出来了,需要先提出公因子.经济数学团队帮你解答,请及时评价.
x是0与1之间的数,函数x的N次方乘以(1-x)的极值怎么求,N为自然数。
求导。。。可得x^(n-1) *{n -(n+1)x} 令其大于等于0。可得x小于等于 n\/n+1 则,当x等于n\/n+1时取到极值
荣县乐舒回答: 把ln(1+x)用麦克劳林公式展开: ln(1+x)=x-(x^2)/2+(x^3)/3-…… 所以ln(1+x)-x=-(x^2)/2+(x^3)/3-…旦世搜…模历 所以它的等价无返碧穷小=-(x^2)/2
佐庾19817728667问: ln(1 - x)的等价无穷小 - ?
荣县乐舒回答: 综述:x→0,ln(1+x)~x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~(e^x)-1;故ln(1-x)~(-x)~sin(-x)~tan(-x)~arcsin(-x)~arctan(-x)~(e^(-x))-1. 等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法,它可以使求极限问题化繁为简,化难为易. 各种极限问题才有了切实可行...
佐庾19817728667问: x -ln(1+ x)等于什么无穷小? - ?
荣县乐舒回答: 当x趋于0时ln(1+x)也搭笑趋于0,知态含所以x和ln(1+x)都是无穷小,无穷小闭闭的加减乘都是无穷小,这时无穷小基本特性
佐庾19817728667问: 请问ln(1+x)的等价无穷小是x,x趋近于0.那ln(1 - x)是趋近于 - x么?谢谢 - ?
荣县乐舒回答: ∵x→0时,ln(1+x)=x-x²/2+x³/3+…+[(-1)^(n-1)]x^n+O(x^n).∴“x、x-x²/2、x-x²/2+x³/3、…,”都是ln(1+x)的等价无穷小量【不能“肯定”地说,ln(1+x)的等价无穷小量只有;需要注意的是,取前n项/n=1,或n=2,或其它,要结合具体“问题”而定】. 同理,“-x、-x-x²/2、-x-x²/2-x³/3、…,”都是ln(1-x)的等价无穷小量.“x、x+x²/2、x+x²/2+x³/(3!)、…,”都是(e^x-1)的等价无穷小量. 供参考.
佐庾19817728667问: ln(1 - x)的等价无穷小是多少 - ?
荣县乐舒回答: - 因为ln(1+x)的等价无穷小是x; sinx;tanx;e^x-1; 又ln(1-x)=ln[1+(-x)]. 扩展资料 无穷小性质: 1、无穷小量不是一个数,它是一个变量. 2、零可以作为无穷小量的唯一一个常量. 3、无穷小量与自变量的趋势相关. 4、有限个无穷小量之和仍是无穷小量. 5、有限个无穷小量之积仍是无穷小量.
佐庾19817728667问: 证明当x→0时无穷小量ln√(1+x/1 - x)与x是等价无穷小 - ?
荣县乐舒回答:[答案] lim(x→0) [ln√(1+x/1-x)] / x =lim(x→0) (1/2x)*ln[(1+x)/(1-x)] =1/2 lim(x→0) [ln(1+x)-ln(1-x)] / x (因为x→0时,ln(1+x)→0、ln(1-x)→0 、 x→0,上下同时求导) =1/2 lim(x→0) [ln(1+x)]'/x' -1/2 lim(x→0) [ln(1-x)]'/x' =1/2 lim(x→0) 1/(1+x) -1/2 lim(x→0) [-1/...
佐庾19817728667问: 一些常用的等价无穷小:x~sinx~ln(1+x)我这样写ln(? ?
荣县乐舒回答: 有点问题!! 因为 x趋于零的时候,有 x~ln(1+x) ln(1+x)~x ln(1-x)~-x 可见应该是ln(1-x)~-ln(1+x) 这样才是等价无穷小!
佐庾19817728667问: x趋于0时 ln(1 - x)的极限是什么 - ?
荣县乐舒回答: 当x无限趋于0时,1-x无限趋近于1,而ln(1-x)无限趋近于ln1=0,所以ln(1-x)的极限是的极限是0
佐庾19817728667问: 怎么证明ln(1+x)与x为等价无穷小量? - ?
荣县乐舒回答: ∵lim(x-->0)[ln(1+x)]/x =lim(x-->0)1/(1+x) 【罗比达法则】 =1 ∴x-->0时, ln(1+x)与为等价x无穷小量.