线性代数计算特征多项式时有什么技巧

线性代数的特征多项式是什么~

就是方程组无解的意思,特征多项式指的是矩阵的特征多项式吧 对于矩阵A.A的特征多项式是|A-λE|,E是单位矩阵,||是求行列式的值

给你答案其实是在害你，给你知识点，如果还不会再来问我
　线性代数的学习切入点：线性方程组。换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。
　　线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。
　　关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：
　　（1）、方程组是否有解，即解的存在性问题；
　　（2）、方程组如何求解，有多少个解；
　　（3）、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。
　　高斯消元法，最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：
　　（1）、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去；
　　（2）、交换某两个方程的位置；
　　（3）、用某个常数k乘以某个方程。我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。
　　任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。
　　由具体例子可看出，化为阶梯形方程组后，就可以依次解出每个未知数的值，从而求得方程组的解。
　　对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置，所以可以把方程组的所有系数及常数项按原来的位置提取出来，形成一张表，通过研究这张表，就可以判断解的情况。我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的表称为矩阵。
　　可以用矩阵的形式来表示一个线性方程组，这至少在书写和表达上都更加简洁。
　　系数矩阵和增广矩阵。
　　高斯消元法中对线性方程组的初等变换，就对应的是矩阵的初等行变换。阶梯形方程组，对应的是阶梯形矩阵。换言之，任意的线性方程组，都可以通过对其增广矩阵做初等行变换化为阶梯形矩阵，求得解。
　　阶梯形矩阵的特点：左下方的元素全为零，每一行的第一个不为零的元素称为该行的主元。
　　对不同的线性方程组的具体求解结果进行归纳总结（有唯一解、无解、有无穷多解），再经过严格证明，可得到关于线性方程组解的判别定理：首先是通过初等变换将方程组化为阶梯形，若得到的阶梯形方程组中出现0=d这一项，则方程组无解，若未出现0=d一项，则方程组有解；在方程组有解的情况下，若阶梯形的非零行数目r等于未知量数目n，方程组有唯一解，若r在利用初等变换得到阶梯型后，还可进一步得到最简形，使用最简形，最简形的特点是主元上方的元素也全为零，这对于求解未知量的值更加方便，但代价是之前需要经过更多的初等变换。在求解过程中，选择阶梯形还是最简形，取决于个人习惯。
　　常数项全为零的线性方程称为齐次方程组，齐次方程组必有零解。
　　齐次方程组的方程组个数若小于未知量个数，则方程组一定有非零解。
　　利用高斯消元法和解的判别定理，以及能够回答前述的基本问题（1）解的存在性问题和（2）如何求解的问题，这是以线性方程组为出发点建立起来的最基本理论。
　　对于n个方程n个未知数的特殊情形，我们发现可以利用系数的某种组合来表示其解，这种按特定规则表示的系数组合称为一个线性方程组（或矩阵）的行列式。行列式的特点：有n！项，每项的符号由角标排列的逆序数决定，是一个数。
　　通过对行列式进行研究，得到了行列式具有的一些性质（如交换某两行其值反号、有两行对应成比例其值为零、可按行展开等等），这些性质都有助于我们更方便的计算行列式。
　　用系数行列式可以判断n个方程的n元线性方程组的解的情况，这就是克莱姆法则。
　　总而言之，可把行列式看作是为了研究方程数目与未知量数目相等的特殊情形时引出的一部分内容

技巧：尽量利用行列式的性质，使某行出现λ的一次因式的公因子。

线性代数重要定理：

1、每一个线性空间都有一个基。

2、对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。

3、矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。

4、矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

5、矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

扩展资料：

1、线性为量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数。

2、非线性则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。

3、线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。

参考资料来源：百度百科-线性代数

参考资料来源：百度百科-多项式

由于多项式的因式分解比较困难, 所以在求矩阵的特征值时
[关键] 尽量利用行列式的性质,使某行出现λ的一次因式的公因子
当然也有不好凑的例子, 但大多数考题都不会太困难
例: A =
4 -2 2
2 -1 1
-2 1 -1

解: |A-λE| =
4-λ -2 2
2 -1-λ 1
-2 1 -1-λ

r3+r2
4-λ -2 2
2 -1-λ 1
0 -λ -λ (在将第3行某个元素化为0的同时, 另两个元素成比例)

c2-c3
4-λ -4 2
2 -2-λ 1
0 0 -λ (这样就可以按第3行展开了)

= -λ[(4-λ)(-2-λ)+8]
= -λ(λ^2-2λ) (这里一般要用十字相乘法进行分解)
= -λ^2(λ-2).

所以A的特征值为 2,0,0

将矩阵化成相似的海森堡阵，再递推出特征多项式

多画图，多做题，同时基本性质也要掌握

λE-A的行列式

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南澳县17882137759： 计算特征多项式有什么技巧(如何计算特征多项式) ？
卜肺麝香： 技巧:尽量利用行列式的性质,使某行出现λ的一次因式的公因子.线性代数重要定理:1、每一个线性空间都有一个基.2、对一个n行n列的非零矩阵A,如果存在一个矩阵B使AB=BA=E(E是单位矩阵),则A为非奇异矩阵(或称可逆矩阵),B为A的逆阵.3、矩阵非奇异(可逆)当且仅当它的行列式不为零.4、矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构.5、矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零.

南澳县17882137759： 考研线性代数有道题特征多项式不会求 - ？
卜肺麝香： 我化简下来的特征多项式是λ^3+3λ^2+3λ+1=0,这刚好就是(x+1)^3=0,所以原来的矩阵只有一个特征值-1.有时候计算特征多项式的时候不一定能先提出一个λ-x的项,所以只有对行列式化简或者硬算(一般阶数都不会很高,也不难算)化为高次方程.希望对你有所帮助! 满意请别忘了采纳哦!

南澳县17882137759： 怎么快速由特征多项式求出特征值 - ？
卜肺麝香： 不就是求行列式吗 有好多简化方法在线性代数上 最基本方法按行或列展开 例如本题 (x-4)[(x-3)^2-1]=0 (x-4)(x^2-6x+8)=0 x=4 4 2

南澳县17882137759： 求一个特征多项式的方法都有哪些?都会遇到哪些问题?如何处理? - ？
卜肺麝香： 建议: 参数:number1、number2...是需要计算平均值的 1~30个参数.

南澳县17882137759： 线性代数中特征值的计算有哪些技巧,? - ？
卜肺麝香： 计算特征值是一个很机械的工作.你多弄两个矩阵自己练练就行了.老师的题目肯定不会是那种纯粹变态计算的那种,一般对角化,或者展开也行.基本上这种东西就是硬算..如果以后做课题中遇到高阶行列式都是用计算机算的.

南澳县17882137759： 线性代数中的特征值有没有简单的求解方法? - ？
卜肺麝香： 一般就2种吧.1具体数字矩阵直接丨入E-A丨=0求入 2抽象的矩阵只能定义和性质求解了:常用的是Aa=入a 和入1+入2+入3+……=a11+a22+a33+…… 入1+入2+入3+…+入n=丨A丨

南澳县17882137759： 线性代数有什么学习技巧么? - ？
卜肺麝香： 我个人让为,先做计算题,填空题,然后证明题,选择题等(一定要坚持先易后难的原则,一定要.旁边有某些同志说:“这些都是屁话,我们都知的快快转入正题吧!”)把选择题第8题拉出来让大家看看n(n>1)阶实对矩阵A是正定矩阵的充份...

南澳县17882137759： 特征多项式有没有比较简单的算法 - ？
卜肺麝香： r3+r2,提取,之后再用行列式性质,把第3行某个位置变成0,再按行展开.

南澳县17882137759： 问线代题 比如矩阵 (2 2 - 2 2 5 - 4 - 2 - 4 5) 这种实对称矩阵怎么化简求特征多项式的特征值 有什么方法么要简便的,通用的,有什么公式最好,普通算我会... - ？
卜肺麝香：[答案] 哦,一般就是算|λI-A|=0时,解出λ特征值; 求特征多项式只需写出主对角线对应二次,主对角线上方系数乘二在对应写出,你这题应是2x²+5y²+5z²+4xy-4xz-8yz; ＂特征多项式的特征值＂不知指什么.

南澳县17882137759： 如何求矩阵的特征值和特征向量? - ？
卜肺麝香： 1、设x是矩阵A的特征向量,先计算Ax;2、发现得出的向量是x的某个倍数;3、计算出倍数,这个倍数就是要求的特征高核值.求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下:第一步:计算的特征多项式;第二步:求出特征方戚中掘程的全部根,...