线性代数 求特征根
设A是n阶矩阵，如果存在一个数λ及非零的n维列向量α，使得Aα=λαAα=λα成立，则称λ是矩阵A的一个特征值，称非零向量α是矩阵A属于特征值λ的一个特征向量。
观察这个定义可以发现，特征值是一个数，特征向量是一个列向量，一个矩阵乘以一个向量就等于一个数乘以一个向量。
广义特征值
如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：Aν=λBν
其中A和B为矩阵。其广义特征值（第二种意义）λ 可以通过求解方程(A-λB)ν=0，得到det(A-λB)=0（其中det即行列式）构成形如A-λB的矩阵的集合。其中特征值中存在的复数项，称为一个“丛(pencil)”。
特征值 λ = -2， 3， 3，特征向量： (1 0 -1)^T、(3 0 2)^T。
解：
|λE-A| =
|λ-1 -1 -3|| 0 λ-3 0||-2 -2 λ|
|λE-A| = (λ-3)*
|λ-1 -3||-2 λ|
|λE-A| = (λ-3)(λ^2-λ-6) = (λ+2)(λ-3)^2
特征值 λ = -2， 3， 3
对于 λ = -2， λE-A =
[-3 -1 -3][ 0 -5 0][-2 -2 -2]
行初等变换为
[ 1 1 1][ 0 1 0][ 0 2 0]
行初等变换为
[ 1 0 1][ 0 1 0][ 0 0 0]
得特征向量 (1 0 -1)^T。
对于重特征值 λ = 3， λE-A =
[ 2 -1 -3][ 0 0 0][-2 -2 3]
行初等变换为
[ 2 -1 -3][ 0 -3 0][ 0 0 0]
行初等变换为
[ 2 0 -3][ 0 1 0][ 0 0 0]
得特征向量 (3 0 2)^T。
答：特征值 λ = -2， 3， 3，特征向量： (1 0 -1)^T、(3 0 2)^T。
扩展资料
特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用
设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。
非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。
矩阵的特征向量是矩阵理论上的重要概念之一，它有着广泛的应用。数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。
我们可以这样设k为特征根，令α为他的一个特征向量
则Aα=kα，然后我们再用一次变换，A（Aα）=Akα=kAα=k方α，且这个式子最左边为0，阿尔法是一个非零向量（定义），由此知道k方=0
K为0
希望对你有点帮助
A*A可以看成A和两个列向量相乘，A非0，所以至少有一个列向量不是0向量，由此可知方程A*x=0有非0解，那么A的行列式值为0，而A的三个特征值相乘等于A的行列式值，所以必有一个特征值为0，剩下的两个是不可求的
根据齐次线性方程组解得特点：
对于AX=0，
r(X)=n-r(A) 其中n为未知数个数。
对于此题
显然，
A^2=A*A=0
所以
r(A)≤3-r(A)
则r(A)≤3/2
而A不等于O
则r(A)=1
则A有两个特征根为0，
很明显则可以化为
a11 a12 a13
0 0 0
0 0 0
则另一个特征根为a11
圭念好及： 解 特征方程式 det(A-xE)=0
高港区19432215716： 线性代数 求矩阵特征值和特征向量时的多重特征根在自由变量取值问题求解时先求特征多项式│λE - A│=0,当得出的特征值为多重根时,在对应齐次线性方... - ？
圭念好及：[答案] 1.这与矩阵能否对角化有关 A可对角化的充分必要条件是对k重根,相应的齐次线性方程组的基础解系含k个向量. 二重根只取一次时,矩阵不能对角化. 至于判断是否化到了最简阶梯阵,你看看教材中的定义,一两句说不清楚
高港区19432215716： 特征值方程有什么简便求法吗 - ？
圭念好及： 线性代数中的特征值有抄没有简单的求解方法? 一般就2种吧.1具体数字矩阵直接丨袭入E-A丨=0求入 2抽象的矩知阵只能定义和性质求解了:常用的是Aa=入a 和入1+入2+入3+……=a11+a22+a33+…… 入1+入2+入3+…+入n=丨道A丨
高港区19432215716： 线性代数特征值的一元三次方程解法RT 1需要求出形如AX3 - BX2 - CX - D 这样的形式的因式分解求根希望有学过 线性代数第五章 矩阵的特征值与特征向量的朋... - ？
圭念好及：[答案] 一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的,用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型.ax^3+bx^2+cx+d=0 为了方便,约去a得到 x^...
高港区19432215716： 线代题,求特征值 - ？
圭念好及： 如果你的矩阵没有给错的话,这个方程没有有理数解,只能求估计值,特征根就是这个方程的根. 以上,请采纳.
高港区19432215716： 线性代数.设A的每行元素的和均为3,求A的一个特征根以及一个属于此特征根的特征向量 - ？
圭念好及： 属于特征值3的特征向量为[1 1 1]T
高港区19432215716： 如何求矩阵的特征值和特征向量? - ？
圭念好及： 1、设x是矩阵A的特征向量,先计算Ax;2、发现得出的向量是x的某个倍数;3、计算出倍数,这个倍数就是要求的特征高核值.求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下:第一步:计算的特征多项式;第二步:求出特征方戚中掘程的全部根,...
高港区19432215716： 线性代数中的特征值是什么,怎么求特征值？
圭念好及： 矩阵的特征值就是特征多项式的根.怎么求特征多项式呢?直接按特征多项式的定义求行列式.
高港区19432215716： 什么是特征根 - ？
圭念好及： 对于方阵A,如果存在非零向量x和常数c使得A*x=c*x,那么c叫做A的特征值(特征根).多项式|c*I-A|(||表示行列式)的所有根恰好是A的所有特征值.to 楼上:特征根就是特征值,指的是特征方程的根,在线性代数以外的有些领域确有这样的叫法.
高港区19432215716： 线性代数问题 单特征根的特征向量个数一定为一吗 - ？
圭念好及：[答案] 不一定. 单特征根的情况下,可能对应几个线性无关的特征向量. 举个例子吧,假设有如下一个矩阵A: a 0 0 0 0 a 0 0 0 0 a 0 0 0 0 a (a≠0),只有一个特征根a,但是因为它可以相似对角化,所以根据:n阶矩阵可以相似对角化的充分必要条件是有n个线...
