线性代数 求特征值
特征值 λ = -2， 3， 3，特征向量： (1 0 -1)^T、(3 0 2)^T。
解：
|λE-A| =
|λ-1 -1 -3|| 0 λ-3 0||-2 -2 λ|
|λE-A| = (λ-3)*
|λ-1 -3||-2 λ|
|λE-A| = (λ-3)(λ^2-λ-6) = (λ+2)(λ-3)^2
特征值 λ = -2， 3， 3
对于 λ = -2， λE-A =
[-3 -1 -3][ 0 -5 0][-2 -2 -2]
行初等变换为
[ 1 1 1][ 0 1 0][ 0 2 0]
行初等变换为
[ 1 0 1][ 0 1 0][ 0 0 0]
得特征向量 (1 0 -1)^T。
对于重特征值 λ = 3， λE-A =
[ 2 -1 -3][ 0 0 0][-2 -2 3]
行初等变换为
[ 2 -1 -3][ 0 -3 0][ 0 0 0]
行初等变换为
[ 2 0 -3][ 0 1 0][ 0 0 0]
得特征向量 (3 0 2)^T。
答：特征值 λ = -2， 3， 3，特征向量： (1 0 -1)^T、(3 0 2)^T。
扩展资料
特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用
设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。
非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。
矩阵的特征向量是矩阵理论上的重要概念之一，它有着广泛的应用。数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。
设A是n阶矩阵，如果存在一个数λ及非零的n维列向量α，使得Aα=λαAα=λα成立，则称λ是矩阵A的一个特征值，称非零向量α是矩阵A属于特征值λ的一个特征向量。
观察这个定义可以发现，特征值是一个数，特征向量是一个列向量，一个矩阵乘以一个向量就等于一个数乘以一个向量。
广义特征值
如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：Aν=λBν
其中A和B为矩阵。其广义特征值（第二种意义）λ 可以通过求解方程(A-λB)ν=0，得到det(A-λB)=0（其中det即行列式）构成形如A-λB的矩阵的集合。其中特征值中存在的复数项，称为一个“丛(pencil)”。
λ-2 2 0
2 λ-1 2
0 2 λ
行列式值为0的解。
得特征值为 -2,1,4。
对λ^3-3λ^2-6λ+8进行因式分解。
一般求特征值时的因式分解步骤都不难， 上式容易看出1是它的一个零点，提取出λ-1，得到
λ^3-3λ^2-6λ+8=(λ-1)(λ^2-2λ-8)
x-2 2 0
2 x-1 2
0 2 x
求此行列式的根即可
养便淑捷： 1.求特征值代入后, |λE-A|=0.|λE-A|= λ+1 -4 2 3 λ-4 0 3 -1 λ-3第三行乘以(-1)加到第二行得 λ+1 -4 2 0 λ-3 3-λ 3 -1 λ-3第二列加到第三列得 λ+1 -4 -2 0 λ-3 0 3 -1 λ-4行列式以第二行展开! =(λ-3)[(λ+1)(λ-4)-3*(-2)] =(λ-3)[(λ^2-3λ+2)]...
玉州区15393202181： 线性代数求特征值 - ？
养便淑捷： 有些行列式难求,那么直接求三次方程也是个快速的办法.因为特征值一般比较简单,所以三次方程也可以快速写成因式相乘的形式的.这题求得的三次方程式入^3+6入^2+11入+6=0.通过特殊值,可以轻易知道入=-1时方程成立.那么三次方程肯定能抽出(入+1) 可以变为入(入^2+6入+5)+6(入+1)=0 (入+1)(入^2+5入+6)=0 (入+1)(入+2)(入+3)=0 可以看出来,这种方法并不比化简行列式慢.
玉州区15393202181： 线性代数特征值? - ？
养便淑捷： 对于n阶矩阵A,如果存在λ和非零n阶向量x,使得:Ax=λx,那么λ就是特征值,x是对应于λ的特征向量.求λI-A的行列式为0的解即是λ的取值,其中I为n阶单位矩阵.λI-A的行列式即为特征函数.
玉州区15393202181： 线性代数,像这种带参数的矩阵,特征值该怎么求? - ？
养便淑捷： |λE-A| = |λ-1 1 a| |-2 λ-a 2| |a 1 λ-1| |λE-A| = |λ-1 1 a| |-2 λ-a 2| |a+1-λ 0 λ-a-1| |λE-A| = |λ+a-1 1 a| |0 λ-a 2| |0 0 λ-a-1| |λE-A| =(λ+a-1)(λ-a)(λ-a-1) 得特征值 λ = -a+1, a, a+1 对于 λ = -a+1, λE-A = [-a 1 a] [-2 -2a+1 2] [a 1 -a] 初等变换为 [-2 -2a+1...
玉州区15393202181： 线代题,求特征值 - ？
养便淑捷： 如果你的矩阵没有给错的话,这个方程没有有理数解,只能求估计值,特征根就是这个方程的根. 以上,请采纳.
玉州区15393202181： 线性代数特征值求解答 - ？
养便淑捷： 因为A=α*β^T 所以 A*A=α*β^T*α*β^T=α*(β^T*α)*β^T 根据题意(α,β)=3,即β^T*α=3 所以 A*A=α*3*β^T=3*α*β^T=3*(α*β^T)=3*A 故 A²=3A
玉州区15393202181： 【线性代数】求特征值和特征向量 - ？
养便淑捷： |λI-A|= λ-5 2 -2 λ-1 = (λ-3)(λ-3)= 0 解得λ = 3(两重)将特征值3代入特征方程(λI-A)x=0-2 2 -2 2 第2行, 减去第1行*1 -2 2 0 0 第1行, 提取公因子-2 1 -1 0 0 增行增列,求基础解系 1 -1 0 0 1 1 第1行, 加上第2行*1 1 0 1 0 1 1得到属于特征值3的特征向量 (1,1)T
玉州区15393202181： 线性代数求特征值这一步怎么来的? - ？
养便淑捷： 这个是通过初等列变换,将每一列加到第一列上,得到后面的式子~*^_^*.
玉州区15393202181： 特征向量怎么求 - ？
养便淑捷：[答案] 1.先求出矩阵的特征值:|A-λE|=0 2.对每个特征值λ求出(A-λE)X=0的基础解系a1,a2,..,as 3.A的属于特征值λ的特征向量就是 a1,a2,...,as 的非零线性组合
玉州区15393202181： 线性代数——急!如何求特征值,高手快看看! - ？
养便淑捷： B=(aE3+A)^2的特征值为A的特征值+a之后再平方啊.设A的特征值为b,特征向量为x,则Ax=bx,而Bx=(aE3+A)^2x=(a+b)^2x,所以B=(aE3+A)^2的特征值为A的特征值+a之后再平方.完全是按特征值的定义来的.B的特征值为a,(a+2)^2,(a+2)^2.
