如图，已知AB是⊙O的直径，C为AB延长线上一点，CE交⊙O于点D，且CD=OA。求证：∠C=1/3∠AOE

如图AD,BC相交于点O,且OA=OC,OB=OD EF过点O分别交AB,CD于点E，F且∠AOE=∠COF。求证OE＝OF~

OA=OC,OB=OD,AD,BC相交
所以三角形AOB全等于三角形DOC
所以角A=角C;AO=CO (1)
因为角AOE与角FOD是对顶角,∠AOE=∠COF
所以角FOD=角FOC
因为(1)
所以三角形AOE全等于三角形AOF
所以OE=OF

（1）依题意得 四边形ECDO为矩形
所以CD平行且等于OE，所以角CEO=角CDE
又因为OG=EH
所以三角形OEH全等于三角形CDG（SAS）所以OH=CG
同理 三角形CEH全等于三角形ODG，所以HC=OG
所以四边形OGCH为平行四边形
（2）DG的长度不变。
连接CO
因为四边形CDOE为矩形，所以CO=ED=半径
所以GD=1/3OA=1
（3）12
过G作GM垂直于AO交于M
原式=ED2-CE2+3（OM2+MG2）
=ED2-CE2+3（OM2+GD2-MD2）
=9-CE2+3（OM2+1-MD2）
=9-CE2+3+3（MO+MD）（MO-MD）
=9-CE2+3+3OD（MO-MD）
=12+CE（3MO-3MD-3MO-3MD）
12+CE（2MO-4MD）
因为三角形MGO相似于三角形DEO
所以OM=2MD
所以2MO-4MD=0
所以原式=12

证明：连接OD
∵OD＝OA，CD＝OA
∴OD＝CD
∴∠COD＝∠C
∴∠ODE＝∠COD+∠C＝2∠C
∵OD＝OE
∴∠CEO＝∠ODE＝2∠C
∴∠AOE＝∠C+∠CEO＝3∠C
∴∠C＝1/3∠AOE

---

宁夏回族自治区13612277824： 如图,已知AB是⊙O的直径,C是AB延长线上一点,BC=OB,CE是⊙O的切线,切点为D,过点A作AE⊥CE,垂足为E,则CD:DE的值是() - ？
周王醒脑：[选项] A. 1 2 B. 1 C. 2 D. 3

宁夏回族自治区13612277824： 如图,AB是⊙O的直径,C为圆上一点,点D是弧BC的中点,若∠ABC=50°,则∠BAD的度数为()A.50°B. - ？
周王醒脑： ∵AB是⊙O的直径,∴∠C=90°,∵∠ABC=50°,∴∠CAB=90°-∠ABC=40°,∵点D是弧BC的中点,即 BD = CD ,∴∠BAD=∠CAD=1 2 ∠CAB=20°. 故选C.

宁夏回族自治区13612277824： 如图所示,已知AB是⊙O的直径,C为圆上任意一点,过C的切线分别与过A、B两点的切线交于P、Q.求证:AB 2 =4AP·BQ. - ？
周王醒脑：[答案] 见解析 证明 法一 连接OP、OQ,如图所示. ∵AP、PQ、BQ为⊙O的切线, ∴∠1=∠2,∠3=∠4. 又AP、BQ为⊙O的切线, AB为直径,∴AB⊥AP,AB⊥BQ. ∴AP∥BQ. ∴∠A=∠B=90°, ∠1+∠2+∠3+∠4=180°. ∴∠1+∠4=∠2+∠3=90°. ∵∠1+∠...

宁夏回族自治区13612277824： 如图,AB是⊙O的直径,C为AB延长线上的 - 点,CD交⊙O 于点D, 且∠A=∠C=30°. (1)说明CD是⊙O的切线,(2)请你写出线段BC和AC之间的数量... - ？
周王醒脑：[答案] (1)连结地BD、OD ∵AB是直径, ∴∠ADB=90. ∵∠A=30., ∴∠ABD=60., ∴△OBD是等边三角形而∠ABD=∠C+∠BDC ∴∠BDC=∠ABD-∠C=30. ∴∠ODC=90. 即OD⊥DC,故DC是⊙O的切线. (2)BC=AC ∵OD⊥DC,且∠C=30., ...

宁夏回族自治区13612277824： 如图, 已知AB为⊙O的直径, C为⊙O上一点,CD与AB的延长线交于点D. - ？
周王醒脑： 解:(1)因为AB为直径,所以∠ABC+∠CAB=90° 因为∠CAB=∠BCD 所以∠ABC+∠BCD=90° 连接OC,则有∠OBC=∠OCB 所以∠OCB+∠CAB=90°=∠OCD 所以CD是⊙O的切线(2)AB=BD, CD=6 由切割线定理得CD*CD=BD*(BD+AB) 解得AB=BD=3√2 sin∠CDB=1/3 由正弦定理得(sin∠CDB)/(sin∠BCD)=BC/DB sin∠BCD=BC/AB 所以sin∠CDB=BC*BC/(DB* AB) 得BC*BC=6 所以BC=√6 sin∠BCD=√6/3√2=√3/3

宁夏回族自治区13612277824： 如图.已知AB是⊙O的直径.C是⊙O上一点,直线CE与AB的延长线相交于点E,AD⊥CE于点D,AD交⊙O于点F.AC平分∠DAE.(1)求证:CE是⊙O的切线.(2)... - ？
周王醒脑：[答案] (1)证明:连接OC, ∵AC平分∠DAB, ∴∠DAC=∠CAO, ∵OA=OC, ∴∠OCA=∠CAO, ∴∠DAC=∠OCA, ∴OC∥AD, ∵AD⊥DE, ∴OC⊥DE, ∵OC为半径, CE是⊙O的切线; (2)设DC=x.则DF=6-x,过O作OH⊥AD于H, ∵AD⊥DE,OC⊥DE, ...

宁夏回族自治区13612277824： 如图,AB 为⊙O的直径,C是⊙O上的一点,D在AB的延长线上,角DCB=角A,求证:CD是⊙O的切线 - ？
周王醒脑： 证明:连接OC ∵OA=OC ∴∠A=∠ACO ∵∠DCB=∠A ∴∠ACO=∠DCB ∴∠ACO ﹢∠ODB =∠DCB+∠ODB ∵∠ACO ﹢∠ODB =∠ACB=90º【直径所对的圆周角是直角】 ∴∠DCB+∠ODB=∠OCD=90º ∴CD是⊙O的切线

宁夏回族自治区13612277824： 如图,已知AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,∠BAC的平分线交⊙O于点D,交⊙O的切线BE于点E,过点D作DF⊥AC,交AC的延长线于点F.(1)求证:DF... - ？
周王醒脑：[答案] 证明:(1)连接OD∵OA=OD,∴∠1=∠2∵∠1=∠3,∴∠2=∠3∴OD∥AF∵DF⊥AF,∴OD⊥DF∴DF是⊙O的切线(2)①连接BD∵直径AB∴∠ADB=90°∵圆O与BE相切∴∠ABE=90°∵∠DAB+∠DBA=∠DBA+∠DBE=90°∴∠DAB=∠DBE∴...

宁夏回族自治区13612277824： 如图,AB是⊙O的直径,C为圆上一点,弧AC=60°,OD⊥BC,D为垂足,且OD=10,则AB= - -----,BC=------ - ？
周王醒脑： 连接CO. ∵AB是⊙O的直径,∴∠C=90°. ∵OD⊥BC,∴点D是BC的中点,∴OD是三角形的中位线,有AC=2OD=20. ∵弧AC=60°,∴∠AOC=60°. ∵OA=OC,∴等腰三角形△AOC是等边三角形,OA=AC=OC=20,∠A=60°,∠B=30°,∴直径AB=40,BC=AB?cos30°=203 .

宁夏回族自治区13612277824： 已知:如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,直线EF是过点C的⊙O的切线,AD⊥EF于点D.(1)求证:∠BAC=∠CAD;(2)若∠B=30°,AB=12,求弧AC的长. - ？
周王醒脑：[答案] (1)证明:∵AB是⊙O的直径,AC是弦, 直线EF是过点C的⊙O的切线,AD⊥EF于点D, ∴∠ACD=∠ABC,∠ACB=∠ADC=90° ∴∠BAC=∠CAD. (2)∵∠B=30°,AB=12, ∴弧AC的长= 30° 360°*2π*( 12 2)2=π.