如图所示，在平面直角坐标系xOy上放置一个边长为1的正方形PABC，此正方形PABC沿x轴滚动（向左或向右均可）

（2012?浦东新区一模）如图所示，在平面直角坐标系xOy上放置一个边长为1的正方形PABC，此正方形PABC沿x轴~

（1）m即正方形的周长，∴m=4，…（2分） l由3段14圆弧构成，其中2段弧所在圆的半径等于1，1段弧所在圆的半径等于2，故l=2[14×2π×1]+14×2π×2=（1+22）π．…（4分） （2）函数f（x）=2?(x?4k+2)2 ， 4k?2≤x≤4k?11?(x?4k+1)2， 4k?1≤x≤4k1?(x?4k?1)2， 4k≤x≤4k+12?(x?4k?2)2， 4k+1≤x≤4k+2，k∈z．…（7分） 函数性质 结 论 奇偶性 偶函数 单调性 递增区间 [4k，4k+2]，k∈z 递减区间 [4k-2，4k]，k∈z 零点 x=4k，k∈z…（10分）（3）f（x）=a|x|在区间[-8，8]删的根的个数即为函数f（x）的图象和直线y=a|x|的交点个数，（i）易知直线y=ax恒过原点；当直线y=ax过点（1，1）时，a=1，此时点（2，0）到直线y=x的距离为2，直线y=x与曲线 y=2?(x?2)2，x∈[1，3]相切．当x≥3时，y=x恒在曲线y=f（x）之上．（ii）当直线y=ax与曲线 y=2?(x?6)2，x∈[5，7]相切时，由点（6，0）到直线y=ax的距离为2，a=117，此时点（5，0）到直线 y=117x的距离为518，直线y=117x与曲线y=1?(x?5)2，x∈[4，5]相离．（iii）当直线y=ax与曲线 y=<div style="width: 6px; background-image: url(http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/dc54564e9258d1099efce906d258ccbf6c814d62.jpg); background-attachment: initial; background-origin: initial; background-clip: initial; background-color: initial; overflow-x: hidden

（1）第三个和第四个正方形的位置如图所示： 第三个正方形中的点P的坐标为：（3，1）；（2）点P（x，y）运动的曲线（0≤x≤4）如图所示： 由图形可知它与x轴所围成区域的面积= π 4 + 90π× ( 2 ) 2 360 +1+ π 4 =π+1．

（1）正方形以A点为支点，AP为半径转动90°，

以B点为支点，BP为半径转动90°，

以C点为支点，CP为半径转动90°，此时P点落到x轴上

∴m=AP+AB+BC+CP=4，

点P运动的路径长度为L=π/2*1+π/2*√2+π/2*1=π/2*(2+√2)

（2）令y=f(x)

当4k≤x≤4k+1时，点P的轨迹在圆(x-(4k+1))^2+y^2=1  (4k≤x≤4k+1，y≥0)上

∴y=√[1-(x-(4k+1))^2]     (4k≤x≤4k+1)

当4k+1≤x≤4k+3时，点P的轨迹在圆(x-(4k+2))^2+y^2=2  (4k+1≤x≤4k+3，y≥0)上

∴y=√[2-(x-(4k+2))^2]     (4k+1≤x≤4k+3)

当4k+3≤x≤4k+4时，点P的轨迹在圆(x-(4k+3))^2+y^2=1  (4k+3≤x≤4k+4，y≥0)上

∴y=√[1-(x-(4k+3))^2]     (4k+3≤x≤4k+4)

对于x∈[4k-2,4k+2]，k∈Z

   当x∈[4k-2,4k-1]时，y=√[2-(x-(4k+2))^2]     (4k-2≤x≤4k-1)

   当x∈[4k-1,4k]时，y=√[1-(x-(4k+3))^2]     (4k-1≤x≤4k)

   当x∈[4k,4k+1]时，y=√[1-(x-(4k+1))^2]     (4k≤x≤4k+1)

   当x∈[4k+1,4k+2]时，y=√[2-(x-(4k+2))^2]     (4k+1≤x≤4k+2)

由图像易知，函数关于y轴对称，是偶函数

函数单调递增区间为[4k,4k+2]，单调递减区间为[4k-2,4k]

零点为x=4k (k∈Z)的点，此时P点落在x轴上

（3）f(x)=a|x| 在区间[-8,8]上的根的个数即为函数f(x)与直线y=a|x|的交点个数

①当a=0时，f(x)=0，f(x)在[-2,2]上有一个零点，∴f(x)在(-8,8)上有3个零点

再加上区间端点上共有2个零点，∴总共有5个零点

即方程f(x)=0在[-8,8]上有5个根

②当a>0时，直线y=a|x|>0，位于x轴上方

f(x)与y=a|x|的交点个数与a的取值有关

考虑f(x)=√[2-(x-6)^2]   (5≤x≤7)  与y=ax  (x>0)相切的情况

对f(x)求导，得 f'(x)=-(x-6)/√[2-(x-6)^2]

相切，有 f(x)=√[2-(x-6)^2]=ax,  f'(x)=-(x-6)/√[2-(x-6)^2]=a

联立，解得a=1/√17

∴当a=1/√17时，f(x)与y=a|x|在正半轴上刚好有2个交点，由对称性知，在负半轴上也刚好有2个交点，加上原点，共有5个交点

当0<a<1/√17时，f(x)与y=a|x|在正半轴有3个交点，负半轴有3个交点，加原点1个，共有7个交点

当a>1/√17时，f(x)与y=a|x|在正半轴有1个交点，负半轴有1个交点，加原点1个，共有3个交点

当a->+∞时，即直线与y轴重合时，与f(x)只有1个交点，即原点

③当a<0时，直线y=a|x|<0，位于x轴下方

无论何时，直线y=a|x|与f(x)只有1个交点，即原点

 

综上所述，方程f(x)=a|x|在区间[-8,8]上：

  当a<0或a->+∞时，有1个根；

  当a>1/√17时，有3个根

  当a=0或a=1/√17时，有5个根；

  当0<a<1/√17时，有7个根。

 

m=4

当0<x<=1时,l=arccos(1-x)

当1<x<=3 时,l=√2[arccos(2-x)-Pi/4]+Pi/4

当3<x<=4时,l=Pi/2-arccos(x-3)+Pi/4+√2Pi/4

 

 

 

x属于[-2,2]时

图象为圆弧组成

当-2<=x<=-1时,f(x)=√[2-(x+2)^2]

当-1<x<=0时,f(x)=√[1-(x+1)^2]

当0<x<=1时,f(x)=√[1-(x-1)^2]

当1<x<=2时,f(x)=√[2-(x-2)^2]

由此可得

当4k-2<=x<=4k-1时,f(x)=√[2-(x+2-4k)^2]

当4k-1<x<=4k时,f(x)=√[1-(x+1-4k)^2]

当4k<x<=4k+1时,f(x)=√[1-(x-1-4k)^2]

当4k+1<x<=4k+2时,f(x)=√[2-(x-2-4k)^2]

 

性质由图自己可得,略

（1）m=4;在一个周期m内(相邻两个零点之间)点P的运动路径是三个四分之一圆弧，半径分别是1、√2、1，运动路径总长为l=л*(1+√2+1)/2=(1+(√2)/2)л；

 

（2）函数图象因为正方形沿x轴滚动的周期性而构成周期函数。令k=1，首先研究f(x)在区间[2,6]上的图象形式并找出其函数表达式。

当x=2时，P点位于B点正下方，函数取极大值√2并P继续沿半径为√2的四分之一圆弧（圆心在(2,0)）运动下降，直至x=3~f(x)=1，这一区间函数f(x)可表示为：f(x)=√[2-(x-2)^2)]；

接着P再沿半径为1的四分之一圆弧（圆心在(3,0)）下降直至x=4~f(x)=0，这一区间函数f(x)可表示为：f(x)=√[1-(x-3)^2)]；

此后f(x)值开始变大，P首先沿半径为1的四分之一圆弧（圆心在(5,0)）上升，直至x=5~f(x)=1，这一区间函数f(x)可表示为：f(x)=√[1-(x-5)^2)]；

随后P沿半径为√2的四分之一圆弧（圆心在(6,0)）运动上升直至x=6~f(x)=1，这一区间函数f(x)可表示为：f(x)=√[2-(x-6)^2)]；

对照函数周期m=4，可知f(x)可以表示为下列分段函数形式（k属于整数）：

f(x)=√[2-(x-(4k-2))^2)]，4k-2≦x<4k-1，P点下降，f(x)值由√2减小到1；

f(x)=√[1-(x-(4k-1))^2)]，4k-1≦x<4k，P点下降，f(x)值由1减小到0；

f(x)=√[1-(x-(4k+1))^2)]，4k≦x<4k+1，P点上升，f(x)值由0增加到1；

f(x)=√[2-(x-(4k+2))^2)]，4k+1≦x<4k+2，P点上升，f(x)值由1增加至√2；

将上述各表达式中x换作-x，函数值不变，故f(x)是偶函数；

f(x)是一种周期函数，其递增递减区间与上述令k=1析时相同，在4k-2≦x<4k区间函数f(x)单调递减；在4k≦x<4k+2区间f(x)单调递增；

从上面分析过程可以看出，函数f(x)零点在x=4k，即坐标x取值4（正方形周长）的倍数时。

 

（3）函数f(x)在区间[-8，8]上关于y对称，而函数a|x|关于原点轴对称，因此仅需探究f(x)=|a|*|x|在[0,8]区间根的个数即可。

将函数f(x)和|a|*|x|画出图象就很容易看出，除a=0,±∝外，直线y=|a|*|x|与f(x)至少相交有2点，最多相交6点；

①当a=0方程f(x)=a|x|=0表示f(x)在给定区间有几个零点，由图象可知，方程共有5个根（零点）；

②当a=±∝时，只能x=0，仅此一根；

③当f(x)与|a|*|x|在大弧上有一切点时，方程共有3个根，a无论正负，在[-8,8]区域方程共有3个根；此时|a|由f'(x)=|a|求得（f(x)是k=1时半径为√2的上升段圆弧，函数形式为上述第四种）,从图象容易看出：sin(arctan|a|)=√2/6，所以 |a|=tan(arcsin(√2/6)=√17/17；

④当f(x)与|a|*|x|在小弧上有一切点时，方程共有5个根；此时|a|由f'(x)=|a|求得（f(x)是k=1时半径为1的上升段圆弧，函数形式为上述第三种）：sin(arctan|a|)=1/5，|a|=tan(arcsin(1/5)=√24/24；

⑤当|a|=1/5时，方程有五个根；

⑥当1/5<|a|<√24/24，方程有六个根；

⑦当√24/24<|a|<√17/17时，在[0,8]区域共有4个根；

⑧当|a|>√17/17时，在[0,8]区域共有2个根；

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