勾股定理：从证明到简单应用（小学数学/小学奥数）

~ 勾股定理又叫做毕达哥拉斯定理，是小学奥数几何两大定理之一。

勾股定理是非常值得学习的一个定理，证明非常精彩，题型也非常丰富。对初中、高中学习几何、三角函数也有帮助。

相信大伙都听说过“勾三股四弦五”，说的是一个直角三角形，如果两条直角边分别是3和4，那么斜边就必定是5.

“勾三股四弦五”是勤劳能干的中国人民在生产实践中发现的一个数学规律，用上它砌墙非常稳，后来数学家用平方运算进一步得到了传说中的“勾股定理”——

对平面上的任何直角三角形，两条直角边的平方之和恰好等于斜边的平方.

上面这句话很厉害是不是？

很多同学就想问了，这个所谓的勾股定理是正确的吗？已经被证明过了吗？

于是他们就这样去问老师，然后老师笑了笑，告诉他们到目前为止已经有上百种不同的勾股定理证明方法啦！

不仅咱中国人会证明，外国人比如古希腊的毕达哥拉斯、欧洲国家的达芬奇、美国的某位总统都用自己的方法证明了勾股定理——

可能有同学会问：奇怪了老师、难道外国人也把以上定理叫做勾股定理吗？

当然不是啦——

外国人称呼勾股定理为“毕达哥拉斯定理”——

说道毕达哥拉斯，有个非常非常好玩的东西那就是毕达哥拉斯树啦！

传说毕达哥拉斯树的树种一旦扎根于土中，

第一年吸收10点能量破土而出1个方块木桩，

第二年又吸收10点能量抽出2块方块木枝，

第三年又吸收10点能量发出4块方块树芽，

第四年有吸收10点能量长出8块方块树枝，

……

此后每一年都会吸收等量的能量向外发出更多更细小的方块枝条.

你能想象那是怎样一幅绝景吗？

虽然咱们大多数人不能有信目睹传说中的毕达哥拉斯树，但是⑨老师使用一款名为“几何画板”的神器再加上“PS”神技，通过动图GIF将毕达哥拉斯树的生长规律复原啦——

【毕达哥拉斯树对你说】

怎么样？

ME就是毕达哥拉斯树！

俺有方块的树干树枝和树叶、就问你们服不服？

要是你们还不服，再给你们跳一支舞——

看完好玩的，接下来给大家讲解相关知识点——

虽然勾股定理已经有很多证明了，我们课上也得选个方法直播证明一次，这样才能让同学们心服口服！

勾股定理与平方差公式关系很深，所以我们先来画图证明平方差公式——

由平方差公式联想到完全平方和、完全平方差公式，我们尝试再次画图证明——

有了以上公式撑腰，我们就可以请来几何界的一位大佬——“弦图”，⑨老师把弦图进行嵌套得到“内弦套外弦图”，用它即可证明勾股定理——

证明了公式，接下来就要学会运用——

直接运用勾股定理来计算其实不难，同学们容易出错的是“三方模型”——

三方模型中，由于正方形本身就是平方了，所以如果已知两个小正方形的面积，只需要把它们加起来（不需要再次平方），就能得到大正方形的面积。

如果把三方模型进行迭代，就会得到前面的动图——毕达哥拉斯树（勾股树）！

不难发现勾股树的神奇之处，每多一层多出来的面积是相等的，只是块数指数级增长，这种自相似的分型结构是不是和大自然中的很多东西不谋而合呢？（树、西兰花、云朵边缘、海岸线边缘……）

学会了三方模型和勾股树，我们还可以进阶到三半圆模型——

越来越有趣了！不要停下进化的步伐——召唤：“猫耳朵模型”！

猫耳朵模型的结论还是非常令人惊讶的，两片圆圆的耳朵居然等于直直的三角形面积！

如果说前面的三方模型的迭代像是自然界中的树或者西兰花，那么换一种方式迭代就会出现神奇的——鹦鹉螺模型！

鹦鹉螺模型的特点是小三角的斜边是相邻大三角的直角边，这样一来就可以把斜边的平方不断递推下去，尽管我们无法在小学阶段解出每一个三角形的斜边长度，但是我们可以直接去传递斜边的平方！

啊~妙啊！

在小学阶段，我们围绕勾股定理介绍了以上各种好玩的模型，接下来我们来探索 平方差公式 在勾股定理中发挥的巨大作用——简直就是解高端难题标配。

勾股定理的应用场景一般来说都是平面，但是也是有跟长方体相关的问题的，比如电梯就是一个很好的例子——

日常生活中我们也经常会搬运大件物品到电梯箱内，如何计算最长可放多长的物件呢？是不是需要多次运用勾股定理求斜边？

⑨老师给大家分享一道非常经典的三小问长方体相关的勾股定理题目——

最后再拓展一道立体展开为平面，再运用将军饮马对称点解决的一道题——

课上要讲的就是这些，同学们2个小时学下来肯定还是需要再例题重做一遍，然后再做做作业，刷刷题消化一下的——

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逮罚薄荷： 直角三角形的两个直角边的平方和 相加等于斜边的平方

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