线性代数的一个问题：已知矩阵A，AX＝0，且A的列向量均线性无关，则X＝0。这里X为什么等于0呢？
因为两方程无非零公共解，所以AX=0的基础解系不是BX=0的解，即若AX₀=0,那么BX₀≠0,也就是说X₀不能被BX=0的基础解系线性表示(因为若X₀能被表示，则X₀为BX=0的解)，这就说明，两基础解系线性无关
如果等式右边的0，指的是列向量，那么X是一个列向量
如果等式右边的0，指的是0矩阵（例如n×m阶矩阵），那么X是一个矩阵（行数等于A的列数，列数等于m）
首先X=0是方程组的解，这个是显然的，下面来证X=0是唯一解
分三种情况：
1、若A为方阵，这个比较简单，由于列向量组线性无关，因此A可逆，两边同时左乘A逆，可得结论，方程组只有零解；
2、若A的列数大于行数，此时我们会发现这个列向量组中，向量个数是大于向量维数的，根据向量组的性质，这种向量组必线性相关，因此这种情况不会发生；
3、若A的行数大于列数，设列数为n，则行数大于n，此时的行向量组必线性相关，从行向量组中选取极大线性无关组，极大线性无关组的个数一定为n（因为矩阵的行秩与列秩相等），将极大线性无关组对应的方程留下，其余的方程删去，这样方程组就变成了第一种情形了。因此只有零解。
因A的列向量线性无关，故A的秩等于列向量的个数，即未知变量的个数，所以方程有惟一解，这个惟一解只能是零解。
这是线性无关的定义，如果向量线性无关，如果存在系数(这里是X的各个分量）使得他们的线性组合的和等于0，则系数等于0
线性代数问题
伴随矩阵有一条性质：设A为n阶方阵，（1）若R(A)=n，则R(A*)=n；(2)若R(A)=n-1，则R(A*)=1；(3)若R(A)<=n-2，则A*为零矩阵；本题就是用了性质(3)，由于伴随矩阵不是零矩阵，则A的秩至少为n-1。其实性质(3)的原理也很简单，因为伴随矩阵中的每个元素都是A的一个代数余...
线性代数问题
但,具体是哪一个向量能由其余向量线性表示,是不能确定的 这个结论告诉我们, 若 a1,...,as,b 线性相关, 且a1,...,as 线性无关时, b即可由其余向量线性表示 定义2也是个结论. 它与极大无关组的定义有关 极大无关组的意义是: 与向量组本身等价的含向量个数最少的一个部分组 "无关" 即...
一个线性代数问题,谢谢!
行列式的性质：任一列（行）乘以任一常数加到其余任一列（行），行列式值不变。第二列乘以 1 加到第一列，第三列乘以 1 加到第一列，。。。，第 n 列乘以 1 加到第一列，此时第一列每个元素都等于各行的和 。
线性代数中的问题?
根据定理3，3个向量线性无关，秩必为3
最近在学线性代数。想问一个关于线性相关的问题
你在辅导书中看到这句话：“阶梯型向量组一定线性无关”，它说的阶梯形应该不含零向量，也许前面有提示吧，你再把上下文看看，因为0向量是跟任何向量线形相关的。给你举个例子：（
线性代数线性相关性问题
知识点: A的列向量组线性无关的充分必要条件是 AX=0 只有零解.若A的列向量组线性无关, 列向量组延伸即矩阵A增加行, 记为矩阵B BX=0 比 AX=0 多了若干个方程 所以 BX=0 只有零解 所以 B 的列向量组也线性无关.若A的行向量组线性无关, 则A^T的列向量组线性无关 由上可知, A^T的...
线性代数求逆矩阵的一个题目在线等急
你是问图1你的答案为什么更数上答案不一样吧？没有问题，图1的答案也是对的。由条件2A^–1B=B–4E,(2A^–1–E)B=–4E,所以B也可逆，原式右乘B^–1,2A^–1=E–4B^–1,左乘B得2BA^–1=B–4E,与原式比较得A^–1B=BA^–1,也就是B与A^–1可交换。现在来看两个答案一样，书...
线性代数一概念问题——行最简形矩阵
这个是两个定义:行阶梯阵:(1)若某一行元素全为零,那么它下方所有行的元素也全为零 (2)若某一行元素不全为零,并且第一个不为零的元素位于第j列,那它下方的所有行的前j个元素为零 行最简形矩阵:(1)非零行的第一个非零元素是1 (2) 非零行的第一个非零元素所在的列的其它元素全为零 ...
小兔爱问:线性代数的问题一
教学目的:1. 掌握矩阵的秩和它的行空间,列空间维数之间的关系.2. 准确地确定齐次线性方程组解空间维数.3. 熟练地求出齐次线性方程组基础解系及非齐次线性方程式组的任意解.教学内容:1. 阵的秩的几何意义.设给了数域F上一个m*n矩阵 A= 矩阵A的每一行可以看成F的一个向量,叫做A的行向量.A的...
线性代数问题:为什么当Ax=0有n个线性无关的解时,n≤n-r(A)即r(A)≤...
有n个线性无关的解，这句话的意思不是最多有n个线性无关的解，那么解向量中至少有n个线性无关的解，n-r(A)是解集的秩，所以n≤n-r(A)
布南依琼：[答案] 由AA*=|A|E (E是单位矩阵) A*=A-1|A|E (A*)-1=(A-1|A|E)-1=(1/(|A|E)) A=A/|A|E 因为|A|=3 所以(A*)-1=A/3
河津市17111988368： 有关线代的问题矩阵A的秩是a,请问A的转置乘A的秩是不是还等于a,请问这是为什么还有就是还有没有类似的结论,请列举, - ？
布南依琼：[答案] 如果A是实矩阵,对! 用证明齐次线性方程组同解的方法 A'是A的转置矩阵 显然,AX=0 的解都是 A'AX=0 的解. 反之,若X1是 A'AX=0的解 则 A'AX1=0 所以 X1'A'AX1=0 故 (AX1)'(AX1)=0 所以有 AX1=0 即 A'AX=0 的解是 AX=0 的解 故 AX=0 ...
河津市17111988368： 这是一个线性代数问题...已知n阶矩阵A满足A2+2A - 3E=0,试证:A+4E可逆,并求出(A+4E) - 1. - ？
布南依琼：[答案] A2+2A-3E=0 (A+4E)(A-2E)=5E (A+4E)[1/5(A-2E)]=E 所以 由书上定理,得 A+4E可逆,且 A+4E的逆矩阵为:1/5(A-2E).
河津市17111988368： 线性代数矩阵A满足A*=A^T,如a11,a12,a13为三个相等的正数,则a11为多少?由 AA* = |A|E 及已知 A*=A^T,有 AA^T = |A|E则有(1) |A| = a11^2 + a12^2 ... - ？
布南依琼：[答案] |A|^2=|A||A| 没问题吧? |A|=|A|T没问题吧? |A||A|T=|AAT|没问题吧? AAT=|A|E没问题吧? |E|=1,||A||=|A|^n n为A的阶数 所以 |A|^2 =|A||A|=|A||A|T =| AA^T | = ||A|E| = |A|^3 用到的公式 1.|A|=|A|T 2.AAT=|A|E 3.|AB|=|A|*|B| 4.|aB|=a^n|B| n为阶数
河津市17111988368： 求线性代数一道题,已知A为3阶实对称矩阵,P为3阶可逆矩阵,B=P^ - 1AP,已知a为A的属于特征值λ的特征向量,则属于B的特征值λ的特征向量为 - ？
布南依琼：[答案] 因为 B=P^-1AP 所以 A=PBP^-1 由已知,Aa=λa 所以有 PBP^-1a=λa 所以 BP^-1a=λP^-1a 所以属于B的特征值λ的特征向量为 P^-1a
河津市17111988368： 线性代数:已知矩阵A的伴随矩阵A*=diag(1,1,1,8),且ABA( - 1)=BA( - 1)+3 - ？
布南依琼： 首先有三个等式(A是可逆的) A^(-1)=A*/|A| A A*=diag(|A|,|A|,|A|,|A|)=|A| E |A| |A*|=|A|^n 即|A*|=|A|^(n-1)本题n=4由已知 ABA^(-1)=BA^(-1)+3E 等式两边左乘A*, 右乘A, 得 |A|B = A*B+3|A|E 因为 |A*| = 8 = |A|^(4-1) 所以 |A| = 2 2B = A*B+6E 即(2E-A*)B = 6E 所以 B = 6(2E-A*)^(-1)= 6diag(1,1,1,-6)^(-1) = 6diag(1,1,1,-1/6)= diag(6,6,6,-1).
河津市17111988368： 线性代数问题 已知A是3阶矩阵,且所有元素都是 - 1,则A^4 +2A^3 =它给的提示是:秩r(A)=1,有A^2=LA,其中L= (A的迹) = - 3.给了提示我就会做了,但是我... - ？
布南依琼：[答案] n阶秩1矩阵至多有1个非零特征值,当然也可以是所有的特征值都是0,其中一个0特征值是亏损的.至于n阶秩1矩阵的k次方的推导,其实很简单,如果rank(A)=1,必定存在n维非零列向量x,y使得A=xy',于是A^k=xy'xy'...xy',利用结合...
河津市17111988368： 线性代数:已知矩阵A的伴随矩阵A*=diag(1,1,1,8),且ABA( - 1)=BA( - 1)+3E(意思是矩阵A*矩阵B*逆矩阵A=矩阵B*逆矩阵A+3E),求B - ？
布南依琼：[答案] 首先有三个等式(A是可逆的) A^(-1)=A*/|A| A A*=diag(|A|,|A|,|A|,|A|)=|A| E |A| |A*|=|A|^n 即|A*|=|A|^(n-1)本题n=4 由已知 ABA^(-1)=BA^(-1)+3E 等式两边左乘A*,右乘A,得 |A|B = A*B+3|A|E 因为 |A*| = 8 = |A|^(4-1) 所以 |A| = 2 2B = A*B+6E 即(2E-A...
河津市17111988368： 线性代数, A与 |A|有什么区别?原题是:21.已知矩阵A= ,B= ,求:(1)AB; (2)| AB |.这个AB就是求他们的乘积嘛,那么加个绝对值是求什么? - ？
布南依琼：[答案] AB表 示两个矩阵 A 和 B 相乘,条件是 A 的列数等于 B 的行数,相乘后仍然是一个矩阵. | AB | 表示两个矩阵 A 和 B 的乘积(是一个新的矩阵)的行列式,是一个数,| AB | = | A | •| B |.
河津市17111988368： 线性代数 已知矩阵a∧2=a ,证明a可对角化 - ？
布南依琼： A^2=A; A(A-E)=0, r(A)+r(A-E)<=n 又n=r(E)=r(A+E-A)<= r(A)+r(E-A)=r(A)+r(A-E) 根据上面两条知道r(A)+r(A-E)=n,说明他的特征向量是线性无关 A^2=A知道他们的特征值只能是0,和1,所以A可以对角化一个对角线元素都是1,0组合的对角阵,1的数目决定A的秩,
