怎样证明梯形的蝴蝶定理？
蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题,刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上.由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶,便以此命名,定理内容：圆O中的弦PQ的中点M,任作两弦AB,CD,弦AD与BC分别交PQ于X,Y,则M为XY之中点.
出现过许多优美奇特的解法,其中最早的,应首推霍纳在职815年所给出的证法.至于初等数学的证法,在国外资料中,一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的,它给予出的是面积证法,其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA.1985年,在河南省《数学教师》创刊号上,杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题,载文向国内介绍蝴蝶定理,从此蝴蝶定理在神州大地到处传开.
这里介绍一种较为简便的初等数学证法.
证明：过圆心O作AD与B牟垂线,垂足为S、T,连接OX,OY,OM.SM.MT.
∵△SMD∽△CMB,且SD=1/2ADBT=1/2BC,
∴DS/BT=DM/BM又∵∠D=∠B
∴△MSD∽△MTB,∠MSD=∠MTB
∴∠MSX=∠MTY；又∵O,S,X,M与O,T.Y.M均是四点共圆,
∴∠XOM=∠YOM
∵OM⊥PQ∴XM=YM
如图1,椭圆的长轴A1A2与x轴平行,短轴B1B2在y轴上,中心为M（o,r）（b＞r＞0）.
（Ⅰ）写出椭圆的方程,求椭圆的焦点坐标及离心率；
（Ⅱ）直线y=kx交椭圆于两点C（x1,y1）,D(x2,y2)（y2＞0）；直线y=k2x交椭圆于两点G（x3,y3）,H（x4,y4）（y4＞0）.
求证：k1x1x2／(x1+x2)=k2x3x4／(x3+x4)
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C,D,G,H,设CH交X轴于点P,GD交X轴于点Q.
求证： | OP | = | OQ |.
（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）
右上角为A，左下角为B
S1和S2的的三角形是相似的（AAA）~~~所以面积比=边长比的平方即a²：b²
设梯形高为h，S3+S2=1/2 bh=S4+S2。。。。所以S3=S4
设S3+S1的三角形的AB上的高为h1，可知S3:S1=OB:OA
因为S1和S2的的三角形是相似，S3:S1=OB:OA=b：a
所以S1︰S2︰S3︰S4= a^2︰b^2︰ab︰ab
因为S1和S2的的三角形是相似的
所以面积比=边长比的平方即a²：b²
设梯形高为h，
因为S3+S2=1/2 bh=S4+S2
所以S3=S4
设S3和S1三角形(底为OA和OB)的高为h1
可知S3:S1=OB:OA
因为S1和S2的的三角形是相似
S3:S1=OB:OA=b：a
所以S1︰S2︰S3︰S4= a^2︰b^2︰ab︰ab
扩展资料：
梯形的蝴蝶定理：
1、相似图形，面积比等于对边比的平方S1：S2=a^2/b^2
2、S1:S2:S3:S4= a2:b2:ab:ab
3、S3=S4
4、S1×S2=S3×S4(由S1/S3=S4/S2推导出)
5、AO:BO=(S1+S3):(S2+S4)
参考资料来源：百度百科-梯形蝴蝶定理
霍纳证法证明梯形的蝴蝶定理：
过O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足为L、T，
连接ON，OM，OS，SL，ST，易证明△ESD∽△CSF
∴DS/FS=DE/FC
根据垂径定理得：DL=DE/2，FT=FC/2
∴DS/FS=DL/FT
又∵∠D=∠F
∴△DSL∽△FST
∴∠SLD=∠STF
即∠SLN=∠STM
∵S是AB的中点所以OS⊥AB
∴∠OSN=∠OLN=90°
∴O，S，N，L四点共圆，（一中同长）
同理，O，T，M，S四点共圆
∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON
∴∠SON=∠SOM
∵OS⊥AB
∴MS=NS
扩展资料：
定理意义：
蝴蝶定理是古典欧式平面几何的最精彩的结果之一。这个定理的证法不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在考试中时有出现各种变形。
平面几何的四个重要定理：
1、梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）
△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点A'、B'、C'，则A'、B'、C'共线的充要条件是
（BA'/A'C）·（CB'/B'A）·（AC'/C'B）= 1
2、塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）
△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点A'、B'、C'，则AA'、BB'、CC'三线平行或交于一点的充要条件是
BA'/A'C·CB'/BA'·AC'/C'B=1
3、托勒密(Ptolemy)定理
四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。
4、西姆松(Simson)定理（西姆松线）
从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
参考资料来源：百度百科——蝴蝶定理
右上角为C，左下角为D
S1和S2的的三角形是相似的（AAA）~~~所以面积比=边长比的平方即a²：b²
设梯形高为h，S3+S2=1/2 bh=S4+S2。。。。所以S3=S4
设S3+S1的三角形的CD上的高为h1，可知S3:S1=OD:OC
因为S1和S2的的三角形是相似，S3:S1=OD:OC=b：a
所以S1︰S2︰S3︰S4= a^2︰b^2︰ab︰ab
蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题,刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上.由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶,便以此命名,定理内容：圆O中的弦PQ的中点M,任作两弦AB,CD,弦AD与BC分别交PQ于X,Y,则M为XY之中点.
出现过许多优美奇特的解法,其中最早的,应首推霍纳在职815年所给出的证法.至于初等数学的证法,在国外资料中,一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的,它给予出的是面积证法,其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA.1985年,在河南省《数学教师》创刊号上,杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题,载文向国内介绍蝴蝶定理,从此蝴蝶定理在神州大地到处传开.
这里介绍一种较为简便的初等数学证法.
证明：过圆心O作AD与B牟垂线,垂足为S、T,连接OX,OY,OM.SM.MT.
∵△SMD∽△CMB,且SD=1/2ADBT=1/2BC,
∴DS/BT=DM/BM又∵∠D=∠B
∴△MSD∽△MTB,∠MSD=∠MTB
∴∠MSX=∠MTY；又∵O,S,X,M与O,T.Y.M均是四点共圆,
∴∠XOM=∠YOM
∵OM⊥PQ∴XM=YM
如图1,椭圆的长轴A1A2与x轴平行,短轴B1B2在y轴上,中心为M（o,r）（b＞r＞0）.
（Ⅰ）写出椭圆的方程,求椭圆的焦点坐标及离心率；
（Ⅱ）直线y=kx交椭圆于两点C（x1,y1）,D(x2,y2)（y2＞0）；直线y=k2x交椭圆于两点G（x3,y3）,H（x4,y4）（y4＞0）.
求证：k1x1x2／(x1+x2)=k2x3x4／(x3+x4)
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C,D,G,H,设CH交X轴于点P,GD交X轴于点Q.
求证： | OP | = | OQ |.
（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）
klamkin蝴蝶定理是啥?
蝴蝶定理有许多不同的证明方法,其中面积法和对称补等腰梯形两种方法可以导出蝴蝶定理的两个推广形式,即Candy定理和Klamkin定理。Klamkin不等式是强有力的“母不等式”,用它可统一大批三角形不等式。正 设a,b,c是△ABC的三边边长,则有如下 Klamkin不等式:a\/b+b\/c+c\/a≥1\/3(a+b+c)(1\/a+1\/b...
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梯形蝴蝶定理的介绍
平面几何中的重要定理，是相似关系的衍生，由于该定理的几何图形形象奇特，形似蝴蝶，所以以蝴蝶来命名。
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展开全部 任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)S1∶S2 =S4∶S3 或 S1×S3 = S2×S4 上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积设左右面积为X9×25=X² 所以X=15 梯形abcd的面积=15+15+9+25=64 本回答由网友推荐 已赞过 已踩过< 你对这个回答的评价是? 评论 收起 匿名...
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数学梯形蝴蝶定理 ,奥数求三角形面积22题
△ADO∽△CBO，AD：BC=AO：CO=DO：BO=k S△COD=（DO\/BO）×S△BCO=12k=S△ABO 总面积S△PBC=4+12+12k×2=16+24k △PAB∽△PBC S△PAB=kS△PBC=16k+24k²S△ADO=kS△BCO=12k 12k+16k+24k²=4 24k²+28k-4=0 6k²+7k-1=0 Δ=7²+4×6=49+24...
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友剂依信： 右上角为C,左下角为D S1和S2的的三角形是相似的(AAA)~~~所以面积比=边长比的平方即a²:b² 设梯形高为h,S3+S2=1/2 bh=S4+S2....所以S3=S4 设S3+S1的三角形的CD上的高为h1,可知S3:S1=OD:OC 因为S1和S2的的三角形是相似,S3:S1=OD:OC=b:a 所以S1︰S2︰S3︰S4= a^2︰b^2︰ab︰ab
保康县13145643380： 蝴蝶模型基本公式是什么? - ？
友剂依信： 蝴蝶模型又称梯形蝴蝶定理,是指在一个梯形中连接对角线后形成四个三角形.梯形蝴蝶定理是一个平面几何中的重要定理,由于该定理的几何图形形状奇特,形似蝴蝶,所以以蝴蝶来命名.梯形蝴蝶定理证明:S1和S2的三角形是相似的,所...
保康县13145643380： 三角形的蝴蝶模型基本公式是什么? - ？
友剂依信： 梯形蝴蝶定理证明:S1和S2的三角形是相似的,所以面积比=边长比的平方即a²︰b².S1和S4三角形同底等高,可知S1︰S4=OA︰OC ,又因为S1和S2是相似三角形,相似比=a︰b,所以S1︰S4=OA︰OC=a︰b=a²︰ab ;同理S1︰S3=a²︰ab.所以S1︰S2︰S3︰S4=a²︰b²︰ab︰ab.
保康县13145643380： 梯形相似比公式 ？
友剂依信： 梯形相似比公式:S1:S2=a^2/b^2.梯形蝴蝶定理是指平面几何中的重要定理,由于该定理的几何图形形状奇特,因为形似蝴蝶,所以以蝴蝶来命名.计算公式有S3: S4=ab:cd等.梯形是只有一组对边平行的四边形.平行的两边叫做梯形的底边.
保康县13145643380： 梯形蝴蝶定理面积公式是什么? - ？
友剂依信： 蝴蝶定理面积公式:DS/FS=DE/FC. 蝴蝶模型面积公式:DS/FS=DE/FC.蝴蝶模型的面积公式是S1:S2=a2/b2. 梯形蝴蝶定理是一个平面几何中的重要定理,由于该定理的几何图形形状奇特,形似蝴蝶,所以以蝴蝶来命名.蝴蝶定理,是古...
保康县13145643380： 梯形内蝴蝶定理 - ？
友剂依信： 蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题,刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上.由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶,便以此命名,定理内容:圆O中的弦PQ的中点M,任作两弦AB,CD,弦AD与BC分别交PQ于X,Y,则M为XY之中点.
保康县13145643380： 蝴蝶定理怎么证明蝴蝶定理 内容 证明 - ？
友剂依信：[答案] 蝴蝶定理 蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题,刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上.由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶,便以此命名,定理内容:圆O中的弦PQ的中点M,任作两弦AB,CD,弦AD与BC分别交PQ于X,Y,则M为XY之...
保康县13145643380： 蝴蝶模型的面积公式 ？
友剂依信： 蝴蝶模型的面积公式是S1:S2=a^2/b^2,蝴蝶定理(Butterfly Theorem),是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一,这个命题最早出现在1815年.梯形蝴蝶定理是一个平面几何中的重要定理,由于该定理的几何图形形状奇特,形似蝴蝶,所以以蝴蝶来命名.
保康县13145643380： 蝴蝶定理的证明方法？
友剂依信： 证明:过圆心O作AD与BC的垂线,垂足为S、T,连接OX,OY,OM,SM,MT.∵△AMD∽△CMB∴AM/CM=AD/BC∵AS=1/2AD,CT=1/2BC∴AM/CM=AS/CT又∵∠A=∠C∴△AMS∽△CMT∴∠MSX=∠MTY∵∠OMX=∠OSX=90°∴∠OMX+∠OSX=180°∴O,S,X,M四点共圆同理,O,T,Y,M四点共圆∴∠MTY=∠MOY,∠MSX=∠MOX∴∠MOX=∠MOY ,∵OM⊥PQ∴∠OMX=∠OMY=90°又OM=OM∴△OMX≌△ △OMY ∴XM=YM
