在三角形ABC中，角C等于90度，角B等于30度，P为三角形内部一点，且PA=√3,PC=2,PB=5，求三角形ABC的面积

如图,在三角形abc中,角a c b等于90度,ac等于bc ,p是三角形abc内一点,且pa等于~

把△APC以C点逆时针旋转90°，A到达B点，P到达P1
连接PP1
∵∠ACB=90° ∴∠PCP1=90° 且CP=CP1=4
∴∠CPP1=45°
在△PBP1中
PP1=√2CP=4√2 BP1=AP=6 PB=2
∵PP1²+PB²=(4√2)²+2²=32+4=36=BP1²
∴△PBP1是直角三角形
∴∠P1PB=90°
∴∠BPC=45+90=135°

在△ABC中，角B为直角，角C为30度，AB=2，
∴AC=4，BC=2√3.
设PA=x，PB=y，PC=z,APB为90度，角BPC为150度，角APC为120度,
由余弦定理，x^2+y^2=4,x^2=4-y^2①
y^2+z^2+√3yz=12,②
x^2+z^2+xz=16,③
以下逐步降次和消元：
②-③，y^2-x^2+z(√3y-x)=-4,
又由①，z=-2y^2/(√3y-x),④
代入③，x^2+[-2y^2/(√3y-x)]^2+x(-2y^2)/(√3y-x)=16,
∴(x^2-16)(√3y-x)^2+4y^4-2xy^2*(√3y-x)=0,
由①，(-y^2-12)(3y^2-2√3xy+x^2)+4y^4-2√3xy^3+2x^2y^2=0,
整理得x^2*(y^2-12)+24√3xy+y^4-36y^2=0,
再由①，(4-y^2)(y^2-12)+24√3xy+y^4-36y^2=0,
∴x=(5y^2+12)/(6√3y),⑤
代入①，(25y^4+120y^2+144)/(108y^2)+y^2=4,
整理得133y^4-312y^2+144=0,
解得y^2=12/7,或12/19.y>0,
解得y1=√(12/7),y2=√(12/19)=PB,
代入①，x1=4/√7，x2=8/√19=PA.
代入④，z1<0(舍),z2=12√19/19=PC.

证明：从p点做AC的垂线，垂足为M,做BC的垂线，垂足为M,设PM=x,AM=y.AC=a

则有：AB=2a,BC=√3a.

根据题意△AMP，△PNC，△PNB都为直角三角形，根据勾股定理可有以下几个等式：

x^2+y^2=3....(1)

x^2+(a-y)^2=4....(2)

(a-y)^2+(√3a-x)^2=25....(3)

（2）-(1)得到：(a-y)^2-y^2＝1

解得：y=(a^2+1)/2a.....(4)

（3）-（2得到：(√3a-x)^2-x^2＝2

解得：x=√3(a^2-7)/2a.....(5)

把(4)和(5)代入到（1）得到：

〔√3(a^2-7)/2a〕^2+〔(a^2+1)/2a〕^2=3

化简整理后可得：

a^4-14a^2+37=0

a^2=7+2√3.

或a^2=7-2√3.(这时斜边等于2a,斜边的平方等于4a^2＜25,也就是说这时斜边小于5,因此不可能在这个三角形内部做出一条边长为5的线段，所以应当舍去)

S（△ABC）=√3a^2/2=(√3/2)a^2=(6+7√3)/2.

从p点做AC的垂线，垂足为M,做BC的垂线，垂足为K,设PK=x,PM=y.AB=2a
则有：AC=a,BC=√3a.
根据题意有：
在三角形PKC，利用勾股定理得到：
x^2+y^2=4....(1)
同理在三角形PBK,APM中，利用勾股定理得到：
y^2+(a-x)^2=3....(2)
x^2+(√3a-y)^2=25....(3)

由（1）（2）可得到：
x=(a^2+1)/2a.....(4)
由（1）（3）可得到：
y=(3a^2-21)/2√3a.....(5)

(4)(5)代入到（1）
化简得到：
a^4-14a^2+37=0
a^2=7+2√3.

三角形的面积=(1/2)√3a*a=(√3/2)a^2=(6+7√3)/2.

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玛多县13635767438： 如图,在直角三角形ABC中,角C=90度. - ？
郯艳苦参： 1)以BC为轴作对称变换,再以AC为轴作对称变换,2)从上图可以看出,若此三角形是一个正直角三角形,可直接一次变换,即三角形以C点为圆心逆时针方向每90度旋转一圈;若不是正直角三角形,不能一次性做变换.

玛多县13635767438： 三角形abc中,角c=90度,d是bc延长线上的一点 - ？
郯艳苦参： 证明:过E作EG垂直于AC 因为:角c=90度,E是AB上的一点,且在BD的垂直平分线上 所以BE=CE,EG是三角形ABC的中位线,所以:BE=CE=AE 所以:E在AC的垂直平分线上

玛多县13635767438： 在三角形ABC中.角C=90度. - ？
郯艳苦参： a:b=3:4 a=3/4*b a^2+b^2=c^2=225 9/16*b^2+b^2=225 25/16*b^2=225 b=12 b=c-3 a^2+b^2=c^2 25+c^2-6c+9=c^2 6c=34 c=17/3 勾股定理

玛多县13635767438： Rt三角形ABC中,角C=90度 - ？
郯艳苦参： 因为 DE是角ADB的平分线,DE垂直AB 可得到三角形ABD 是等腰三角形(三线合一) 此时AD=BD 所以角B=角DAB 因为 角BAD=1/2角BAC(角平分线)所以角B=角DAB=角CAD 这三个角之和为90° 所以角B=30°由角平分线的性质得CD=DE 在直角三角形DEB中,角B=30°所以DE=1/2BD 即CD=1/2BD

玛多县13635767438： 如图,在三角形ABC中,角C等于90度,AC等于BC,BD平分角ABC,AD垂直于BD,BD交AC - ？
郯艳苦参： 证明:1)如图所示:∵AD⊥BD ∴∠AFD+∠DAF=90° ∵∠ACB=90° ∴∠AEC+∠DAF=90° ∴∠AEC=∠AFD ∵∠BFC=∠AFD ∴∠AEC=∠BFC ∵∠ACE=∠BCF=90° AC=AB ∴△ACE≌△BCF2)由1)知BF=AE ∵BD平分∠ABC ∴∠ABD=∠EBD ∵∠ADB=∠EDB=90° BD=BD ∴△ABD≌△EBD ∴AD=ED ∴AE=AD+ED=2AD ∴BF=2AD 请采纳,谢谢!

玛多县13635767438： 在三角形ABC中,角C等于90度,DE是AB的垂直平分线,交BC于D,E为垂足,角ABC:角CAB - ？
郯艳苦参： 设∠ABC为3X 因为角ABC:角CAB=1:3所以∠CAB=3X ∠ABC=∠CAB=90 所以∠B是22.5°

玛多县13635767438： 在直角三角形ABC中,已知角C等于90度,角A,角B,角C的对边分别为A.B.C - ？
郯艳苦参： a^2+b^2=225 a=3/4*b a=9,b=12

玛多县13635767438： 在三角形ABC中,角C等于90度,若a:b=3:4 c=10,则a= ,b= - ？
郯艳苦参： 设a=3k,b=4k a²+b²=(9+16)k²=c²=10025k²=100 k²=4 因为k是正数,否则不合题意 于是k=2 那么 a=3k=6 b=4k=8

玛多县13635767438： 在三角形abc中,角c等于九十度,ad平分角cab,交cb于点d,过点d作de垂直ab于点e⑴求证 - ？
郯艳苦参： 1. 因为DE垂直于AB 所角 因为AD平分角CAB 所以CD=CE 因为AD=AD 所以△ACD全等于△AED[HL] [可做适当补充] 2. 因为角B=30° 所以角CBA=60° 因为△ACD全等于△AED 所以角CAD=角DAE 所以角CAD=30° 设AC为X 则AB=2X所以X方+[2X]方=1 所以X=3分之根号3 在设CD为y[好算] 则AD=2y 所以y方=[2y]方=[3分之根号3】方 所以y=1/3 所以BD=1-1/3=2/3 我做的可能有些麻烦了 还有根号的计算题不知你学了没 BD的长你也可以用2y来算 不过你要先证明全等

玛多县13635767438： 在三角形abc中,角c等于90度,ac等于bc,ad等于bd,pe垂直ac于点e,pe垂直bc于点 - ？
郯艳苦参： 作辅助线:连接DC ∵△ABC为Rt△,D为AB中点 ∴AD=DC=BD,且CD⊥AB ∴∠DCB=45° 又∵∠A=45° ∴∠A=∠DCB ∵PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F ∴CF=EP 又∵△AEP为等腰直角三角形 ∴AE=EP=CF ∵∠A=∠DCB,AD=DC,AE=CF (边角边定理) ∴△DAE≌△DCF ∴DE=DF