如图,已知AB是圆O的直径,AB=10,点C,D在圆O上,DC平分∠ACB,∠EAC=∠D.

如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．（1）求∠ABC的度数；（2）求证~

（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，∴∠ABC=∠D=60°； （2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠BAC=30°，∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，即BA⊥AE，∴AE是⊙O的切线；（3）如图，连接OC，∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°，∴劣弧AC的长为 120?π?4 180 = 8 3 π ．

（1）∵∠ABC与∠ADC都是弧AC所对的圆周角，∴∠ADC=∠B=60°．（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=30°．∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，即 BA⊥AE．∴AE是⊙O的切线．

过C作AE的垂线，设垂足为F，则容易证明三角形ABC相似于CAF（因为都有直角切∠B=∠D=∠EAC）所以∠BAC=∠ACE所以两条线平行，所以BA垂直于AE，所以是切线。第二问，知道BC=6的话就可以得到三角形ABC勾股定理知道AC=8。设AB，CD的焦点为G，那么由角平分线定理有BC：BG=CA：AG，所以可以得到BG：AG=3：4，所以BG=30/7，AG=40/7。然后又容易证明三角形CBG相似于三角形ADG（两个同狐圆周角），所以只需要知道CG或者DG的长度就能求出整个的长度。下面求CG的长度，利用余弦定理cosB=3/5，BC=6，BG=30/7，能求出CG=24根号2/7，再根据比例DG=AG*BG/CG=50根号2/7，加起来是74根号2/7。计算需要你再验证一下。
角平分线定理：
定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。

逆定理：在一个角的内部（包括顶点），到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

定理2：三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，

如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC

注：定理2的逆命题也成立，证明过程见后文。

角平分线的定义

角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。

PS：三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。

拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。

过C作AE的垂线，设垂足为F，则容易证明三角形ABC相似于CAF（因为都有直角切∠B=∠D=∠EAC）所以∠BAC=∠ACE所以两条线平行，所以BA垂直于AE，所以是切线。
第二问，知道BC=6的话就可以得到三角形ABC勾股定理知道AC=8。设AB，CD的焦点为G，那么由角平分线定理有BC：BG=CA：AG，所以可以得到BG：AG=3：4，所以BG=30/7，AG=40/7。然后又容易证明三角形CBG相似于三角形ADG（两个同狐圆周角），所以只需要知道CG或者DG的长度就能求出整个的长度。
下面求CG的长度，利用余弦定理cosB=3/5，BC=6，BG=30/7，能求出CG=24根号2/7，再根据比例DG=AG*BG/CG=50根号2/7，加起来是74根号2/7。计算需要你再验证一下。

这里同初三滴~刚考完期末
1.证明：设DC与AB的交点为F
连接BD,由题可知：∠BDA=∠BCA=90°
∵∠BCD=∠ACD=45°
∴BD=AD，∠DBA=∠DAB=45°
由∠DBA=∠ACD=45°
∠BFD=∠CFA
∴△AFC∽△DFB
∴∠FAC=∠FDB
又∵∠EAC=∠D
∠D+∠FDB=90°
∴∠FAC+∠EAC=90°
∴AE是圆O的切线。

2.用垂径定理和勾股定理再设个未知数就求出来了，自己想把~

证明：∵∠D与∠B为同弦所对的角
∴∠D=∠B
∵∠EAC=∠D
∴∠EAC=∠B
∵∠ACB为圆O直径AB所对的角
∴∠ACB=90°
故∠B+∠BAC=90°
即∠EAC+∠BAC=90°=∠BAE
故AB⊥AE
∴AE为圆O的切线

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绩溪县13657042781： 如图,已知AB为圆O的直径,AB=AC,BC交圆O于点D,AC交圆O于点E,角BAC=45°.给出以下五个结论:1、角EBC=22.5°;2、BD=DC;3、AE=2EC;4、劣弧... - ？
钟离阎关节：[答案] 连接BE △ABE是等腰直角三角形 设AE=BE=a,AB=√2a AC=√2a AE=a,CE=AC-AE=√2a-a=(√2-1)a AE:CE=a:(√2-1)a =1:(√2-1)

绩溪县13657042781： 如图,已知AB是圆O的直径,AB=10,弦CD与AB相交于点N,∠ANC=30°,ON:AN=2:3,OM⊥CD,垂足为点M.(1)求OM的长;(2)求弦CD的长. - ？
钟离阎关节：[答案] 如图,连接OC,则CF=DF; ∵AB=10, ∴OA=5, ∵ON:AN=2:3, ∴ON=2, ∵∠ANC=30°, ∴∠ONM=30°, ∴OM= 1 2ON=1; (2)由勾股定理得: CM2=CO2-OM2 =25-1=24, ∴CM=2 6, ∴CD=2CM=4 6.

绩溪县13657042781： 如图,已知AB是圆O的直径,AB=10,弦CD与AB相交于点E,∠AEC=30°,OE:AE=2:3,求弦CD的长. - ？
钟离阎关节：[答案] 过点O作OF⊥CD于F,连接DO, ∵AB=10, ∴AO=OB=OD=5, ∵OE:AE=2:3, ∴OE=2cm. ∵∠AEC=30°, ∴∠OEF=30°, ∴OF= 1 2OE=1(cm); ∴DF= OD2-OF2=2 6, 由垂径定理得:CD=2DF=4 6.

绩溪县13657042781： 已知,如图:AB为⊙O的直径,AB=AC,BC交⊙O于点D,AC交⊙O于点E,∠BAC=45°.给出以下四个结论:①∠EBC=22.5°;②BD=DC;③劣弧AE是劣弧DE的2... - ？
钟离阎关节：[答案] 连接AD,OE,OD, ∵AB为⊙O的直径, ∴∠ADB=∠AEB=90°, 即AD⊥BC, ∵AB=AC, ∴BD=DC; 故②正确; ∵∠BAC=45°, ∴∠ABC=∠ACB=67.5°,∠ABE=90°-∠BAC=45°, ∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=22.5°; 故①正确; ∵∠DOE=2∠DAE=∠...

绩溪县13657042781： 如图,AB是圆O的直径,AB等于10,BC,CD,DA是圆O的弦,且BC等于CD等于DA,若点P是直径AB上的一动点.则PD加PC的如图,AB是圆O的直径,AB等... - ？
钟离阎关节：[答案] 首先楼主可以自己先画出图来,把D点做关于AB的对称点,链接CD,与AB的交点即为最短距离点,因此最短距离是直径10,

绩溪县13657042781： 如图:AB为圆O的直径,AB=AC,BC交圆O于点D,AC交圆O于点E,角BAC=45度.求证:BC²=2AB*CE - ？
钟离阎关节：[答案] 因为AB是圆O的直径 所以角ADB=90度 所以AD是三角形ABC的垂线 因为AB=AC 所以三角形ABC是等腰三角形 所以AD是等腰三角形ABC的中垂线 所以CD=BD=1/2BC 由圆幂定理得: CE*AC=CD*BC 所以AC*CE=1/2BC^2 所以BC^2=2AC*CE

绩溪县13657042781： 如图 AB是圆O的直径,CD是圆O的弦,AB、CD的延长线交于点E,已知AB=2CD,∠E=18度,求∠ADC - ？
钟离阎关节：[答案] 连结OD, 因为 AB是圆O的直径,AB=2DE, 所以 OD=DE, 因为 角AEC=18度, 所以 角BOD=角AEC=18度, 所以 角ODC=角 BOD+角AEC(三角形外角定理) =18度+18度 ...

绩溪县13657042781： 如图,已知AB是圆O的直径,AB=2,角BAC=30度,点C在圆O上,过点C与圆O相切的直线交AB的延长线于点D,求BD长？
钟离阎关节： 解:连接OC则角DOC=60度,角CDO=30度 ,在直角三角形DOC中OC=1,30度所对的直角边是斜边的一半,故:OD=2,所以:BD=OD-OB=2-1=1

绩溪县13657042781： 已知AB是圆O的直径,且|AB|=2a,点M为圆上一动点,已知AB是圆O的直径,且|AB|=2a,点M为圆上一动点,作MN⊥AB,垂足为N,在OM上取点P,使|OP... - ？
钟离阎关节：[答案] 以圆心为坐标原点,直径AB为X轴建立直角坐标系.设点P(x,y),P(a|sint|cost,a|sint|sint)====>x=a|sint|cost,y=a|sint|sint.消去参数t,注意|y|=a(sint)^2,===>x^2+y^2=[a|sint|]^2=a|y|.===>x^2+y^2=a|y|....

绩溪县13657042781： 已知AB是圆o的直径,AB=20,点P是AB所在直线上一点 - ？
钟离阎关节： 从O点做一条垂直线,垂直于PC于点E 因为角BPC=30°,OP=16,OE垂直于PC,所以DE=8 又因为OC=1/2AB=10,OE垂直于PC,所以CE=6 因为CE=1/2CD,所以CD=12