证明偏导数存在不可微

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲（2023年9月修订）

一、考试性质

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性

考试．高等院校根据考生的成绩，按照已确定的招生计划，择优录取．因此，考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度．

二、考试内容与基本要求

（一）能力要求

高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查．

思维能力表现为对问题进行分析、综合，科学推理，并能准确地表述．数学思维能力表

现为以数学知识为素材，通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方

面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断．

运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，

寻找与设计合理、简洁的运算途径．运算包括对数字的计算，对式子的组合变形与分解变形，

对几何图形各几何量的计算求解等．

实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生

产、生活和相关学科中的简单数学问题．

（二）内容与要求

《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力，

在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校（工科专业）专科生高等数学的基本要求，为

进一步学习奠定基础．

对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，且高一

级的层次要求包含低一级的层次要求．

了解(A)：对所列知识内容有初步的认识，会在有关问题中进行识别和直接应用．

理解(B)：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并利用所列

知识解决简单问题．

掌握(C)：对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有

关问题．

灵活和综合运用(D)：系统地把握知识的内在联系，并能运用相关知识分析、解决较复

杂的或综合性的问题．

具体内容与要求详见表1—表7．

1

考试内容

考试要求

A

B

C

D

函

数

函数概念的两个要素（定义域和对应规则）

√

分段函数

√

函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性

√

反函数，复合函数

√

基本初等函数的性质和图像，初等函数

√

极

限

极限（含左、右极限）的定义

√

极限存在的充要条件

√

极限四则运算法则

√

两个重要极限

√

无穷大、无穷小的概念及相互关系，无穷小的性质

√

无穷小量的比较

√

用等价无穷小求极限

√

连

续

性

函数在一点处连续、间断的概念

√

间断点的类型：包括第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）及第二

类间断点

√

初等函数的连续性

√

闭区间上连续函数的性质（介值定理，零点定理和最大值、最小值定理）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

导数的概念及其几何意义

√

可导性与连续性的关系

√

函数，极限，连续性

表1

一元函数微分学

表2

2

导数

与

微分

平面曲线的切线方程与法线方程

√

导数的基本公式，四则运算法则和复合函数的求导方法

√

微分的概念，微分的四则运算，可微与可导的关系

√

高阶导数的概念

√

显函数一、二阶导数及一阶微分的求法

√

隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法

√

由参数方程所确定的函数的二阶导数

√

中值

定理

与

导数

应用

罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论

√

罗必达法则

√

未定型的极限

√

函数的单调性及判定

√

函数的极值及求法

√

函数曲线的凹凸性及判定，拐点的求法

√

函数的最大值、最小值

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

不

定

积

分

原函数的概念、原函数存在定理

√

不定积分的概念及性质

√

不定积分的第一、二类换元法，分部积分法

√

简单有理函数的积分

√

定

积

分

定积分的概念及其几何意义

√

定积分的基本性质

√

变上限函数及导数

√

一元函数积分学

表3

考试内容

考试要求

A

B

C

D

多元

函数

的极

限与

连续

多元函数的概念，二元函数的定义域

√

二元函数的极限与连续性

√

偏导

数与

全微

分

偏导数的概念

√

二元函数一、二阶偏导数的求法

√

求复合函数与隐函数的一阶偏导数（仅限一个方程确定的隐函数）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

向量

代数

空间直角坐标系，向量的概念，向量的坐标表示法

√

单位向量及方向余弦

√

向量的线性运算，数量积和向量积运算

√

向量平行、垂直的充要条件

√

空间

解析

几何

平面的方程及其求法

√

空间直线的方程及其求法

√

平面、直线的位置关系（平行、垂直）

√

牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法

√

定积

分的

应用

平面图形的面积

√

旋转体的体积

√

向量代数与空间解析几何

表4

多元函数微分学

表5

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念

√

一阶

方程

一阶可分离变量方程

√

一阶线性方程

√

二阶

方程

二阶常系数线性齐次微分方程

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

与

计算

二重积分的概念及性质、几何意义

√

直角坐标系下计算二重积分

√

交换积分次序

√

极坐标系下计算二重积分

√

偏导

数的

应用

二元函数的全微分

√

二元函数的无条件极值

√

空间曲面的切平面方程和法线方程

√

二重积分

表6

常微分方程

表7

考试为闭卷、笔试，试卷满分为150分，考试限定用时为120分钟．

全卷包括I卷和II卷，I卷为选择题，II卷为非选择题．试题分选择题、填空题和解答

题三种题型．选择题是四选一类型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出

计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演

算步骤或证明过程．三种题型（选择题、填空题和解答题）题目数分别为6、6、5，整卷共

17道题；选择题和填空题约占总分的48%左右，解答题约占总分的52%左右，试卷包括容

5

易题、中等难度题和较难题，总体难度适当，以中等难度题为主．

四、题型示例

为了便于理解考试内容和要求，特编制下列题型示例，以供参考．所列样题力求体现试

题的各种题型及其难度，它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.

（一）选择题

1．函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为

A．[1，2]

B．(1，2]

C．(2，1)

D．[2，1)

答案：B

2．当x0时，与x等价的无穷小量是

A．tanx

B．2sinx

C．e2x1

D．ln(1x)

答案：A

dx0

costdt

3．

A．sinx2

答案：C

（二）填空题

x29

1．极限lim

x3x22x3

3

答案：

2

B．2xsinx2

_____________.

C．cosx2

D．2xcosx2

2．函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.

答案：3

3．函数zln(3xy)的全微分dz_____________.

答案：

3d xdy

3xy

（三）解答题

1．求二元函数f(x，y)x3y33xy5所有的极值点和极值

答案：

fx3x23y0，

解：由方程组2得驻点(0，0)，(1，1).

fy3y3x0

又Afxx6x，Bfxyfyx3，Cfyy6y.

对于驻点(0，0)：A0，B3，C0，由B2AC90知(0，0)不是极值点.

6

对于驻点(1，1)：A6，B3，C6，由B2AC270且A0知(1，1)是极小

值点，极小值f(1，1)4.

因此，函数f(x，y)有极小值点(1，1)，极小值为4.

x2t1，

x3 y1 z1

2．求通过直线l1:y3t2，和直线l2:的平面的方程.

z2t3232

答案：

解：由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2，3，2)，取直线l1上一点P1(-1，2，-3)，取

直线l2上一点P2(3，-1，1)，

则平面的法向量

ijk



n=s1´P1P2=232=18(1，0，-1)，

4-34

故平面的方程为(x1)(z3)0，整理得xz20.

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高数 求给思路:类似题怎样证偏导数存在,怎样证是否可微
偏导存在与否可直接用定义求解 可知f（x，0）=0，所以有fx(0,0)=0 同理可知f（0，y）=0，所以有fy(0,0)=0 所以对（0,0）点的偏导是存在的 可微是说函数的全增量△f可以表示成A△x+B△y+o(p)的形式，而这里的o（p）是随着△x和△y 趋近于0而趋近于0 的 比如说这道题，△f（...

为什么偏导数存在不一定可微?
对于一元函数来说,可导和可微是等价的,而对多元函数来说,偏导数都存在,也保证不了可微性,这是因为偏导数仅仅是在特定方向上的函数变化率,它对函数在某一点附近的变化情况的描述是极不完整的.1,偏导数存在且连续,则函数必可微!2,可微必可导!3,偏导存在与连续不存在任何关系 其几何意义是：z=f（x...

证明在点(0,0)处f(x,y)连续且偏导数存在,但不可微
= lim(ρ→0)[(△x)(△y)\/(△x²+△y²)]²不存在，矛盾。因此 f(x,y) 在 (0,0) 不可微。

证明函数沿每个方向的方向导数均存在,但不可微 应该从何下手?_百度知 ...
任何方向均存在请用定义证明。然后就是2个偏导数。 然后取不同的值会得到不同的数值，说明虽然有偏导数但是不可微因为诶他一个点上的只能是一个方向。具体可查 pathological function。 有经典例题。我觉得必须是分段函数上的一点才会有这个特点。

在多元函数中,偏导数的存在是可微的吗?
偏导数存在，但不连续时，函数不可微。即使一个函数在某点处各个偏导数都存在，但如果函数在该点处不连续，那么该函数在该点处不可微。这是因为连续性是函数可微的必要条件之一，如果函数在该点处不连续，说明函数在该点附近发生了较大的波动，导致函数的变化率不连续，因此函数在该点处不可微。连续，...

可导必可微吗?
仅仅保证偏导数存在不一定可微，因此有：可微=>偏导数存在=>连续=>可积。可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导；可微与连续的关系：可微与可导是一样的；可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积；可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导；...

可微和偏导数存在的关系
可微和偏导数存在的关系：可微必然偏导数存在，偏导数存在不一定可微，若偏导数存在且偏导函数连续则必可微，但是可微只能推出偏导数存在，不能说明偏导函数连续。偏导数定义：在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许...

怎样说明函数在一点偏导数存在,,举例子说明!!
函数不一定连续。函数连续，偏导数不一定存在，函数不一定可微；函数不连续，偏导数不一定存在，函数不可微。在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。

证明:f(x,y)=根号下|xy|在(0,0)点处的偏导数存在但不可微
若 f(x,y) 在 (0,0) 可微，应有 △f(0,0)-[fx(0,0)△x + fy(0,0)△y]\/ρ = √|△x△y|\/√(△x²+△y²)= √[|△x△y|\/(△x²+△y²)] → 0 (ρ→0)，但 lim(ρ→0)[|△x△y|\/(△x²+△y²)]不存在，矛盾，故 f(x,...

怎么说明一个函数在一个点处不可微
可以理解为函数在某一点的增长率如果可以用沿x轴和y轴的增长率的线性组合来表示的话，那么这个函数即可微，如果不能表示的话，函数在此点虽可导但不可微。如果要证不可微要怎么证，首先看偏导数是否存在，如果不存在，那么不可微，如果存在，那么然后证（Δz－dz）／ρ极限是否为0，如果为0，则可微...

屠戚19492505070问： 证明偏导数存在但不可微分的题 - ？
封丘县乳癖回答： 只需要证明对x和y的偏导分别存在,但是对xy与对yx的二阶偏导不相等(也就是函数在该点不连续),就可以了.

屠戚19492505070问： 证明在点(0,0)处f(x,y)连续且偏导数存在,但不可微f(x,y)=x^2y^2/(x^2+y^2)^(3/2) - ？
封丘县乳癖回答：[答案] 教材上应该有类似的例题,依样画葫芦即可: 1)由于|[(x^2)(y^2)]/(x^2+y^2)^(3/2)| = [(x^2+y^2)^(1/2)]/4 → ... lim(ρ→0)[(△x²)(△y²)]/(△x²+△y²)² = lim(ρ→0)[(△x)(△y)/(△x²+△y²)]² 不存在,矛盾.因此 f(x,y) 在 (0,0) 不可微....

屠戚19492505070问： 证明 xy/√x^2+y^2 原点连续 偏导存在 不可微请注意有根号 - ？
封丘县乳癖回答：[答案] ∵| xy/√x^2+y^2-0|≤(1/2)√x^2+y^2 ∴xy/√x^2+y^2 在原点连续. fx(0,0)=lim(x→0)(0-0)/(x-0)=0 fy(0,0)=lim(y→0)(0-0)/(y-0)=0 ∴xy/√x^2+y^2 在原点偏导存在 lim(x→0,y→0)([xy/√x^2+y^2]/√x^2+y^2不存在. ∴xy/√x^2+y^2 在原点不可微

屠戚19492505070问： 证明在点(0,0)处f(x,y)连续且偏导数存在,但不可微 - ？
封丘县乳癖回答： 教材上应该有类似的例题,依样画葫芦即可:1)由于 |[(x^2)(y^2)]/(x^2+y^2)^(3/2)|<= {{[(x^2)+(y^2)]/2}^2}/(x^2+y^2)^(3/2)= [(x^2+y^2)^(1/2)]/4 → 0,(x,y)→(0,0),可知 lim[(x,y)→(0,0)]f(x,y) = 0 = f(0,0).2)由 lim(x→0)[f(x,0)-f(0,0)]/x ...

屠戚19492505070问： 如果二元函数的某个偏导数在一个点不连续那么该函数就在该点不可微吗?如果要证不可微要怎么证. - ？
封丘县乳癖回答：[答案] 如果二元函数的某个偏导数在一个点不连续那么该函数就在该点不可微吗? 不一定. 如果要证不可微要怎么证. 首先看偏导数是否存在. 如果不存在,那么不可微 如果存在,那么 然后证 (Δz-dz)/ρ极限是否为0 如果为0,则可微,否则不可微.

屠戚19492505070问： 假设f(x,y)=x2yx2+y2(x2+y2≠0)0(x2+y2=0),试证明:f(x,y)在(0,0)连续,且偏导数存在,但此点不可微. - ？
封丘县乳癖回答：[答案] 证明:设x=rcosθ,y=rsinθ,则lim(x,y)→(0,0)f(x,y)=limr→0r3cosθsinθr2=limr→0rsinθcosθ而sinθcosθ是有界函数∴lim(x,y)→(0,0)f(x,y)=0=f(0,0)故f(x,y)在(0,0)连续又f′x(0,0)=lim△...

屠戚19492505070问： 函数可微的问题可微可以推出偏导数存在,反之不成立.能不能举个偏导数存在但不可微的例子,他的图形是什么样的?最好给出图形啊,可微函数是那种平滑... - ？
封丘县乳癖回答：[答案] f(x,y)=xy/[(x^2+y^2)^0.5],(x^2+y^2不等于0)f(x,y)=0,(x^2+y^2等于0)这个就是偏导数存在但在(0,0)点不可微的例子 图像么 就是在(0,0)点突变的那种感觉

屠戚19492505070问： 微积分:设f(x y)=【(xy)^2】/【(x^2+y^2)^3/2 】证明:f(x y)在点(0 0)处连续且偏导数存在 但不可微. - ？
封丘县乳癖回答：[答案] 按题目的要求还是要补充原点的定义,f(0,0)=0 化为极坐标 f=(r^4* (sin(2θ)/2)^2)/ r^3=1/4 *r (sin(2θ))^2 观察函数图像,结合定义,是不难证明函数的连续性(|f(x)|

屠戚19492505070问： 一小时内急求!!!证明 xy/√x^2+y^2 原点连续 偏导存在 不可微 - ？
封丘县乳癖回答： ∵| xy/√x^2+y^2-0|≤(1/2)√x^2+y^2 ∴xy/√x^2+y^2 在原点连续. fx(0,0)=lim(x→0)(0-0)/(x-0)=0 fy(0,0)=lim(y→0)(0-0)/(y-0)=0 ∴xy/√x^2+y^2 在原点偏导存在 lim(x→0,y→0)([xy/√x^2+y^2]/√x^2+y^2不存在. ∴xy/√x^2+y^2 在原点不可微

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