多元函数如何证明连续

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲（2023年9月修订）

一、考试性质

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性

考试．高等院校根据考生的成绩，按照已确定的招生计划，择优录取．因此，考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度．

二、考试内容与基本要求

（一）能力要求

高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查．

思维能力表现为对问题进行分析、综合，科学推理，并能准确地表述．数学思维能力表

现为以数学知识为素材，通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方

面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断．

运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，

寻找与设计合理、简洁的运算途径．运算包括对数字的计算，对式子的组合变形与分解变形，

对几何图形各几何量的计算求解等．

实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生

产、生活和相关学科中的简单数学问题．

（二）内容与要求

《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力，

在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校（工科专业）专科生高等数学的基本要求，为

进一步学习奠定基础．

对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，且高一

级的层次要求包含低一级的层次要求．

了解(A)：对所列知识内容有初步的认识，会在有关问题中进行识别和直接应用．

理解(B)：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并利用所列

知识解决简单问题．

掌握(C)：对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有

关问题．

灵活和综合运用(D)：系统地把握知识的内在联系，并能运用相关知识分析、解决较复

杂的或综合性的问题．

具体内容与要求详见表1—表7．

1

考试内容

考试要求

A

B

C

D

函

数

函数概念的两个要素（定义域和对应规则）

√

分段函数

√

函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性

√

反函数，复合函数

√

基本初等函数的性质和图像，初等函数

√

极

限

极限（含左、右极限）的定义

√

极限存在的充要条件

√

极限四则运算法则

√

两个重要极限

√

无穷大、无穷小的概念及相互关系，无穷小的性质

√

无穷小量的比较

√

用等价无穷小求极限

√

连

续

性

函数在一点处连续、间断的概念

√

间断点的类型：包括第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）及第二

类间断点

√

初等函数的连续性

√

闭区间上连续函数的性质（介值定理，零点定理和最大值、最小值定理）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

导数的概念及其几何意义

√

可导性与连续性的关系

√

函数，极限，连续性

表1

一元函数微分学

表2

2

导数

与

微分

平面曲线的切线方程与法线方程

√

导数的基本公式，四则运算法则和复合函数的求导方法

√

微分的概念，微分的四则运算，可微与可导的关系

√

高阶导数的概念

√

显函数一、二阶导数及一阶微分的求法

√

隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法

√

由参数方程所确定的函数的二阶导数

√

中值

定理

与

导数

应用

罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论

√

罗必达法则

√

未定型的极限

√

函数的单调性及判定

√

函数的极值及求法

√

函数曲线的凹凸性及判定，拐点的求法

√

函数的最大值、最小值

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

不

定

积

分

原函数的概念、原函数存在定理

√

不定积分的概念及性质

√

不定积分的第一、二类换元法，分部积分法

√

简单有理函数的积分

√

定

积

分

定积分的概念及其几何意义

√

定积分的基本性质

√

变上限函数及导数

√

一元函数积分学

表3

考试内容

考试要求

A

B

C

D

多元

函数

的极

限与

连续

多元函数的概念，二元函数的定义域

√

二元函数的极限与连续性

√

偏导

数与

全微

分

偏导数的概念

√

二元函数一、二阶偏导数的求法

√

求复合函数与隐函数的一阶偏导数（仅限一个方程确定的隐函数）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

向量

代数

空间直角坐标系，向量的概念，向量的坐标表示法

√

单位向量及方向余弦

√

向量的线性运算，数量积和向量积运算

√

向量平行、垂直的充要条件

√

空间

解析

几何

平面的方程及其求法

√

空间直线的方程及其求法

√

平面、直线的位置关系（平行、垂直）

√

牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法

√

定积

分的

应用

平面图形的面积

√

旋转体的体积

√

向量代数与空间解析几何

表4

多元函数微分学

表5

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念

√

一阶

方程

一阶可分离变量方程

√

一阶线性方程

√

二阶

方程

二阶常系数线性齐次微分方程

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

与

计算

二重积分的概念及性质、几何意义

√

直角坐标系下计算二重积分

√

交换积分次序

√

极坐标系下计算二重积分

√

偏导

数的

应用

二元函数的全微分

√

二元函数的无条件极值

√

空间曲面的切平面方程和法线方程

√

二重积分

表6

常微分方程

表7

考试为闭卷、笔试，试卷满分为150分，考试限定用时为120分钟．

全卷包括I卷和II卷，I卷为选择题，II卷为非选择题．试题分选择题、填空题和解答

题三种题型．选择题是四选一类型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出

计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演

算步骤或证明过程．三种题型（选择题、填空题和解答题）题目数分别为6、6、5，整卷共

17道题；选择题和填空题约占总分的48%左右，解答题约占总分的52%左右，试卷包括容

5

易题、中等难度题和较难题，总体难度适当，以中等难度题为主．

四、题型示例

为了便于理解考试内容和要求，特编制下列题型示例，以供参考．所列样题力求体现试

题的各种题型及其难度，它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.

（一）选择题

1．函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为

A．[1，2]

B．(1，2]

C．(2，1)

D．[2，1)

答案：B

2．当x0时，与x等价的无穷小量是

A．tanx

B．2sinx

C．e2x1

D．ln(1x)

答案：A

dx0

costdt

3．

A．sinx2

答案：C

（二）填空题

x29

1．极限lim

x3x22x3

3

答案：

2

B．2xsinx2

_____________.

C．cosx2

D．2xcosx2

2．函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.

答案：3

3．函数zln(3xy)的全微分dz_____________.

答案：

3d xdy

3xy

（三）解答题

1．求二元函数f(x，y)x3y33xy5所有的极值点和极值

答案：

fx3x23y0，

解：由方程组2得驻点(0，0)，(1，1).

fy3y3x0

又Afxx6x，Bfxyfyx3，Cfyy6y.

对于驻点(0，0)：A0，B3，C0，由B2AC90知(0，0)不是极值点.

6

对于驻点(1，1)：A6，B3，C6，由B2AC270且A0知(1，1)是极小

值点，极小值f(1，1)4.

因此，函数f(x，y)有极小值点(1，1)，极小值为4.

x2t1，

x3 y1 z1

2．求通过直线l1:y3t2，和直线l2:的平面的方程.

z2t3232

答案：

解：由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2，3，2)，取直线l1上一点P1(-1，2，-3)，取

直线l2上一点P2(3，-1，1)，

则平面的法向量

ijk



n=s1´P1P2=232=18(1，0，-1)，

4-34

故平面的方程为(x1)(z3)0，整理得xz20.

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怎样证明函数的连续性
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如何证明多元函数连续、偏导存在和可微?求实例
如讨论2元函数f(x,y)在（x1,y1）,偏导存在的条件：x的偏导存在，y的偏导存在。（用定义求，课本上有详细求法）。连续性只要看该函数趋于点(x1,y1)的极限指是否等于f（x1,y1）。可微有两种方法，一是证明了该函数在点（x1,y1）处的偏导连续。二是用定义法，定义法结果趋于0则不可微。明天...

多元函数的连续性证明~
红线部分表示P、P。之间的距离。多元函数不是都连续的，甚至在某点极限都不存在，例子教科书上有。如分段函数f(x,y)在x^2+y^2=0时等于0，在x^2+y^2不等于0时为xy\/(x^2+y^2),这个函数在(0,0)处极限不存在，故在（0，0）处不连续。只有初等多元函数在其定义域内才连续的。

如何判断一个函数的连续性
判断函数连续的三种方法：1、求出该点左右极限，若左极限等于右极限且等于函数在此处的函数值，则说明函数在此点连续。2、从图像上看，若图像是一条不断开的曲线，则函数连续；若图像从某点处断开，则函数在该点就不连续。3、若一个函数在该点处可导，那么这个函数一定连续。函数连续性的定义：设...

数学求证明函数连续
第一问不证明，在非（0,0）点，f(x,y)是初等多元函数，初等多元函数在定义域内必连续 第二问证明如下：x,y-->0时，令y=Kx,(k是非0常数），则f(x,y)=k^3\/(1+k^2)^2这个值随着k不同而不同，也就是在（0，0）点f(x,y)没极限，故在（0,0)不连续 ...

求第六题二元函数连续性的证明。数学分析。
f(x,y)在矩形区域S=[a,b]x[c,d]上连续，因为S是闭区域，所以f(x,y)在S上一致连续。因此，任给ε＞0，存在Δ＞0，当||(x1,y1)-(x2,y2)||＜Δ，|f(x1,y1)-f(x2,y2)|＜ε。把y1,y2换成φn(x),φm(x)，(x,φn(x)),(x,φm(x))∈S。根据条件，对这个Δ＞0，...

证明二元函数的连续性的问题
1）利用不等式 |xy\/√(x^2+y^2)| ≤ √(|xy|\/2) → 0 ((x,y)→(0,0))，即得。2）利用不等式 |(y^2)ln(x^2+y^2)| = |(y^2)ln[1+(x^2+y^2-1)]| ≤ (y^2)|x^2+y^2-1| ≤ (y^2)[(x^2+y^2)+1]→ 0 ((x,y)→(0,0))，即得。

31题,为什么求多元函数的连续它要让y=x方,而不是直接limf(x,0)=0...
多元函数连续的条件是沿任意路径趋于(0,0)，它的结果一样。这里因为是要证明它不连续，只要找一个反例就可以了。y = x^2 与 y = -x^2 正好就提供了一个反例。但这样的反例不是唯一的。你可以沿 y = x^3 趋于零，得f(x,y)的极限为零，沿 y = 2x^2 趋于零，得f(x,y)的极限为2...

求:证明二元函数在一点连续的证明思路与方法
在点P0（x0,y0)的某领域内有定义,如果lim(Δx→0,Δy→0)Δz=0,或者（1）z=f(x,y)在点P0（x0,y0)的某领域内有定义（2）lim(Δx→0,Δy→0)f(x,y)存在（3）lim(Δx→0,Δy→0)f(x,y)=f(x0,y0)不连续就反证法.

证明函数连续的条件是什么?
证明函数连续的条件：在开区间，左区间右连续，右区间左连续，在整个定义区间函数是连续的。函数连续：函数y=f(x)当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的...

衅汤15812358396问： 多元函数的连续性证明~如图,任何多元函数都连续对吗?举个例子, - ？
阿尔山市氯氮回答：[答案] 红线部分表示P、P.之间的距离. 多元函数不是都连续的,甚至在某点极限都不存在,例子教科书上有.如分段函数f(x,y)在x^2+y^2=0时等于0,在x^2+y^2不等于0时为xy/(x^2+y^2),这个函数在(0,0)处极限不存在,故在(0,0)处不连续. 只有初等多元...

衅汤15812358396问： 求:证明二元函数在一点连续的证明思路与方法 - ？
阿尔山市氯氮回答：[答案] 在点P0(x0,y0)的某领域内有定义,如果lim(Δx→0,Δy→0)Δz=0,或者(1)z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某领域内有定义(2)lim(Δx→0,Δy→0)f(x,y)存在(3)lim(Δx→0,Δy→0)f(x,y)=f(x0,y0)不连续就反证法.

衅汤15812358396问： 多元函数的偏导数如何确定其连续在某点与否(不要使用可微推导)这个我没说清楚,试问如何确定其在某个区域内连续与否 - ？
阿尔山市氯氮回答：[答案] 偏导数存在与函数连续没有什么关系 好像有两条: 偏导数在此点的增量为零 偏导数的极限值等于函数值

衅汤15812358396问： 怎么证明函数在某点处连续? - ？
阿尔山市氯氮回答：[答案] 首先,函数在该点要有定义;然后,函数在该点要存在极限(即左极限要等于右极限);最后,函数在该点的极限值还必须等于函数在该点的函数值.就是要这三点同时满足,就可以说函数在该点连续.

衅汤15812358396问： 怎么证明函数的连续性? ？
阿尔山市氯氮回答： 证明一个分段函数是连续函数.首先看各分段函数的函数式是不是连续,然后看分段函数的分段点,左右极限是否相等并等于函数值.分段点处的左极限用左边的函数式做...

衅汤15812358396问： 高数,多元函数的连续性,我搞不懂哎,请问有谁能用简易的语言简单的例子,让我明白怎么证多元函数的连续？
阿尔山市氯氮回答： 方法很多,可以用放缩法,利用已知连续函数法等等,总之就是要用ε-δ的方法找到能使得f(x,y)-f(x0,y0)绝对值小于ε的关于点(x0,y0)的邻域

衅汤15812358396问： 如何证明多元函数连续、偏导存在和可微?求实例 - ？
阿尔山市氯氮回答： 如讨论2元函数f(x,y)在(x1,y1),偏导存在的条件:x的偏导存在,y的偏导存在.(用定义求,课本上有详细求法).连续性只要看该函数趋于点(x1,y1)的极限指是否等于f(x1,y1).可微有两种方法,一是证明了该函数在点(x1,y1)处的偏导连续.二是用定义法,定义法结果趋于0则不可微.明天给你穿一个实例,现在不方便找.

衅汤15812358396问： 微分过程怎么证明函数可微啊.多元函数.. - ？
阿尔山市氯氮回答：[答案] 证明函数连续,连续的条件是“左极限=右极限”,且在左右极限连接点有定义 ,且其值=极限值 多元函数:偏导存在且连续

衅汤15812358396问： 怎么证明函数在某点上可微 我会证明连续和可导 怎么证可微呢是多元函数的一阶偏导数 证明可微 - ？
阿尔山市氯氮回答：[答案] 是对于多元函数来说,要证明在某一点是可微的,需要求出函数对各个未知数的偏导数.由于知道,各个偏导函数在这个点是连续的,则证明原函数在该点是可微的.证明是连续的方法也是 求出 左右极限,然后看这个极限值是否等于原函数在该点的原...

衅汤15812358396问： 如何证明函数在区间内连续? - ？
阿尔山市氯氮回答：[答案] 1.连续条件:在某点的左右极限相等 2.实际的应用 先判断是否有奇点(无意义点),在判断该点的左右极限是否相等 F(X)=1/(X+1) X>-1 在定义域内无无意义点,连续 2.F(X)=X-1/X^2-4 -2

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