求偏导数的题目及答案
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲（2023年9月修订）
一、考试性质
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性
考试．高等院校根据考生的成绩，按照已确定的招生计划，择优录取．因此，考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度．
二、考试内容与基本要求
（一）能力要求
高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查．
思维能力表现为对问题进行分析、综合，科学推理，并能准确地表述．数学思维能力表
现为以数学知识为素材，通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方
面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断．
运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，
寻找与设计合理、简洁的运算途径．运算包括对数字的计算，对式子的组合变形与分解变形，
对几何图形各几何量的计算求解等．
实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生
产、生活和相关学科中的简单数学问题．
（二）内容与要求
《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力，
在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校（工科专业）专科生高等数学的基本要求，为
进一步学习奠定基础．
对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，且高一
级的层次要求包含低一级的层次要求．
了解(A)：对所列知识内容有初步的认识，会在有关问题中进行识别和直接应用．
理解(B)：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并利用所列
知识解决简单问题．
掌握(C)：对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有
关问题．
灵活和综合运用(D)：系统地把握知识的内在联系，并能运用相关知识分析、解决较复
杂的或综合性的问题．
具体内容与要求详见表1—表7．
1
考试内容
考试要求
A
B
C
D
函
数
函数概念的两个要素（定义域和对应规则）
√
分段函数
√
函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性
√
反函数，复合函数
√
基本初等函数的性质和图像，初等函数
√
极
限
极限（含左、右极限）的定义
√
极限存在的充要条件
√
极限四则运算法则
√
两个重要极限
√
无穷大、无穷小的概念及相互关系，无穷小的性质
√
无穷小量的比较
√
用等价无穷小求极限
√
连
续
性
函数在一点处连续、间断的概念
√
间断点的类型：包括第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）及第二
类间断点
√
初等函数的连续性
√
闭区间上连续函数的性质（介值定理，零点定理和最大值、最小值定理）
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
导数的概念及其几何意义
√
可导性与连续性的关系
√
函数，极限，连续性
表1
一元函数微分学
表2
2
导数
与
微分
平面曲线的切线方程与法线方程
√
导数的基本公式，四则运算法则和复合函数的求导方法
√
微分的概念，微分的四则运算，可微与可导的关系
√
高阶导数的概念
√
显函数一、二阶导数及一阶微分的求法
√
隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法
√
由参数方程所确定的函数的二阶导数
√
中值
定理
与
导数
应用
罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论
√
罗必达法则
√
未定型的极限
√
函数的单调性及判定
√
函数的极值及求法
√
函数曲线的凹凸性及判定，拐点的求法
√
函数的最大值、最小值
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
不
定
积
分
原函数的概念、原函数存在定理
√
不定积分的概念及性质
√
不定积分的第一、二类换元法，分部积分法
√
简单有理函数的积分
√
定
积
分
定积分的概念及其几何意义
√
定积分的基本性质
√
变上限函数及导数
√
一元函数积分学
表3
考试内容
考试要求
A
B
C
D
多元
函数
的极
限与
连续
多元函数的概念，二元函数的定义域
√
二元函数的极限与连续性
√
偏导
数与
全微
分
偏导数的概念
√
二元函数一、二阶偏导数的求法
√
求复合函数与隐函数的一阶偏导数（仅限一个方程确定的隐函数）
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
向量
代数
空间直角坐标系，向量的概念，向量的坐标表示法
√
单位向量及方向余弦
√
向量的线性运算，数量积和向量积运算
√
向量平行、垂直的充要条件
√
空间
解析
几何
平面的方程及其求法
√
空间直线的方程及其求法
√
平面、直线的位置关系（平行、垂直）
√
牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法
√
定积
分的
应用
平面图形的面积
√
旋转体的体积
√
向量代数与空间解析几何
表4
多元函数微分学
表5
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念
√
一阶
方程
一阶可分离变量方程
√
一阶线性方程
√
二阶
方程
二阶常系数线性齐次微分方程
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
与
计算
二重积分的概念及性质、几何意义
√
直角坐标系下计算二重积分
√
交换积分次序
√
极坐标系下计算二重积分
√
偏导
数的
应用
二元函数的全微分
√
二元函数的无条件极值
√
空间曲面的切平面方程和法线方程
√
二重积分
表6
常微分方程
表7
考试为闭卷、笔试，试卷满分为150分，考试限定用时为120分钟．
全卷包括I卷和II卷，I卷为选择题，II卷为非选择题．试题分选择题、填空题和解答
题三种题型．选择题是四选一类型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出
计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演
算步骤或证明过程．三种题型（选择题、填空题和解答题）题目数分别为6、6、5，整卷共
17道题；选择题和填空题约占总分的48%左右，解答题约占总分的52%左右，试卷包括容
5
易题、中等难度题和较难题，总体难度适当，以中等难度题为主．
四、题型示例
为了便于理解考试内容和要求，特编制下列题型示例，以供参考．所列样题力求体现试
题的各种题型及其难度，它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.
（一）选择题
1．函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为
A．[1，2]
B．(1，2]
C．(2，1)
D．[2，1)
答案：B
2．当x0时，与x等价的无穷小量是
A．tanx
B．2sinx
C．e2x1
D．ln(1x)
答案：A
dx0
costdt
3．
A．sinx2
答案：C
（二）填空题
x29
1．极限lim
x3x22x3
3
答案：
2
B．2xsinx2
_____________.
C．cosx2
D．2xcosx2
2．函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.
答案：3
3．函数zln(3xy)的全微分dz_____________.
答案：
3d xdy
3xy
（三）解答题
1．求二元函数f(x，y)x3y33xy5所有的极值点和极值
答案：
fx3x23y0，
解：由方程组2得驻点(0，0)，(1，1).
fy3y3x0
又Afxx6x，Bfxyfyx3，Cfyy6y.
对于驻点(0，0)：A0，B3，C0，由B2AC90知(0，0)不是极值点.
6
对于驻点(1，1)：A6，B3，C6，由B2AC270且A0知(1，1)是极小
值点，极小值f(1，1)4.
因此，函数f(x，y)有极小值点(1，1)，极小值为4.
x2t1，
x3 y1 z1
2．求通过直线l1:y3t2，和直线l2:的平面的方程.
z2t3232
答案：
解：由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2，3，2)，取直线l1上一点P1(-1，2，-3)，取
直线l2上一点P2(3，-1，1)，
则平面的法向量
ijk
n=s1´P1P2=232=18(1，0，-1)，
4-34
故平面的方程为(x1)(z3)0，整理得xz20.
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高等数学中的偏导数问题?
如图所示，题目是求z对x的二阶偏导，所以首先要求出z对x的一阶偏导。
高数,一道非常简单的偏导数题目,我想看看我做对了没有,求答案啊,最好...
分两次求即可 ∂z\/∂x=f'(x^2-y^2)*∂(x^2-y^2)\/∂x=2xf'(x^2-y^2)再对y求偏导，∂^2z\/∂x∂y=2xf''(x^2-y^2)*∂(x^2-y^2)\/∂y=-4xyf''(x^2-y^2)
偏导数证明题,求详细解答过程
证明：直接对原等式求偏导，则：∂u\/∂x ={z\/[1+(x\/y)²]}·(1\/y)=yz\/(x²+y²)∂²u\/∂x²=-2xyz\/(x²+y²)²∂u\/∂y ={z\/[1+(x\/y)²]}·(-x\/y²)=-xz\/(x²+y...
一条关于偏导数的题目,请带详细过程,谢谢~
z=e^((4x²+y²)ln(x³+y²))，而后套用复合函数求导法则
求一阶偏导数 z=(1+xy)^(xy).以及图片的题目请指点迷津,谢谢各位大神...
ln z=xy*e的（1+xy）次方 求导~ 对x求导z'\/z=y*e^（1+xy）+x*e^(1+xy)*y^2再把z乘到右边 得 偏导z\/偏导x={y*e^（1+xy）+x*e^(1+xy)*y^2}*(1+xy)^(xy).同理，偏导z\/偏导y={x*e^（1+xy）+y*e^(1+xy)*x^2}*(1+xy)^(xy).第二题好像我已经回答过...
e的xy次方求e对x的偏导数
解：设z=e^(xy)所以，z=(e^y)^x因为求z对x的偏导数时，把y作为常量所以，e^y也是常量所以，题目求z对x的偏导数就是形如指数函数a^x对x的导数所以，z对x的偏导数=[(e^y)^x]×ln(e^y)因为(e^y)^x=e^(xy)且ln(e^y)=ylne=y所以，z对x的偏导数=y×[e^(xy)]...
想问下这题求偏导数的,为啥可以看出y和t是x的一元函数?题目没有说t...
可以这样理解，y=f(x,t)说明y是关于x和t的函数，（假如y=x+2t）又因为F（x,y,t）=0.也就是x,y,t是互相表示的(假如说就是x+y+t=0)因为y可以表示成x和t，所以F(x,y,t)=G(x,t)=0.也就是说t和x可以互相表示，也就是说t是x的函数。（比如上面的例子，x+y+t=0，可以化作x...
关于隐函数和偏导数的一个题目,如图。
关于隐函数和偏导数的一个题目,如图。 我来答 1个回答 #热议# 孩子之间打架 父母要不要干预?free二十一 2015-05-16 · TA获得超过101个赞 知道小有建树答主 回答量:123 采纳率:0% 帮助的人:98.8万 我也去答题访问个人页 关注 展开全部 本回答由提问者推荐 已赞过 已踩过< 你对这个...
高数一道求二阶连续偏导数的题目,有图求过程
2xyf1'+1\/xf2'对y求偏导！=2x*f1'+2xy*f11'*x^2+2xy*f12'* x\/xy+ 1\/x*f21'*x^2+1\/x f22' * x\/xy 这里，因为f12'=f21'所以，合并可得 2x*f12'+ x*f12'=3xf12'后一项化简：=1\/xy*f22’
洛川县灯盏回答：[答案] 2X^2 + 2Y^2 +Z^2 +8XZ +8=0 上式关于x求偏导:4x+2z*z'(关于x的偏导)+8z+8xz'(关于x的偏导)=0 可得出z'(关于x的偏导),二阶导类似这样进行.
蛮待13673223830问： 一道求偏导的题已知f(x0,y0)=3,f(x0,y0)对x的偏导为2,对y的偏导为4,求lnf(x0,y0)对x的偏导. - ？
洛川县灯盏回答：[答案] dlnf(x0,y0)/dx=1/f*df/dx=1/3*2 怎么算都是2/3啊.
蛮待13673223830问： 已知z=ln(x y) ,求Z的一阶和二阶偏导数, - ？
洛川县灯盏回答：[答案] 已知z=ln(x y) ,求Z的一阶和二阶偏导数 ∂z/∂x=y/xy=1/x;∂z/∂y=x/xy=1/y; ∂²z/∂x²=-1/x²;∂²z/∂y²=-1/y²; ∂²z/∂x∂y=0;∂²z/∂y∂x=0;
蛮待13673223830问： 一道高数求偏导数的题目z=f(x,y)=y^sinx 乘以ln(x^2+y^2) - ？
洛川县灯盏回答：[答案] z=f(x,y)=y^sinx*ln(x^2+y^2)∂z/∂x=cosxy^(sinx)lnyln(x^2+y^2)+2xy^sinx/(x^2+y^2)∂z/∂y=sinxy^(sinx-1)ln(x^2+y^2)+2yy^sinx/(x^2+y^2)
蛮待13673223830问： 求一个偏导数的题目z=lnx/y 求dz/dx和 dz/dy要求详细的过程别发错误的给我...免得容易脑乱 谢谢~ - ？
洛川县灯盏回答：[答案] 其实就是分别把x y当成常数而已 dz/dx=1/xy dz/dy=lnx*(1/y)'=-lnx/(y^2) 你看得明白吗? 这样不是一样的道理,呵呵,你可以先化成z=lnx-lny 然后dz/dx=1/x dz/dy=-1/y 都把其中一个看成常数,那么求导的时候就等于0了,
蛮待13673223830问： 求一个解偏导数的例子! - ？
洛川县灯盏回答：[答案] 偏导数的计算完全用的是导数计算的公式,只需将其中一个变量看作变量,其余变量当作常数,然后运用导数公式就行了,因此偏导数没有自己的公式.
蛮待13673223830问： 求高手解二阶偏导数试题.上题.1、例Z=f(x+y y2 - x2),其中Z=f(u v)只有二阶连续偏导数,求二阶偏导数.内个符号不会打,用6代替..6z方除以6x方,6Z方除以6X... - ？
洛川县灯盏回答：[答案] 1.u=x+y,v=y^2-x^2,所以6u/6x=1,6v/6x=-2x.有二阶连续偏导数,故6^2f/6u6v-=6^2f/6v6u 6z/6x=6f/6u*6u/6x+6f/6v*6v/6x=6f/6u-2x*6f/6v; 二阶导数:6^2z/6x^2=6^2f/6u^2*6u/6x+6^2f/6u6v*6v/6x-2*6f/6v -2x(6^2f/6v6u*6u/6x+6^2f/6v^2*6v/6x) =6^2f/6u^2-2x*...
蛮待13673223830问： 求偏导数,e^z=xyz,求对x和y的偏导数 - ？
洛川县灯盏回答：[答案] e^z*dz=xy*dz+yz*dx+xz*dy; 则dz=(yz/(e^z-xy))*dx+(xz/(e^z-xy))*dy; 然后,就不用解释了
蛮待13673223830问： 求一题关于高数偏导数的解答设x=x(y,z),y=y(x,z),z=(x,y)都是由方程F(x,y,z)=0所确定的具有连续偏导得函数,证明dx/dy*dy/dz*dz/dx= - 1由连续偏导函数x=x(y,z)得... - ？
洛川县灯盏回答：[答案] “∂x/∂y=-Fy/Fx”这是隐函数求导公式,在高数下册多元函数微分那一章.一般来说∂x/∂y是不能像一元函数dx/dy那样看出∂x和∂y相除的,因此一般不能约分,(∂x/∂y)*(∂...
蛮待13673223830问： 帮我解个偏导数的题啊!f(x,y)=(1+xy)^y,求fy(1,1) - ？
洛川县灯盏回答：[答案] z=(1+xy)^y,lnz=yln(1+xy),所以 z'(y)/z=ln(1+xy)+xy/(1+xy) (1,1)代入得: z'y(1,1)=1+2ln2
