收敛数列必有收敛子列
为什么有界数列必有收敛的子列?
存在M0大于0，对于任意的N大于0，当n大于N时，|xn|小于等于M0。取m1=N+1，则|xN+1|小于等于M0；取m2=N+2，则|xN+2|小于等于M0；依此下去，取mk=N+k，则|xN+k|小于等于M0。这样，便找到一个有界子列｛xmk｝，再由致密性定理知必存在收敛子列｛xnk（2）｝，综上，命题得证。
实数系六大基本定理
4、极限点定理（波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理、聚点定理）有界无限点集必有聚点。或者说：每个无穷有界集至少有一个极限点。5、有界闭区间的序列紧性（致密性定理）有界数列必有收敛子列。6、完备性（柯西收敛准则）数列收敛的充要条件是其为柯西列。或者说：柯西列必收敛，收敛数列必为柯西列。
任意发散数列都可以找到一个收敛子列么?
有界时可以，这就是致密性定理（或者说Weiertrass定理）的内容。至于无界的情形则不一定了，比如数列 1,2,……,n……不存在收敛的子列
无穷级数奇偶项收敛问题
如果级数 收敛，那么根据定义，必定有它的部分和序列 收敛。因为收敛数列的子列必定也收敛，并且极限相同，所以你说的也对，即 收敛。那么数列{S(N)}收敛是否能够推出级数 收敛呢？当然是不可以的，因为你自己也举出了反例，就是一部分条件收敛的级数，挑选出一些项进行求和，结果可能是发散的，所以问题...
怎么证明数列是收敛数列?
设数列{Xn}中所有点均在[a,b]内，下证{Xn}必有收敛子列 取[a,b]的中点c，则[a,c]和[c,b]中至少有一个区间内包含数列{Xn}的无穷项，设此区间为[a1，b1]任取[a1，b1]中{Xn}的一项，设为y1 取[a1,b1]的中点c1，则[a1,c1]和[c1,b1]中至少有一个区间内包含数列{Xn}的无穷项，...
【小结】实数域的基本定理
确界原理：非空集合若存在上界或下界，必定存在确界。单调有界原理：单调序列的有界性确保其收敛性。区间套定理：闭区间序列满足特定条件时，其交集包含一个实数，体现了实数的稠密性。聚点定理：有界无穷点集必定包含至少一个聚点，导出有界数列必有收敛子列，即致密性定理。有限覆盖定理：有限闭集的开覆盖...
实数系的基本定理有哪些,各有什么意义?
五、极限点定理（波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理、聚点定理）有界无限点集必有聚点。或者说：每个无穷有界集至少有一个极限点。六、有界闭区间的序列紧性（致密性定理）有界数列必有收敛子列。七、完备性（柯西收敛准则）数列收敛的充要条件是其为柯西列。或者说：柯西列必收敛，收敛数列必为柯西列。
关于收敛数列以及子数列
收敛数列不一定要是无穷数列，只不过有穷数列讨论收敛性是没有意义的，因为有穷数列是可列的N项，既然所有的项都可以用一个确定的数表示，那么肯定是收敛的，也就没有讨论收敛性的必要了1,2,3,4和5,5,5,5都是收敛的 2.还是一样的问题，一个数列必须要是无穷多项才有讨论的价值，可列有穷项...
,若数列{an}的任一子列中都必有一个收敛于a的子列,则{an}收敛于a
将∑n[an--a(n-1)]打开，=a1-a0+2a2-2a1+3a3-3a2+...+nan-na(n-1)=-a0-a1-...-a(n-1)+nan=nan-∑an，所以∑an=nan-∑n[an--a(n-1)]，由于nan和∑n[an--a(n-1)]都是收敛的，所以∑an也收敛。
举一个反例(任何数列都有收敛子列)
因为有界数列必含有收敛的子列，所以可以考虑举一个无界的数列。例如数列{an}满足an=n，不存在收敛的子列。
河曲县鱼腥回答：[答案] 证明:有界数列存在收敛的子列. 【证明】聚点定理:任意有界无穷数集至少有一个聚点. 对此数列,若有无穷多个相同的项,则此以这些相同的项构成的数列的为该数列的收敛子列. 若没有无穷多个相同的项,则该数列的每一个元素作为集合S的一个...
佛纯18561694753问： 证明:任何有界的复数列必有一个收敛的子数列. - ？
河曲县鱼腥回答： 设数列{Xn}中所有点均在[a,b]内,下证{Xn}必有收敛子列. 取[a,b]的中点c,则[a,c]和[c,b]中至少有一个区间内包含数列{Xn}的无穷项,设此区间为[a1,b1] 任取[a1,b1]中{Xn}的一项,设为y1 取[a1,b1]的中点c1,则[a1,c1]和[c1,b1]中至少有一个区间...
佛纯18561694753问： 调数列收敛的充分且必要条件是有一子列收敛,怎么证明单, - ？
河曲县鱼腥回答：[答案] 怎么证明单调数列收敛的充分且必要条件是有一子列收敛 A(n)数列收敛:显然任意子列收敛,当然有一子列收敛. 设A(nk)是A(n)的一个收敛于a的子列,于是对任给ε>0,存在K,当k>K时有: |A(nk)-a|
佛纯18561694753问： 证明,两个有界数列必有同下标的收敛子列 - ？
河曲县鱼腥回答： 因为有界数列必有收敛子列,先从第一个有界数列找出一个收敛子列,第二个有界数列的同下标的收敛子列也是有界数列,所以在此子列中可找出一个它的收敛子列,而此下标收敛子列在第一有界数列中同样收敛.
佛纯18561694753问： 证明:任何有界的复数列必有一个收敛的子数列. - ？
河曲县鱼腥回答：[答案] 1. 设有界的复数列{z(n)=a(n)+ib(n)}n∈N, |a(n)|≤|z(n)|≤M==> {a(n)}n∈N为有界的实数列,则必有一个收敛的子数列 {a(u(k))}k∈N,且Lim{k→∞}a(u(k))=a. |b(u(k))|≤|z((u(k))|≤M==> {b(u(k))}k∈N为有界的实数列,则必有一个收敛的子数列 {b(u(v(s)))}s∈N,...
佛纯18561694753问： 收敛数列的任意子列必定收敛 - 上学吧普法考试？
河曲县鱼腥回答：[答案] 是必要条件,即如果数列收敛,那么必定有界
佛纯18561694753问： 收敛数列是否一定有单调子列 - ？
河曲县鱼腥回答： 是的. 假设数列an收敛于A,则数列中必有无穷多项大于等于A,或者有无穷多项小于A.确定起见,设数列中有无穷多项大于等于A,这样的项构成an的子列bn.易知bn也收敛于A. 将b1作为c1,考虑b1后第一个介于A和b1之间的数(允许相等),将其作为c2,将之后第一个介于A和c2的数作为c3,以此类推,得到无穷数列cn(这样的步骤能无穷做下去,否则bn不收敛于A,得出矛盾),则cn为an的一个单调子列.
佛纯18561694753问： 收敛数列子列必收敛,发散数列子列必发散对吗 - ？
河曲县鱼腥回答： 发散数列子列必发散这是错的, 比如an=2∧(n*(-1)ⁿ) 他的奇数项子数列就是收敛的
