已知平行四边形ABCD中,连接AC，AC=BC，点P为BC上的一点，作∠APQ=60°且PQ与CD相相交于点Q,当∠B=60度时

（2014?定州市一模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC=BC，⊙O是经过A、B、C三点的圆，点P是BC上的一~

解答：（1）解：CD与⊙O相切．理由如下：作CE⊥AB于E，如图，∵CA=CB，∴CE平分AB，即CE为AB的垂直平分线，∴点O在CE上，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴CE⊥CD，即OC⊥CD，∴CD为⊙O的切线；（2）当AC=AP时，△CPA≌△ABC．证明如下：∵AC=BC，AC=AP，∴∠ABC=∠BAC，∠APC=∠ACP，∵∠ABC=∠APC，∴∠BAC=∠ACP，而AC=CA，∴△CPA≌△ABC，②当BP∥CE，BP⊥CD．

连接OM，ON，过点O作OH⊥AN，∴OM=2，OC=4，OH=1，AN=2HN=23，∴∠ACM=30°，∴CD=AB=23，∴扇形ECF的面积=120π62360=12π；△ACD的面积=AC×CD÷2=63；扇形AOM的面积=120π22360=43π；弓形AN的面积=120π22360-12×1×23=43π-433；△OCM的面积=12×2×23=23；∴阴影部分的面积=扇形ECF的面积-△ACD的面积-△OCM的面积-扇形AOM的面积-弓形AN的面积=（283π-2033）cm2．故答案为：（283π-2033）．

最简洁的方法应该如下:
1)证明:AC=BC,∠B=60°,则⊿ABC和⊿ADC均为等边三角形,得AB=BC;∠PCF=120°.
在BA上截取BE=BP,则AE=PC;连接PE.又∠B=60°,故⊿BPE为等边三角形,∠BEP=60°.
∵∠PAE=180°-∠B-∠APB=120°-∠APB;∠QPC=180°-∠APQ-∠APB=120°-∠APB.
∴∠PAE=∠QPC(等量代换);又AE=PC(已证);∠AEP=∠PCQ=120° .
∴⊿AEP≌⊿PCQ(ASA),AP=PQ.
2)解:设BP=PE=3m,则DQ=5m.
∵⊿AEP≌⊿PCQ(已证).
∴CQ=EP=3m;BC=AC=CD=8m,PC=BC-BP=5m.故CQ:PC=3:5.
∵∠PCD=∠QCK=60°.
∴点K到CQ和CP的距离相等(角平分线的性质);
则S⊿QKC:S⊿PKC=CQ:PC=3:5(等高三角形的面积比等于底之比);
又S⊿QKC:S⊿PKC=QK:PK(同高三角形的面积比等于底之比).
∴QK:PK=CQ:PC=3:5,则QK:PQ=3:8,QK=(3/8)PQ=(3/8)*7=21/8.

①∵AC＝BC，∠B＝60°∴ΔABC为等边三角形
∵ABCD为平行四边形
∴四边形ABCD为菱形
∴∠ACQ＝60°又∵∠APQ＝60°
∴四点A、P、C、Q共圆
∴∠PAC＝∠PQC，∠CPQ＝∠CAQ
∵∠BCQ＝120°∴∠PQC＋∠QPC＝60°
∴∠PAC＋∠CAQ＝60°
即∠PAQ＝60°又∵∠APQ＝60°∴ΔAPQ为等边三角形故AP＝PQ

②易证ΔBAP≌ΔCAQ，ΔPAC≌ΔQAD∴BP＝CQ，PC＝QD
∵BP：DQ＝3∶5，设BP＝3x，DQ＝5x∴CQ＝3x，PC＝5x
作QE⊥BE∵∠QCE＝60°∴CE＝CQ•sin30°＝3x/2
QE＝CQcos30°＝3√3/2
∴PE^2=(PC+CE)^2=(5x+3x/2)^2=(169x^2)/4
∵PQ^2＝PE^2＋QE^2
∴7^2=(169x^2)/4+(27x^2)/4=(196x^2)/4
解得x＝2
故BP＝6，DQ＝10，BC＝16
设QK＝a，CK＝b∴PK＝7－a，AK＝16－b
∵ΔAPK∽ΔQCK
∴CQ/AP=KQ/AK=CK/PK, 即6/7=a/(16-b)=b/(7-a)
解得a=420/13
故QK=420/13

 

 

 

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普陀区18882643788： 已知:平行四边形ABCD中,连接AC,AC=BC,点P为BC上一点,作角APQ=60度,且PQ与CD相交于点Q,当角B=60度时,？
弓亲卡纳： 连接AQ, AC=BC、∠B=60°→∠BAC=∠ACB=60°→∠ACD=60°=∠APQ→A、P、C、Q 四点共圆 →∠AQP=∠ACP=60°→∠PAQ=∠PQA=60°→PA=PQ

普陀区18882643788： 如图,已知E是平行四边形ABCD中BC边的中点,连接AE并延长AE交DC的延长线于点F,连接AC BF.若EF=EC,试判断...？
弓亲卡纳： 因为abcd是平行四边形.所以ab//df 所以,<eab=<cfe因为对顶角,所以<aeb=<cefe 是bc中点,ce=be,所以三角形ABE全等三角形FCE2、因为三角形ABE全等三角形FCE,所以AE=FE 又因为AB//CF,所以ABCF是平行四边形 ∵∠AEC=∠BAE+∠ABC =2∠ABC ∴∠BAE=∠ABC,AE= BE 所以AE=BE ,因为BE=EC,AE=EF,所以AF=BC 又因为ABCF是平行四边形 ABCF是矩形 (对角线相等的平行四边形是矩形)

普陀区18882643788： 已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,求证:AB=CD,BC=DA. - ？
弓亲卡纳：[答案] 证明:连接AC. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,BC∥DA. ∴∠1=∠2,∠3=∠4. ∵AC=CA, ∴△ABC≌△CDA(ASA). ∴AB=CD,BC=DA.

普陀区18882643788： 数学奥林匹克初中训练题85在平行四边形ABCD中,连接对角线AC? ？
弓亲卡纳： 设AB=CD=a,BC=AD=b,AC=c,BD=d角B 角A=180度余弦角A平方=余弦角B平方,得到2(a平方 b平方)=c平方 d平方又根据余弦定理余弦角B平方=(a四次 b四次-2a平方b平方-2b平方c平方-2a平方c平方 c四次)/4a平方b平方经化简同时代入已知条件AC*BD)平方=AB四次方 BC四次方,余弦角B平方=0.5这样的话角BAD=45度吧

普陀区18882643788： 证明平行四边形判定定理2,3 - ？
弓亲卡纳： 1、已知四边形ABCD中,AD=BC,AB=CD,求证:ABCD是平行四边形.证明:连接AC,∵AD=BC,AB=CD,AC=CA,∴ΔABC≌ΔCDA,∴∠ACB=∠DAC,∠BAC=∠DCA,∴AD∥BC,AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.、证法二:证明:连接...

普陀区18882643788： 已知平行四边形ABCD中,E为边AB的中点,连结AC,DE交点O,向链AB=向链a 向链AD=向链b 用a、b的式子来表示OE - ？
弓亲卡纳： 记AC与BD的交点为M.因为M为BD中点,E为AB中点,故O点为三角形ABD的中点,AO=2*OM=AC*1/3.向量AC=向量AB+BC=向量a+b.故向量OE=向量AE-AO=(1/2)*a-(1/3)*(a+b)=(1/6)*a-(1/3)*b.

普陀区18882643788： 在平行四边形abcd中连接ac过点d作de垂直ac垂足为点e过点b作bf垂直ac垂足为点f求证de - ？
弓亲卡纳： ∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AD∥=BC ∴∠DAE=∠BCF ∵DE⊥AC,BF⊥AC ∴∠AED=∠CFB=90° 在△DAE和△BCF中 ∠AED=∠CFB ∠DAE=∠BCF AD=BC ∴△DAE≌△BCF(AAS) ∴DE=BF

普陀区18882643788： 已知平行四边形abcd中 对角线ac和bd相交于点O,点E、F分别为BO、DO中点,连接AF,CE - ？
弓亲卡纳： ∵ABCD是平行四边形, ∴OA=OC,OB=OD, ∵E、F分别 为OB、OD中点, ∴OE=1/2OB,OF=1/2OD, ∴OE=OF, ∴四边形AECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).

普陀区18882643788： 已知如图,平行四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,连接AF,CE - ？
弓亲卡纳： (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD,∠B=∠D,AB=CD,∵E、F分别是AB、CD的中点,∴BE=DF=AE=CF,在△BEC和△DFA中,BE=DF,∠B=∠D,BC=AD,∴△BEC≌△DFA. (2)答:四边形AECF是矩形. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∵AE=CF,∴四边形AECF是平行四边形,∵AC=BC,E是AB的中点,∴CE⊥AB,∴∠AEC=90°,∴平行四边形AECF是矩形.

普陀区18882643788： 已知在平行四边行ABCD中,AC平分∠BAD,AB=AD,求证AC平分∠BCD - ？
弓亲卡纳： 因为AC平分∠BAD 所以∠BAC=∠CAD 因为平行四边行ABCD 所以∠BAC=∠ACD ∠CAD=∠ACB 所以∠ACD=∠ACB 所以AC平分∠BCD