垂径定理的证明
垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧
推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧
推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等
(证明时的理论依据就是上面的五条定理)
但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:
在5个条件中:
1.平分弦所对的一条弧
2.平分弦所对的另一条弧
3.平分弦
4.垂直于弦
5.经过圆心(或者说直径)
只要具备任意两个条件,就可以推出其他的三个结论
参考资料：我的大脑
证明:条件给定垂直于弦的直径平分这条弦,但不一定平分这条弦和弧.
先画出弦AB,通过圆心作直径,并垂直于弦AB交于C点,交弧于D点.如图所示.
在△AOB中,因为AO=BO(都是圆的半径),所以△AOB是等腰△,
∠OAB=∠BOA,
在△A0C和△BOC中,
∵∠BCO=∠ACO=90(条件给定),∠OAC=∠OBC(刚才已证出),AO=BO(都是圆的半径),OB=OB(公共边),
∴△ANP≌△QNP.得出,∠AOC=∠BOC ∴AC=BC
因此证明出,垂直于弦的直径平分这条弦
在△A0D和△BOD中,用上面刚用过的条件和推导出来的条件
同样得出,△A0D≌△BOD
∠AOD=∠BOD
∴弧AOD=弧BOD(圆心角相等,其对应的弧也相等)
因此证明出,垂直于弦的直径也平分这段弧.
垂径定理的证明
如图 ，在⊙O中，DC为直径， AB是弦，AB⊥DC于点E，AB、CD交于E，求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD
证明
图示
连接OA、OB分别交⊙O于点A、点B
∵OA、OB是⊙O的半径
∴OA=OB
∴△OAB是等腰三角形
∵AB⊥DC
∴AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形的三线合一性质）
∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC
∴弧AC=弧BC
推导定理
推论一：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平
原本命题，其中CD垂直于直线AB
分这条弦所对的两段弧。
几何语言：因为DC是直径，AE=EB，所以直径DC垂直于弦AB，劣弧AD等于劣弧BD，优弧ACO=优弧BCO
推论二：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧。
几何语言：因为DC垂直AB，AE=EB，所以DC是圆的直径，劣弧AD等于劣弧BD，优弧ACO=优弧BCO
推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。
推论四：在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧
推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧
推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等
(证明时的理论依据就是上面的五条定理)
但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:
在5个条件中:
1.平分弦所对的一条弧
2.平分弦所对的另一条弧
3.平分弦
4.垂直于弦
5.经过圆心(或者说直径)
只要具备任意两个条件,就可以推出其他的三个结论
如图 ，在⊙O中，DC为直径， AB是弦，AB⊥DC于点E，AB、CD交于E，求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD
证明
图示
联结OA、OB分别交⊙O于点A、点B
∵OA、OB是⊙O的半径
∴OA=OB
∴△OAB是等腰三角形
∵AB⊥DC
∴AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形的三线合一性质）
∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC
∴弧AC=弧BC
垂径定理是数学几何(圆）中的一个定理，它的通俗的表达是：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。
如图 ，在⊙O中，DC为直径， AB是弦，AB⊥DC于点E，AB、CD交于E，求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD
证明：
连接OA、OB分别交⊙O于点A、点B
∵OA、OB是⊙O的半径
∴OA=OB
∴△OAB是等腰三角形
∵AB⊥DC
∴AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形三线合一）
∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC
∴弧AC=弧BC
扩展资料：
垂径定理的推论一：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。
几何语言：∵DC是直径，AE=EB
∴直径DC垂直于弦AB，劣弧AD等于劣弧BD，优弧ACO=优弧BCO
垂径定理的推论二：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧。
几何语言：∵DC垂直AB，AE=EB
∴DC是圆的直径，劣弧AD等于劣弧BD，优弧ACO=优弧BCO
垂径定理的推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。
垂径定理的推论四：在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等。
证明：
连接OA、OB分别交⊙O于点A、点B
∵OA、OB是⊙O的半径
∴OA=OB
∴△OAB是等腰三角形
∵AB⊥DC
∴AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形三线合一）
∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC
∴弧AC=弧BC
扩展资料：
垂径定理是圆的重要性质之一，它是证明圆内线段、角相等、垂直关系的重要依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。
推论一：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。
几何语言：
∵DC是直径，AE=EB
∴直径DC垂直于弦AB，劣弧AD等于劣弧BD，优弧ACO=优弧BCO
推论二：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧。
几何语言：
∵DC垂直AB，AE=EB
∴DC是圆的直径，劣弧AD等于劣弧BD，优弧ACO=优弧BCO
推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。
推论四：在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等。
参考资料来源：百度百科——垂径定理
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垂径定理证明
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