如图①，已知△ABC中，AB=AC，点P是BC上的一点，PN⊥AC于点N，PM⊥AB于点M，CG⊥AB于点G点．（1）则CG、P

如图①，已知△ABC中，AB=AC，点P是BC上的一点，PN⊥AC于点N，PM⊥AB于点M，CG⊥AB于点G，则CG=PM+PN．（~

解答：（1）猜想CG=PM-PN证明：过C点作CE⊥PM于E∵PM⊥AB，CG⊥AB∴四边形CGME是矩形∴ME=CG，CE∥AB∴∠B=∠ECP∵AB=AC∴∠B=∠ACB=∠PCN∴∠ECP=∠PCN∵∠PNC=∠PEC=90°，PC=PC∴△PNC≌△PEC∴PN=PE∴CG=ME=PM-PE=PM-PN．（4分）（2）PM+PN=12AC证明：连接BD，交AC于O，过点P作PF⊥BD于F∵四边形ABCD是正方形∴∠COB=90°，OB=OC=12AC∵PM⊥AC∴四边形PFOM为矩形∴MP=OF，PF∥AC∴∠OEP=∠FPB∵AE=AB∴∠OEP=∠ABP∴∠ABP=∠FPB∵PB=PB，∠PFB=∠PNB=90°∴△PFB≌△BNP∴BF=PN∴OB=OF+FB=PM+PN=12AC．（8分）（3）点P是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点P到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高．如图③，④都有BG=PM+PN，如图⑤CG=PM-PN．（10分）

根据三角形面积计算公式，可算得s△ABC=AB×AC×sinA÷2【对于已知三角形两边和两边的夹角的面积计算公式】
因为AB=AC=4,S△ABC=8
所以sinA=8×2÷（AB×AC）=16÷（4×4）
解得sinA=1，推得角A=90°，△ABC是等腰直角△ 【面积这个条件还是要用上的】
所以有AB⊥AC。
又因为PM⊥AB，PN⊥AC
所以四边形PNAM为矩形，PM=AN
角C=45°，所以PN=NC
∴【PM+PN=AN+NC=4】
但是由于P是在【直线】BC的任意一点上
所以当P在线段BC的延长线上时
同样也有矩形PMAN（这个地方最好自己作一下图，这里不方便传图，还望谅解）
PN=AM,AN=PM
∠B=∠MBP=45°

所以BM=PM
∴AB-BM=AB-PM=【PN-PM=4】
综上所述：①当点P在线段BC上时，【PM+PN=AN+NC=4】
②当点P在线段BC的延长线上时，【PN-PM=4】

解：（1）方法一：过P作PH垂直CG于H，
∵PM⊥AB，CG⊥AB，
∴∠AMP=∠MGH=∠PHG=90°，
∴四边形MPHG是矩形，
∴PM=GH，PH∥AB，
∴∠HPC=∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠HPC=∠NCP，
又∵PH⊥CG，PN⊥AC，
∴∠PHC=∠CNP=90°，
∴△PHC≌△CNP，
∴CH=PN，
∴CG=GH+HC=PM+PN．

方法二：PM+PN=CG．
连接AP，则△ABC被分成△APB与△APC，
则△ABC的面积=△APB的面积+△APC的面积，
即

1

2

×AC×CG=

1

2

×AB×PM+

1

2

×AC×PN，
∵AB=AC，
∴PM+PN=CG；


（2）过C作CH垂直MP于H，
∠HPC+∠ABC=90°∠NPC+∠PCN=90
∵∠ABC=∠ACB=∠PCN
∴∠HPC=∠NPC
又PH⊥CG，PN⊥AC
∴△PNC≌△PHC?PM=CG+PN．

（3）猜想PM+PN=

1

2

AC（令点P与点B重合）

原题应该是这样的： 

       如图①，已知△ABC中，AB=AC，点P是BC上的一点，PN⊥AC于点N，PM⊥AB于点M，CG⊥AB于点G点．
（1）则CG、PM、PN三者之间的数量关系是______；
（2）如图②，若点P在BC的延长线上，则PM、PN、CG三者是否还有上述关系，若有，请说明理由，若没有，猜想三者之间又有怎样的关系，并证明你的猜想；
（3）如图③，AC是正方形ABCD的对角线，AE=AB，点P是BE上任一点，PN⊥AB于点N，PM⊥AC于点M，猜想PM、PN、AC有什么关系；（直接写出结论）

解：（1）CG、PM、PN三者之间的数量关系是PM+PN=CG．

 （2）PM=CG+PN．

 证明：过C作CH垂直MP于H，则

          ∠HPC+∠ABC=90°，∠NPC+∠PCN=90
        ∵∠ABC=∠ACB=∠PCN
        ∴∠HPC=∠NPC
    又∵PH⊥CG，PN⊥AC
       ∴△PNC≌△PHC
       ∴PN=PH

       ∵MH=CG

       ∴ PM=CG+PN．

（3）猜想PM+PN=1/2AC.

 

很高兴为你解答，满意请采纳，谢谢！

解：（1）方法一：过P作PH垂直CG于H，
∵PM⊥AB，CG⊥AB，
∴∠AMP=∠MGH=∠PHG=90°，
∴四边形MPHG是矩形，
∴PM=GH，PH∥AB，
∴∠HPC=∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠HPC=∠NCP，
又∵PH⊥CG，PN⊥AC，
∴∠PHC=∠CNP=90°，
∴△PHC≌△CNP，
∴CH=PN，
∴CG=GH+HC=PM+PN．

方法二：PM+PN=CG．
连接AP，则△ABC被分成△APB与△APC，
则△ABC的面积=△APB的面积+△APC的面积，
即
1
2
×AC×CG=
1
2
×AB×PM+
1
2
×AC×PN，
∵AB=AC，
∴PM+PN=CG；

（2）过C作CH垂直MP于H，
∠HPC+∠ABC=90°∠NPC+∠PCN=90
∵∠ABC=∠ACB=∠PCN
∴∠HPC=∠NPC
又PH⊥CG，PN⊥AC
∴△PNC≌△PHC?PM=CG+PN．

（3）猜想PM+PN=
1
2
AC（令点P与点B重合）

题目不完整。

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波密县13721216437： 如图,在△ABC中,AB=AC... - ？
冻饺欧来： 解:连结A、D两点,过A点作BC的垂线.∵AB=AC,AF为△AFC和△AFB的公共边,∠AFB=∠AFC ∴△AFB≌△AFC(HL) ∴FB=FC,∠CAF=∠BAF=60° ∵∠AFB=90° ∴∠ABF=90°-60°=30° ∴AB=2AF ∵DE是AB的中垂线 ∴AE=1/2AB=AF ∴△ADE≌△ADF(HL) ∴DE=DF 又∵∠DBE=30°,∠DEB=90° ∴BD=2DE=2DF 设DF=x,则BD=2x,BF=CF3x ∴CD=CF+FD=4x ∴CD=2BD

波密县13721216437： 已知如图在△ABC中AB等于AC,以AB为直径的圆o交AC于点E交BC于点D求证 - ？
冻饺欧来： 如图1,已知△ABC,AB=AC,以边AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E,连接2113DE. (1)求证:DE=DC. (2)如图2,连接OE,将∠5261EDC绕点D逆时针旋转,使∠EDC的两边分别交OE的延长线于点F,AC的延长线于点G.试探究线段DF...

波密县13721216437： 如图 已知三角形ABC中,AB=AC,点A在DE上,CD垂直DE - ？
冻饺欧来： 在RT△acd和RT△abe中: AB=AC AD=BE ∴RT△acd全等于RT△abe(HL) 所以∠dca=∠eba ,∠cad=∠abe 因为∠bae+∠abe=90° 所以∠cad+∠abe=90° 因为DAE在同一条直线上 所以∠dae=180° 所以∠cab=90° 所以ca⊥ba

波密县13721216437： 如图,已知△ABC中,AB=AC.求证:∠B=∠C - ？
冻饺欧来： 证明:取BC的中点D,连接AD 则BD=DC AB=AC AD=AD 所以三角形ABD全等于三角形ADC 所以∠B=∠C.

波密县13721216437： (1)如图1,已知:△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,AE是过A的一条直线,且B,C在AE的两侧, - ？
冻饺欧来： (1)证明:∵解:(1)证明:∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠EAC=90°,又∵BD⊥AE,CE⊥AE,∴∠BDA=∠AEC=90°,∠BAD+∠ABD=90°,∴∠ABD=∠EAC,又∵AB=AC,∴△ABD≌△CAE,∴BD=AE,AD=CE,∵AE=AD+DE=CE+DE,∴BD=DE+CE. ...

波密县13721216437： 已知:如图,在三角形ABC中,AB=AC.角BAC=90°,D为BC上一点,D为BC上一点 - ？
冻饺欧来： 证明:因为AB=AC,∠BAC=90°,所以△ABC为等腰直角三角形 所以∠B=∠ACB=45°,又因为EC⊥BC,所以∠ECB=90° 所以∠ACE=45° 所以∠B=∠ECA 又因为BD=CE 所以△ABD≌△ACE(SAS) 所以AD=AE 所以A点是DE的垂直平分线上的点 (到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上) 因为DF=EF 所以F点也是DE的垂直平分线上的点 所以直线AF是DE的垂直平分线 所以AF⊥DE

波密县13721216437： 如图所示,已知三角形ABC中,AB=AC,D为BC中点,DE垂直于AC,DF垂直于AB,E、F为垂 - ？
冻饺欧来： 证明:(1)连结ad.因d是bc边的中点,所以ad是bc边的中线,也是角a的角平分线(等腰三角形三线合一),故de=df(角平分线上的点到角两边距离相等). (2)因为sδabc=sδabd+sδacd,利用三角形面积公式,我们可以把上式写为:ac*bm/2=ab*de/2+ac*df/2,注意到ab=ac,将上式两边同乘2/ac,得:bm=de+df. (3)若d在bc延长线上,则sδabc=sδabd-sδacd,那么ac*bm/2=ab*de/2-ac*df/2,于是bm=de-df.

波密县13721216437： 如图,已知三角形ABC中,AB=AC=10厘米,BC=8厘米,点D为AB的中点如果点P在线段BC上以3厘米每秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上... - ？
冻饺欧来：[答案] 1) 全等. ∵1s后,BP = 3CM,则PC = 8-3 = 5cm, 又CQ = 3cm,D为AB的中点,则BD = 5cm AB = AC,则∠B=∠C ∴△BPD≌△CQP 2)若△BPD≌△CQP, 除了上述的情况外,还有一种就是 BD = CQ,BP = CP ∴BP = 4cm P的运动速度为3cm/s ...

波密县13721216437： 已知,在△ABC中,AB=AC,在图(1)中,点O是△ABC内的任意一点,而在图(2)中,点O是△ABC外的任意一点.在两图中,分别以OB,OC为边画出平... - ？
冻饺欧来：[答案] 猜想1:DE⊥BC;猜想2:DE的长是△ABC底边BC上高的2倍.证明:(1)连接OD交BC于点F,连接AF,∵四边形OBDC为平行四边形,∴BF=CF,∵AB=AC,∴AF⊥BC,∵OA=AE,OF=DF,∴AF∥DE,∴DE⊥BC;证明:在图(2)中,连...

波密县13721216437： 如图,已知三角形ABC中,AB=AC,AD是三角形...急!!!! - ？
冻饺欧来： 因为AB = AC 所以D为BC中点 所以BD = DC ABC周长为40,即 AB+BD+DC+AC = 40 ABD周长为28,即 AB+BD+AD = 28 因AB = AC ,BD = DC所以 2(AB +BD) = 40 即 AB + BD == 20 故AD = 28 - (AB +BD)= 8