一到初三数学竞赛题

初三数学竞赛题~

1题： 将原等式化为 b²-ab+1/2a+2=0

因为b是实数，所以根的判别式△≥0

即a²-2a-8≥0 十字相乘得(a-4)(a+2)≥0

所以解得 a≥4 或 a≤-2


3题，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．（图自己画）
由已知可得
BE=AE=根号6 ，CF＝2倍根号2 ，DF＝2倍根号6 ，
于是 EF＝4＋根号6 ．
过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得
AD ＝ 2+2倍根号6

3题
x1=1 x2=2 x3=3 x4=4
x5=1 x6=2 x7=3 x8=4
所以2010=4*502+2 所以x2010=2


4题
设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a,b,c （千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得
10（a-b）=S 15(a-c)=2S x(b-c)=S
由3个式子可得，x=30． 所以t=15 （分）

解：
1、已知n是正整数，且2n+1与3n+1都是完全平方数，得：
n=40,
5n+3=5*40+3=203
因为203=29*7，不是是质数。
所以不存在这样的数n; ##
2、设m为整数，且关于x的方程mx^2+2（m-5）x+m-4=0有整数根，则m的值为 （m=-18）
==>delta:=[2（m-5）]^2-4m(m-4)=100-24m
原式的解：x=[-2（m-5)±√(100-24m)]/2m
=-1+[5±√(25-6m)]/m
=-1+{5±√[5^2+(-6m)]}/m
要使√[5^2+(-6m)]}为整数，
==>必须使5^2+(-6m)为完全平方数
==>由勾股数5--12---13，得
-6m=12^2=144
m=-18;
==> x=-1+{5±√[5^2+(-6*-18)]}/(-18)
=-1+{5 ±√[5^2+12^]}/(-18)
=-1+(5± 13)/(-18)
有一个整数根：=-1+(5+13)/(-18)=-2；
3、如果对于不小于8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数时，n+1都能表示成k个完全平方数的和，那么k的最小值为（ 1 ）
A、1 B、2 C、3 D、4
解：
当3n+1是一个完全平方数时, n+1都能表示成k个完全平方数的和,
不小于8的自然数n,取n=8，有：
3*8+1=25是完全平方数；
n+1=8+1=9;
9=3^2=2^2+2^+1^2;
所以最小的K=1;
4、若m^2=n+2,n^2=m+2(m不等于n)，则m^3-2mn+n^3的值为（ 0 ）
A、1 B、0 C、-1 D、-2
解：m^2=n+2,n^2=m+2，两式相减：得（m^2-n^2)=-(m-n)==>m+n=-1;
m^2=n+2,n^2=m+2，两式相加：得（m^2+n^2)=(m+n)+4==>m^2+n^2=3;
因为：m+n=-1==>（m+n）^2=(-1)^2
==> m^2+n^2+2mn=1
==> mn=[1-(m^2+n^2)]/2=(1-3)/2=-1;
m+n=-1==>（m+n）^3=(-1)^3
==> m^3+n^3+3mn(m+n)=-1
==> m^3+n^3=1-3mn(m+n)=1-3*(-1)(-1)=-2;
所以：m^3-2mn+n^3=-2-2*（-1）=0； ##
5、设N=23x+92y为完全平方数，且N不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对（x，y）共有_2115_对。
解：因为 N=23x+92y,
==>y=-x/4+N/92
因为N不超过2392
所以N/92<=2392/92=26;
经过比较N/92可能的取值范围（26，25，24，23，22…,3,2,1），仅当N/92=23时，有: N/92=23
==>N=2116=46*46,为完全平方数。
==>y=-X/4+2116
即求直线y=-X/4+2116上的正整数解（X、Y）。
==>其正整数的通解： (X=4K，Y=2116-K)，其中（k为自然数，K=1，2，3，，n）
要使Y=2116-k为正整数，
==>则必须Y=2116-k>0;
==>K<2116;即K=2115 ;
所以共有2115对正整数（X、Y）；##
6、在平面直角坐标系xOy中，我们把横坐标为整数、纵坐标为完全平方数的点称为“好点”，求二次函数y=（x-90）^2-4907的图像上所有“好点”的坐标。
（题目“y=（x-90）^2-4907”的“4907”是否打错了，仔细看看，在修改！！！）
7、已知方程x^2-6x-4n^2-32n=0的根都是整数，求整数n的值。
解：==>delta:=6^2-4(-4n^2-32n)=36+4(4n^2+32n)
原式的解：x=6±√[36+4(4n^2+32n)]/2
=3±√(4n^2+32n+9)
要使x为整数，
==>必须使4n^2+32n+9为完全平方数
==>得:取4n^2+32n+9=（1，4，9，16，25，36，49，64，…,n^2）
4n^2+32n+9=9
==>n=0; ##
8、若D、E、F分别为△ABC的BC、CA、AB上的一点，且BD：DC=1，CE：EA=2，AF：FB=3，S△ABC=24，求△DEF的面积。
解：

（1）求S3
△ABC、△AFC与△BFC以AB为底边，过C点，有相同高，设为H,
所以有：AB*H= S△ABC;
FB*H= S△BFC;
两式相除得：S△BFC=FB/AB* S△ABC;
因为AF ：FB=3; ==>AB：FB=4;
所以：S△BFC=FB/AB* S△ABC=1/4*24=6;
在△BFC中，D是BC的中点，所以：
S3与S△DFC面积相等，==> S3= S△BFC/2=6/2=3;

(2）求S2,S1
△ABC、△ABE与△BEC以AC为底边，过B点，有相同高，设为Hb,
所以有：AC*Hb= S△ABC; ---(*)
AE*Hb= S△ABE; ---(**)
EC*Hb= S△BEC; ---(***)
(*)与(**)两式相除得：S△ABE=AE/AC* S△ABC;
(*)与(***)两式相除得：S△BEC=CE/AC* S△ABC;
因为CE:AE =2; ==>AE：AC=1/3;
==>CE：AC=2/3;
所以：S△ABE=AE/AC* S△ABC=1/3*24=8;
S△BEC=CE/AC* S△ABC=2/3*24=16;
在△ABE中，F是AB的(3:1)点，所以：（同理用高相等，底边不同来求解）
S2与S△DFC面积之比=底边之比=AF/FB=3:1
==> S2与 S△ABE之比=3/4;
==> S2= S△ABE*3/4=8*3/4=6;
同理S1= S△BEC*1/2=16*1/2=8;
所以S△DEF=S△ABC-S1-S2-S3=24-8-6-3=7; ##


9、设a^2+1=3a,b^2+1=3b,且a≠b，则代数式(1/a^2)+(1/b^2)的值为（ B=7 ）
A、5 B、7 C、9 D11
解：a^2+1=3a,b^2+1=3b相减
==>a^2-b^2=3(a-b)
==>(a-b)(a+b)=3(a-b), 且a≠b，
==>a+b=3 (1)
a^2+1=3a,b^2+1=3b相加
==>a^2+b^2+2=3(a+b)
==>a^2+b^2=3*3-2=7; (2)
因为（1）a+b=3
==>（a+b）^2=3^2=9
==>a^2+b^2+2ab=9;
==> 2ab=9-( a^2+b^2)=9-7=2;
==> ab=1;;
所以(1/a^2)+(1/b^2)=（a^2+b^2）/( ab)^2=7/1=7; ##

分析：<DCF=<DAB
所以直角△CDF和直角△ADB相似
所以有 DF/CD=DB/AD
所以 AD*DF=CD*DB
又DF=1/3*AD
所以 1/3 * AD^2=CD*DB
又CD+DB=BC=8
所以当 CD=DB=4 时，
AD有最大值 4倍根3
此时，AD既是BC边的垂线，又是中线
所以△ABC为等腰三角形
又 CD+DB=BC=8 AD=4倍根3
所以<CAD=<BAD=30度
所以<CAB=60度
所以等腰△ABC为等边三角形

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铜山县19397588235： 一到初三数学竞赛题？
邸王凯因： a+√2ab+b=(√a+√b)^2=0 √a=-√b.因为√b大于等于0,√a大于等于0,√a和√b互为相反数,所以b=0,a=0 a是有理数

铜山县19397588235： 一到初中数学竞赛题,高手帮帮忙？
邸王凯因： 已知a1+a2+……+an=n的三次方a1+a2+……+an-1=(n-1)的三次方两式相减得:an=n3-(n-1)3=3n2-3n+1an-1=3n(n-1)1/an-1=1/3*(1/(n-1)-1/n) sn=1/3*(1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4……+1/2007-1/2008)=1/3*(1-1/2008)=1/3*2007/2008=669/2008

铜山县19397588235： 一到初三数学竞赛题 - ？
邸王凯因： 分析:<DCF=<DAB 所以直角△CDF和直角△ADB相似 所以有 DF/CD=DB/AD 所以 AD*DF=CD*DB 又DF=1/3*AD 所以 1/3 * AD^2=CD*DB 又CD+DB=BC=8 所以当 CD=DB=4 时,AD有最大值 4倍根3 此时,AD既是BC边的垂线,又是中线 所以△ABC为等腰三角形 又 CD+DB=BC=8 AD=4倍根3 所以<CAD=<BAD=30度 所以<CAB=60度 所以等腰△ABC为等边三角形

铜山县19397588235： 一到初中数学九年级竞赛题？
邸王凯因： 等面积法(a)图用公式a2=b2+c2-2bccosα abc为三角形三边边长α为a对角,分别求出abc与uvw关系图(b)用等面积用abc表示xS=1/2sinθx^2公式 S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)] 其中s=1/2(a+b+c),abc为某一小三角形三边长

铜山县19397588235： 初中数学竞赛题？
邸王凯因： 设另一直角边长和斜边长分别是Z,X,显然X>Z>0 根据直角三角形的边长关系有:15^2=X^2-Z^2 即:15^2=(X+Z)(X-Z) 式中 X+Z 和 X-Z 分别是大于零的整数,且满足:X+Z > X-Z > 0 再来看看15^2=225这个数的因数:1,3,5,9,15,25,45,75,225. ...

铜山县19397588235： 初中数学竞赛题？
邸王凯因： x1+x2=8p-10q x1*x2=5pq 由一式得,x1,x2为全奇数或全是偶数 若是奇数,有二式得pq全是奇数 令x1=5p则x2=3p-10q xi*x2=5pq解得11q=3p因为是奇数,所以pq是3和11 如是偶数,则x1*x2=5pq中含偶数因式 4所以p=q=2 验证后不可,所以舍去 综上,(p,q)为(11,3) 附注:8p-10q>0是方程才有正跟 附注中的字打错了,应该是:8p-10q>0时原方程有正跟.

铜山县19397588235： 初三数学题 竞赛题？
邸王凯因： 解:连结BO并延长交AD于H ∵AB=BD,O为圆心 ∴BH⊥AD ∵∠ADC=Rt∠ ∴BH∥CD ∴△OPB∽△CPD ∴CD:BO=CP:OP ∵BO=1.5,CP=0.6 ∴PO=0.9 ∴CD=1 于是AD=√(AC^2-CD^2)=2√2 又∵OH=1/2CD=1/2 ∴BH=2 ∴AB=√(AH^2+BH^2)=√6 BC=√(AC^2-AB^2)=√3 ∴四边形ABCD的周长为1+2√2+√3+√6希望帮到你o(∩_∩)o不懂追问哦

铜山县19397588235： 初三数学竞赛题？
邸王凯因： 解:|x-2|+|x-4|=|x-2|+|4-x|≥|x-2+4-x|=2 所以|x-2|+|x-4|的最小值为:2, 因为对于任何实数x,y,都有|x+2|+|x+4|>=m(-y²+2y)成立, 所以m(-y^2+2y)≤2恒成立, 当m=0时,, 则0<=2,成立 当m≠0时,m(-y²+2y)=m[-(y^2-2y)]=m[-(y-1)^2+1], 因为-y^2+2y=-(y-1)^2+1≤1, 所以m(-y²+2y)≤m≤2, 很显然,当m=2时,m可取最大值.

铜山县19397588235： 数学题 初中竞赛题？
邸王凯因： 1.144 这个题,你可以补一个和ABC全等的三角形,以M为中心,把ABC旋转180D,得到三角形AB'C,则BB'=30CM 再过B作BC垂线,交B'A延长线于E.可见BE=AD=18CM ,BB'E为直角三角形,且EB'=3/2BC=24CM,则BC=16CM,ABC面积为144CM^2. 2.82 延长BN交AC于K.可见AN与BK垂直,AN平分BAC,则ABK等腰三角形,AK=AB=20 ,N为BK中点,又M为BC中点,则MN为BKC中位线,KC=2MN=12. 则周长为AB+AK+KC+BC=20+20+12+30=82.

铜山县19397588235： 初中数学竞赛题？
邸王凯因： 解:依题意得 x + y = a+b-c+a+c-b=2a, 又 x^2 = y,代入有 x^2 + x - 2a = 0 一元二次方程的求根判别式(那个我打不出来) = 1 + 8a,故由求根公式有 x = [-1 (+/-) sqrt(1+8a)]/2,又x必为整数,所以 sqrt(1+8a)为奇数,设为2k+1,即(2k+1)^2 = ...