初三数学竞赛题

初三数学竞赛题~

1题： 将原等式化为 b²-ab+1/2a+2=0

因为b是实数，所以根的判别式△≥0

即a²-2a-8≥0 十字相乘得(a-4)(a+2)≥0

所以解得 a≥4 或 a≤-2


3题，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．（图自己画）
由已知可得
BE=AE=根号6 ，CF＝2倍根号2 ，DF＝2倍根号6 ，
于是 EF＝4＋根号6 ．
过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得
AD ＝ 2+2倍根号6

3题
x1=1 x2=2 x3=3 x4=4
x5=1 x6=2 x7=3 x8=4
所以2010=4*502+2 所以x2010=2


4题
设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a,b,c （千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得
10（a-b）=S 15(a-c)=2S x(b-c)=S
由3个式子可得，x=30． 所以t=15 （分）

解：
1、已知n是正整数，且2n+1与3n+1都是完全平方数，得：
n=40,
5n+3=5*40+3=203
因为203=29*7，不是是质数。
所以不存在这样的数n; ##
2、设m为整数，且关于x的方程mx^2+2（m-5）x+m-4=0有整数根，则m的值为 （m=-18）
==>delta:=[2（m-5）]^2-4m(m-4)=100-24m
原式的解：x=[-2（m-5)±√(100-24m)]/2m
=-1+[5±√(25-6m)]/m
=-1+{5±√[5^2+(-6m)]}/m
要使√[5^2+(-6m)]}为整数，
==>必须使5^2+(-6m)为完全平方数
==>由勾股数5--12---13，得
-6m=12^2=144
m=-18;
==> x=-1+{5±√[5^2+(-6*-18)]}/(-18)
=-1+{5 ±√[5^2+12^]}/(-18)
=-1+(5± 13)/(-18)
有一个整数根：=-1+(5+13)/(-18)=-2；
3、如果对于不小于8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数时，n+1都能表示成k个完全平方数的和，那么k的最小值为（ 1 ）
A、1 B、2 C、3 D、4
解：
当3n+1是一个完全平方数时, n+1都能表示成k个完全平方数的和,
不小于8的自然数n,取n=8，有：
3*8+1=25是完全平方数；
n+1=8+1=9;
9=3^2=2^2+2^+1^2;
所以最小的K=1;
4、若m^2=n+2,n^2=m+2(m不等于n)，则m^3-2mn+n^3的值为（ 0 ）
A、1 B、0 C、-1 D、-2
解：m^2=n+2,n^2=m+2，两式相减：得（m^2-n^2)=-(m-n)==>m+n=-1;
m^2=n+2,n^2=m+2，两式相加：得（m^2+n^2)=(m+n)+4==>m^2+n^2=3;
因为：m+n=-1==>（m+n）^2=(-1)^2
==> m^2+n^2+2mn=1
==> mn=[1-(m^2+n^2)]/2=(1-3)/2=-1;
m+n=-1==>（m+n）^3=(-1)^3
==> m^3+n^3+3mn(m+n)=-1
==> m^3+n^3=1-3mn(m+n)=1-3*(-1)(-1)=-2;
所以：m^3-2mn+n^3=-2-2*（-1）=0； ##
5、设N=23x+92y为完全平方数，且N不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对（x，y）共有_2115_对。
解：因为 N=23x+92y,
==>y=-x/4+N/92
因为N不超过2392
所以N/92<=2392/92=26;
经过比较N/92可能的取值范围（26，25，24，23，22…,3,2,1），仅当N/92=23时，有: N/92=23
==>N=2116=46*46,为完全平方数。
==>y=-X/4+2116
即求直线y=-X/4+2116上的正整数解（X、Y）。
==>其正整数的通解： (X=4K，Y=2116-K)，其中（k为自然数，K=1，2，3，，n）
要使Y=2116-k为正整数，
==>则必须Y=2116-k>0;
==>K<2116;即K=2115 ;
所以共有2115对正整数（X、Y）；##
6、在平面直角坐标系xOy中，我们把横坐标为整数、纵坐标为完全平方数的点称为“好点”，求二次函数y=（x-90）^2-4907的图像上所有“好点”的坐标。
（题目“y=（x-90）^2-4907”的“4907”是否打错了，仔细看看，在修改！！！）
7、已知方程x^2-6x-4n^2-32n=0的根都是整数，求整数n的值。
解：==>delta:=6^2-4(-4n^2-32n)=36+4(4n^2+32n)
原式的解：x=6±√[36+4(4n^2+32n)]/2
=3±√(4n^2+32n+9)
要使x为整数，
==>必须使4n^2+32n+9为完全平方数
==>得:取4n^2+32n+9=（1，4，9，16，25，36，49，64，…,n^2）
4n^2+32n+9=9
==>n=0; ##
8、若D、E、F分别为△ABC的BC、CA、AB上的一点，且BD：DC=1，CE：EA=2，AF：FB=3，S△ABC=24，求△DEF的面积。
解：

（1）求S3
△ABC、△AFC与△BFC以AB为底边，过C点，有相同高，设为H,
所以有：AB*H= S△ABC;
FB*H= S△BFC;
两式相除得：S△BFC=FB/AB* S△ABC;
因为AF ：FB=3; ==>AB：FB=4;
所以：S△BFC=FB/AB* S△ABC=1/4*24=6;
在△BFC中，D是BC的中点，所以：
S3与S△DFC面积相等，==> S3= S△BFC/2=6/2=3;

(2）求S2,S1
△ABC、△ABE与△BEC以AC为底边，过B点，有相同高，设为Hb,
所以有：AC*Hb= S△ABC; ---(*)
AE*Hb= S△ABE; ---(**)
EC*Hb= S△BEC; ---(***)
(*)与(**)两式相除得：S△ABE=AE/AC* S△ABC;
(*)与(***)两式相除得：S△BEC=CE/AC* S△ABC;
因为CE:AE =2; ==>AE：AC=1/3;
==>CE：AC=2/3;
所以：S△ABE=AE/AC* S△ABC=1/3*24=8;
S△BEC=CE/AC* S△ABC=2/3*24=16;
在△ABE中，F是AB的(3:1)点，所以：（同理用高相等，底边不同来求解）
S2与S△DFC面积之比=底边之比=AF/FB=3:1
==> S2与 S△ABE之比=3/4;
==> S2= S△ABE*3/4=8*3/4=6;
同理S1= S△BEC*1/2=16*1/2=8;
所以S△DEF=S△ABC-S1-S2-S3=24-8-6-3=7; ##


9、设a^2+1=3a,b^2+1=3b,且a≠b，则代数式(1/a^2)+(1/b^2)的值为（ B=7 ）
A、5 B、7 C、9 D11
解：a^2+1=3a,b^2+1=3b相减
==>a^2-b^2=3(a-b)
==>(a-b)(a+b)=3(a-b), 且a≠b，
==>a+b=3 (1)
a^2+1=3a,b^2+1=3b相加
==>a^2+b^2+2=3(a+b)
==>a^2+b^2=3*3-2=7; (2)
因为（1）a+b=3
==>（a+b）^2=3^2=9
==>a^2+b^2+2ab=9;
==> 2ab=9-( a^2+b^2)=9-7=2;
==> ab=1;;
所以(1/a^2)+(1/b^2)=（a^2+b^2）/( ab)^2=7/1=7; ##

打字麻烦，如下图所示： 

当然，既然是选择题，可以用更简单的赋值法，即根据选项代入相应的值，排除法即可得出答案。

c^2哪来的啊

c那个从哪来的啊？问题是不是没说清楚啊？

已知 a-b＝4,
（A）若 a+b＝4，则a=4，b=0，ab+c²+4=c²+4>0,不符
（B）若 a+b＝4，则a=2，b=-2，ab+c²+4=c²=0,则C=0，有可能
（C）若 a+b＝2，则a=3，b=-1，ab+c²+4=-3+c²+4=c²+1>0,不符
（D）若 a+b＝-2，则a=1，b=-3，ab+c²+4=-3+c²+4=c²+1>0,不符
故，选B

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学琪凯尔： 设答对a的有x人,答对b的有y人,c的有z人,则x y=45x z=35y z=40得出答对a的有20人,b 的有25,c的有15人得出总分20*20 25*40 15*40=2000分因为三个都答对的有3个人,两个答对的有14个人,总人数x y z中肯定多算了答对3个的和答对两个的,所以用x y z=60人减去多算的(答对三个的多算了两次,答对两个的多算了一次)得出60-2*3-14=40人得出平均分=2000/40=50分晕,好久没做题了

图们市18716679418： 初三数学竞赛题 - ？
学琪凯尔： P-Q = (2^1999+1)(2^2001+1)-(2^2000+1)^2 /(2^2000+1)(2^2001+1) =(2^2001+2^1999-2^200...

图们市18716679418： 初三数学竞赛题3？
学琪凯尔： 答案是B,首先,面积最大的情况是a,b互为直角边,此时面积为ab/2.最小面积趋于0∵(a-b)²≥0,即a²+b²-2ab≥0;∴a²+b²即B的(a ^2+b^2)/2可以转化为a ^2+b^2)≥2ab/2≥ab; 所有B错.

图们市18716679418： 九年级数学竞赛题？
学琪凯尔： 如果有两个正整数解,设其为u.v 由韦达定理可得u+v=ab,uv=0.5(a+b) 因为uv都是正整数,所以(u-1)(v-1)≥0 即uv-(u+v)+1≥0,所以0.5(a+b)-ab+1≥0,4ab-2a-2b-4≤0,(2a-1)(2b-1)≤5 因为ab都是正整数,而且2a-1,2b-1都是奇数,所以2a-1=5,2b-1=1或者2a-1=1,2b-1=5 解得(a,b)=(1,3) or (3,1),所以u,v分别等于1和2 因此当且仅当a=1,b=3 or a=3,b=1时,原方程有两个正整数根,分别为1,2.

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学琪凯尔： 2 、解: 先对1/a-a的绝对值=1 ,两边平方,算出a平方分之一加上a平方等于3;再对1/a+a平方 ,得出5 ,再进行开平方取绝对值 .根号5. 2、由题意可知 a>0 去掉绝对值 解出a=√5 -1/2 代进去就可以啦 答案还是根号5

图们市18716679418： 初三数学竞赛题？
学琪凯尔： x+y≥-2, ∴x+y+2=(x+1)+(y+1)≥0① (两数之和非负) x+y+xy≥-1, ∴xy+x+y+1=(x+1)(y+1)≥0② (两数之积非负) 由①②得 x+1,y+1非负, ∴x+1>=0,y+1>=0 ∴y>=-1, 即y最小值为-1.

图们市18716679418： 初三数学题 竞赛题？
学琪凯尔： 解:连结BO并延长交AD于H ∵AB=BD,O为圆心 ∴BH⊥AD ∵∠ADC=Rt∠ ∴BH∥CD ∴△OPB∽△CPD ∴CD:BO=CP:OP ∵BO=1.5,CP=0.6 ∴PO=0.9 ∴CD=1 于是AD=√(AC^2-CD^2)=2√2 又∵OH=1/2CD=1/2 ∴BH=2 ∴AB=√(AH^2+BH^2)=√6 BC=√(AC^2-AB^2)=√3 ∴四边形ABCD的周长为1+2√2+√3+√6希望帮到你o(∩_∩)o不懂追问哦

图们市18716679418： 初三数学竞赛练习题~!!急求解答!谢谢 - ？
学琪凯尔： 过程不好打,我语言描述下,如有不明白可问我1.由三角形三边关系可知BC小于100大于20,由于角BAC是钝角可推出BC大于10倍根号下52,即可知BC大于70,由BD,DC为正整数知BC,DC也均为正整数.易知AC^2-AB^2=BC*DC,而BC小于...