初三数学竞赛题

关于初三数学竞赛题~

1、
解：由已知等式得：
(m²-n²)+(m-n)=-m
(m+n)(m-n)+(m-n)=-m
(m+n+1)(m-n)=-m
(m+n+1)(n-m)=m
由于m、n都是正整数，所以由上式知：(n-m)≥1，即：n≥m+1，
所以：m=(m+n+1)(n-m)≥m+n+1，
可得：n+1≤0，显然不成立；
所以满足m(m+2)=n(n+1)的正整数解不存在；

2、
解：同理可得：(m+n+1)(n-m)=(k-1)m，··········①
由于k≥3，所以可得：n-m>0，即：n>m，n/m>1，
则有：n/m=(m+k)/(n+1)>1，
所以：m+k>n+1，
因此：m<n<n+1<m+k，则m<n<m+k；
由上可知，从m到m+k之间的正整数有k-1个，
但当k=3时，则：m<n<m+3，那么有两种情况：n=m+1，n=m+2，分别代入①式，有：
n=m+1时，得到：2m+2=2m，显然这是不成立的；
n=m+2时，得到：2(2m+3)=2m，显然这也是不成立的；
但当k≥4时，由m<n<m+k知，n的取值是从m+1到m+k-1，即：m+1≤n≤m+k-1，不妨设n=m+b，b代表从1到k-1之间的正整数，代入①式，得：
b(2m+b+1)=(k-1)m
解得：m=(b²+b)/(k-1-2b)，
则k-1-2b≥1，得：b≤(k-2)/2，
所以b的取值范围是：1≤b≤(k-2)/2，
如果取k=4，则1≤b≤1，则有
b=1时，m=2/(3-2)=2，此时n=2+1=3，

由于没有确定的k，所以无法求出本题的通解，但只要是k≥4，就一定存在正整数m、n，使得m(m+k)=n(n+1)成立。

一、19a^2+99a+1=0--（1）
b^2+99b+19=0--（2）
（2）可化为1+99/b+19/b^2=0
所以19*(1/b)^2+99*(1/b)+1=0--（3）
所以（1）和（3）为方程19x^2+99x+1=0,其中a,1/b为方程的两根。
所以利用韦达定理可知，a*1/b=a/b=1/19, a+1/b=-99/19
所以（ab+4a+1）/b=(a+1/b)+4*(a/b)=-99/19+4*1/19=-95/19=-5
二、 题目怪怪的，是不是打错了。若题目为1/a+1/b=1/(a-b)
所以（a+b）/ab=1/(a-b)
所以b^2+ab-a^2=0.
所以b=[(根号5-1)/2]a,或b=[(-根号5-1)/2]a（舍去）
所以b/a=(根号5-1)/2.
三、1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c)
所以1/a+1/b=1/(a+b+c)-1/c.
所以(a+b)/ab=(c-a-b-c)/[c(a+b+c)].
所以(a+b)/ab=-(a+b)/[c(a+b+c)].
所以a+b=0或ab=-ac-ba-c^2.
当a+b=0时,a=-b不等于0，原方程化为1/c=1/c,c不等于0
所以a=-b不等于0，c不等于0时存在实数a,b,c满足题目。
当ab=-ac-ba-c^2s时,所以ab+ac+bc+c^2=0.
所以（a+c）(b+c)=0.
所以a=-c或b=-c
所以a=-c不等于0，b不等于0时存在实数a,b,c满足题目,
或所以b=-c不等于0，a不等于0时存在实数a,b,c满足题目。
综上所述a=-b不等于0，c不等于0或a=-c不等于0，b不等于0或b=-c不等于
0，a不等于0时存在。
四、假设 根号5是有理数，
设 根号5=p/q,
其中，p,q是正的自然数且互质。
则由p^2=5q^2知
p^2可以被5整除，所以p也能被5 整除（反证法可以证得：如果p不能被5整
除,则p^2也不能被5整除，得证）
设p=5*n(n是正的自然数)
则5q^2=p^2=25n^2
这样 q^2也能被5整除，q也能被5整除
因此p与q有公因子5。
这与p,q互质相矛盾
从而 证明了根号5为无理数。
完成！！！

答案：
1. 4
2. 494

解答：
1.
(x+y)(y+z)=xz+(xy+yz+y^2)=xz+y(x+y+z)>=2√(xyz(x+y+z))=2√4=4,在xz=2,y(x+y+z)=2是等号成立。

2.由(N+1)^2+1>=N^2+2^2,N为正整数，得出在某个Xk取得其可能的最大值58-39=19，其它均取最小值1时，达到x1²+x2²+x3²...+x40²最大值39+19^2=400；而所有的Xk取得其可能的最小值且满足x1+x2+x3+...+x40=58时，达到x1²+x2²+x3²...+x40²最小值，所以必然有18个2和22个1，所以最小值为18×2^2+22×1^2=94；总和为494.

x=y=z,x^2=2/根号3
（x+y）（y+z）=4x^2=8/根号3
（感觉不太对，只能凭感觉做了）

要使其取得最小值，有n个数是取得一样的值，都为2
那么n为18
那么B=22+18*4=94
A=19^2+39=361+39=400
所以A+B=494

先告诉你一个重要的不等式，（a+b）/2大于等于根号ab.(a,b大于0)
(x+y)(y+z）可化成xy+xz+y的平方+yz=xz + y(x+y+z)大于等于2倍根号xyz(x+y+z),又因为2倍根号xyz(x+y+z)=4,所以(x+y)(y+z）的最小值是4.

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