已知,如图,AB是圆O的直径,CD是弦,AE⊥CD,BF⊥CD,垂足分别为E,F 若AE=a,EF=b,BF=c,

如图,已知AB是圆O的直径,CD是弦,AE垂直于CD,BF垂直于CD，垂足分别为E。F，且AE=3，BF=5,~

解：过O作OM⊥CD于M,连OC
因为AE⊥CD，BF⊥CD，
所以AE∥OM∥BF
又因为AO=BO,
所以OM=(AE+BF)/2=4
因为半径为5，
所以由勾股定理，得CM=3
所以CD=2CM=6

过O作OG⊥CD于G
∵O为圆心，CD为弦，OG⊥CD
∴CG=DG（弦的过圆心垂线平分弦）
又∵AE⊥CD，BF⊥CD
∴AE‖BF
∴OA/OB=EG/FG（相似）
又∵OA=OB∴EG=FG
又∵CG=DG∴EG-CG=FG-DG即EC=DF

图中G是BF与圆的交点，连接AG
因为AB是直径，所以角AGB=90度。
所以 AEFG是矩形，AG=EF=b, AE=GF=a
易证 EC=DF,
设 EC=DF=d

连接AC,AD,BD
则
tan角EAC=EC/AE=d/a
tan角EAD=ED/AE=(b-d)/a

又因为 角ADB=90度
所以 角ADE+角BDF=90度
所以 角BDF=角EAD
而 tan角BDF=BF/DF=c/d
所以 tan角EAD=c/d

于是
tan角EAC+tan角EAD=d/a+(b-d)/a=b/a
tan角EAC×tan角EAD=d/a×c/d=c/a

故 tan角EAC和tan角EAD是 ax^2-bx+c=0 的两个根。

过O作OH垂直EF于H，HC=HD，由AE⊥CD,BF⊥CD，则AE平行OH平行BF，且OA=OB，所以HE=HF
所以EC=DF,CF=DE.
连接AC和BC，可证Rt三角形AEC与RT三角形CFB相似，则AE：CF=EC：BF，
又因AE=a，EF=b，BF=c，则EC*CF=ac（1），又因EC+CF=b （2），
所以由（1）（2）得EC=[b+√(b^2-4ac)]/2,CF=DE=[b-√(b^2-4ac)]/2
由方程ax-bx+c=0知x1=[b+√(b^2-4ac)]/2a，x2=[b-√(b^2-4ac)]/2a。
在Rt三角形AEC中，tan角EAC=EC/AE=[b+√(b^2-4ac)]/2a=x1；
在RT三角形CFB中，tan角EAD=ED/AE=[b-√(b^2-4ac)]/2a=x2.
所以tan角EAC和tan角EAD是方程ax-bx+c=0的两个根。

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武陵区18257663593： 已知,如图,AB是圆O的直径,CD是圆O的弦,且AB垂直CD,连接OC,OC=10,1 .若BE=4,求CD的长 - ？
郦于脑蛋：[答案] 已知,如图,AB是圆O的直径,CD是圆O的弦,且AB垂直CD,连接OC,OC=10,1 .若BE=4,求CD的长AB是圆O的直径,CD是圆O的弦,且AB垂直CD所以AB平分CDCE=DE=CD/2在直角三角形OCE中OC=10OE=OB-BE=10-4=6CE=√(OC^2-OE^...

武陵区18257663593： 如图,已知AB是圆O的直径,CD是弦,AE垂直于CD,BF垂直于CD,垂足分别为E.F,且AE=3,BF=5,若圆O半径为5,求CD - ？
郦于脑蛋：[答案] 过O作OM⊥CD于M,连OC 因为AE⊥CD,BF⊥CD, 所以AE∥OM∥BF 又因为AO=BO, 所以OM=(AE+BF)/2=4 因为半径为5, 所以由勾股定理,得CM=3 所以CD=2CM=6

武陵区18257663593： 如图 AB是圆O的直径,CD是圆O的弦,AB、CD的延长线交于点E,已知AB=2CD,∠E=18度,求∠ADC - ？
郦于脑蛋：[答案] 连结OD, 因为 AB是圆O的直径,AB=2DE, 所以 OD=DE, 因为 角AEC=18度, 所以 角BOD=角AEC=18度, 所以 角ODC=角 BOD+角AEC(三角形外角定理) =18度+18度 ...

武陵区18257663593： 如图,已知AB为圆o的直径,弦CD垂直于AB,垂足为H - ？
郦于脑蛋：[答案] (1)连接CB因为AB是直径所以角ACB=90度因为角CAB=角CAB,角ACB=角AHC=90度所以三角形ACH相似于三角形ABC所以AC:AB=AH:AC所以AH*AB=AC^2(2)连接BC因为AB是直径所以角AFB=90度因为角BAF=角BAF,角AFB=角AHE所以三角...

武陵区18257663593： 如图,已知AB是圆O的直径,CD是弦,AE⊥CD于E,BF⊥于F.求证:EC=DF请各位网友给一个九年级学生学了的方法(注:梯形中位线的逆定理还没学) - ？
郦于脑蛋：[答案] 证明:作OH垂直CD于H,则CH=DH. 又AE垂直CD,BF垂直CD,故AE∥OH∥BF. 所以,EH/HF=AO/OB=1.(平行线截线段成比例定理) 故EH=HF,EH-CH=HF-DH,即EC=DF.

武陵区18257663593： 如图,已知AB为圆O的直径,CD是弦,且AB⊥CD于点E,连结AC、OC、BC 求证:角ACO=角BCD - ？
郦于脑蛋：[答案] 证明: 因为OA=OC 所以∠ACO=∠A 因为AB为圆O的直径,CD是弦,且AB垂直CD于E 所以弧BC=弧BD 所以∠A=∠BCD (等弧所对的圆周角相等) 所以∠ACO=∠BCD

武陵区18257663593： 如图已知AB是圆O的直径,CD,CB切圆O于点D,B,CD的延长线交BA的延长线于点E且D为CE的如图已知AB是圆O的直径,CD,CB切圆O于点D,B,CD的延长... - ？
郦于脑蛋：[答案] D是中点 连接OC,因为角CDO=∠CBO=90°,OC=OC,OB=OD,所以CD=CB. 在直角三角形CBE中,CB=1/2CE,∠CEB=30°,即∠DCB=60度 三角形ODC与三角形OBC是全等三角形,∠DCO=∠BCO=30°,即∠DOC=∠BOC=60° AB是圆O的直径...

武陵区18257663593： 如图,AB是圆O的直径,CD是弦,AE⊥CD,垂足为E,BF⊥CD,垂足为F,且AE=3cm,BF=5cm若圆O的半径为5cm,求CD的长. - ？
郦于脑蛋：[答案] AB,CD交于G AGE,BGF相似 AE/BF=AG:BG=3:5 AG= 3/8 * 10 = 15/4 OG = 5 - 15/4 = 5/4

武陵区18257663593： 已知如图,在圆O中,AB是圆O的直径,CD是一条弦,且CD垂直AB于点P,连接BC,AD.求证PC^2=PA*PB 怎么解诶 - ？
郦于脑蛋：[答案] 证明: 连接AC、BC 则∠ACB=90° ∵CP⊥AB ∴弧BC=弧BD ∴∠A=∠BCP ∵∠CPB=∠CPA =90° ∴△ACP∽△CBP ∴CP/AP=BP.CP ∴CP²=AP*PB

武陵区18257663593： 如图,AB为圆O的直径,CD是弦,且AB垂直CD于点E,连接ACOC,BC.求(1)角ACO=角BCD 若EB=8cm,CD=2cm,圆O直(2)求圆O直径 - ？
郦于脑蛋：[答案] ∵AB为圆O的直径,CD是弦,且AB垂直CD于点E,∴CE=DE=1/2CD=1㎝ 设圆的半径为R,∵AB⊥CD ∴△OEC为直角三角形且∠CEO=90° ∴1²+(8-R)²=R² (根据三角形勾股定理) ∴R=65/16㎝ 则圆O直径为65/8㎝